登录
解决问题的策略：
理解问题
、拟订计划
、实施计划
、回顾反思
。答案
理解问题 拟订计划 实施计划 回顾反思
1. 一个无盖长方体盒子的长、宽、高分别是8 cm,8 cm,12 cm,一只蚂蚁想从盒底的A点沿长方体的表面爬到盒顶的B点,则它爬行的最短路径的长是(
A.20 cm
B.16 cm
C.13 cm
D.21 cm
A
)。A.20 cm
B.16 cm
C.13 cm
D.21 cm
答案
A
解析
将长方体侧面展开，有两种情况：
情况一：展开前面和右面，此时路径为直角三角形斜边，两直角边分别为 $8 + 8 = 16\ cm$ 和 $12\ cm$。
路径长：$\sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20\ cm$。
情况二：展开前面和上面，此时路径为直角三角形斜边，两直角边分别为 $8\ cm$ 和 $12 + 8 = 20\ cm$。
路径长：$\sqrt{8^2 + 20^2} = \sqrt{64 + 400} = \sqrt{464} \approx 21.54\ cm$。
比较两种情况，最短路径长为 $20\ cm$。
A
情况一：展开前面和右面，此时路径为直角三角形斜边，两直角边分别为 $8 + 8 = 16\ cm$ 和 $12\ cm$。
路径长：$\sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20\ cm$。
情况二：展开前面和上面，此时路径为直角三角形斜边，两直角边分别为 $8\ cm$ 和 $12 + 8 = 20\ cm$。
路径长：$\sqrt{8^2 + 20^2} = \sqrt{64 + 400} = \sqrt{464} \approx 21.54\ cm$。
比较两种情况，最短路径长为 $20\ cm$。
A
2. 如图,圆柱的高为3 m,底面周长为4 m。将一条彩带从底面A点开始绕圆柱一圈后,挂在点A的正上方的点B处,则彩带最短需要(
A.3 m
B.4 m
C.5 m
D.6 m
C
)。A.3 m
B.4 m
C.5 m
D.6 m
答案
C
解析
解：将圆柱侧面沿母线展开，得到一个长方形。长方形的长为圆柱底面周长$4\ m$，宽为圆柱的高$3\ m$。彩带最短距离即为长方形的对角线长。
根据勾股定理，对角线长为$\sqrt{4^{2} + 3^{2}}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5\ m$。
答案：C
根据勾股定理，对角线长为$\sqrt{4^{2} + 3^{2}}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5\ m$。
答案：C
3. 两个正整数的和为16,则它们的积的最大值为(
A.65
B.64
C.63
D.66
B
)。A.65
B.64
C.63
D.66
答案
B
解析
设两个正整数分别为$x$和$16 - x$，它们的积为$y$，则$y = x(16 - x) = -x^2 + 16x$。对于二次函数$y = -x^2 + 16x$，其对称轴为$x = -\frac{16}{2×(-1)} = 8$。因为二次项系数$-1\lt0$，所以函数在$x = 8$处取得最大值，此时另一个数为$16 - 8 = 8$，积的最大值为$8×8 = 64$。
B
B
4. 如图所示的是一个供滑板爱好者使用的U形池,该U形池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成,中间可供滑行部分的横截面是半径为3 m的半圆,该部分的边缘AB= CD= 45 m,点E在CD上,CE= 5 m。一滑板爱好者从A点滑到E点,则他滑行的最短路程为
41 m
。(边缘部分的厚度忽略不计,π取3)答案
41 m
解析
解：将U形池中间滑行部分的半圆柱侧面展开，得到一个长方形。
长方形的长为圆柱底面半圆的弧长：$\frac{1}{2} × 2\pi r = \pi r$，$r = 3m$，$\pi = 3$，所以长为$3 × 3 = 9m$。
长方形的宽为$AB = CD = 45m$，点E在CD上，$CE = 5m$，则展开后点A到点E在宽方向的距离为$CD - CE = 45 - 5 = 40m$。
在展开的长方形中，A到E的最短路径为直角三角形的斜边，两直角边分别为9m和40m。
根据勾股定理，最短路程为$\sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41m$。
41 m
长方形的长为圆柱底面半圆的弧长：$\frac{1}{2} × 2\pi r = \pi r$，$r = 3m$，$\pi = 3$，所以长为$3 × 3 = 9m$。
长方形的宽为$AB = CD = 45m$，点E在CD上，$CE = 5m$，则展开后点A到点E在宽方向的距离为$CD - CE = 45 - 5 = 40m$。
在展开的长方形中，A到E的最短路径为直角三角形的斜边，两直角边分别为9m和40m。
根据勾股定理，最短路程为$\sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41m$。
41 m
5. 如图所示的是一个三级台阶,它每一级的长、宽、高分别为20 dm,3 dm,2 dm,A和B是这个三级台阶两个相对的顶点,则沿台阶面由A到B的最短路程是
25 dm
。答案
25 dm
解析
将三级台阶的台阶面展开成平面图形，得到一个长方形。
长方形的长为台阶的长，即$20\ dm$；
长方形的宽为台阶的（宽+高）×级数，即$(3 + 2)×3 = 15\ dm$。
根据勾股定理，A到B的最短路程为长方形的对角线长：
$\sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\ dm$
25 dm
长方形的长为台阶的长，即$20\ dm$；
长方形的宽为台阶的（宽+高）×级数，即$(3 + 2)×3 = 15\ dm$。
根据勾股定理，A到B的最短路程为长方形的对角线长：
$\sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\ dm$
25 dm
6. 国庆期间,某小区计划用彩带装饰门口的四根圆柱形立柱,为了美观,每根立柱需要按如图所示的方式从点A沿立柱表面缠绕三周到其正上方的点B处。若每根立柱的底面周长为1.5 m,高为6 m,则每根立柱所用彩带的最短长度为
7.5 m
。答案
7.5 m
解析
将圆柱侧面沿母线展开，得到一个长方形。底面周长为$1.5\,m$，缠绕三周，所以展开图中长方形的长为$1.5×3 = 4.5\,m$，宽为圆柱的高$6\,m$。
彩带最短长度为展开图中长方形的对角线长，根据勾股定理：
$\sqrt{4.5^{2} + 6^{2}} = \sqrt{20.25 + 36} = \sqrt{56.25} = 7.5\,m$
7.5 m
彩带最短长度为展开图中长方形的对角线长，根据勾股定理：
$\sqrt{4.5^{2} + 6^{2}} = \sqrt{20.25 + 36} = \sqrt{56.25} = 7.5\,m$
7.5 m
