1. 如图所示,△ABC是等边三角形,点D在AC边上,∠DBC= 35°,则∠ADB的度数为()

A.25°
B.60°
C.85°
D.95°

D

$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore \angle ABC =\angle ACB= \angle A=60°$，
已知$\angle DBC = 35°$，
$\therefore \angle ABD =\angle ABC- \angle DBC= 60° - 35° = 25°$，
根据三角形内角和为$180°$的性质，在$\triangle ABD$中，已知$\angle A = 60°$，
$\therefore \angle ADB = 180° - \angle A - \angle ABD= 180° - 60° - 25° = 95°$。

2. (2025·成都)如图所示,在等边三角形ABC中,BD平分∠ABC,点E是BC延长线上一点,且CE= CD,连接DE,则∠BDE的度数为()

A.90°
B.100°
C.120°
D.150°

C

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°。
∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=30°，∠BDC=90°（三线合一）。
∵CE=CD，∴∠CDE=∠E。
∵∠ACB=∠CDE+∠E=60°，∴∠CDE=∠E=30°。
∵∠BDC=90°，∠CDE=30°，∴∠BDE=∠BDC+∠CDE=120°。

3. 如图所示,△ABC是等边三角形,AD是角平分线,△ADE是等边三角形,有下列结论：①AD⊥BC；②EF= FD；③BE= BD。其中正确的有()
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个

A

①∵△ABC是等边三角形，AD是角平分线，根据等边三角形三线合一性质，AD⊥BC，①正确；②设DE交AB于F，∵△ADE是等边三角形，∴∠ADE=60°，AD=AE，∠DAE=60°，又∠BAD=30°（AD平分60°角），∴∠EAF=∠DAF=30°，在△AEF和△ADF中，AE=AD，∠EAF=∠DAF，AF=AF，∴△AEF≌△ADF（SAS），∴EF=FD，②正确；③在△ABE和△ABD中，AB=AB，∠BAE=∠BAD=30°，AE=AD，∴△ABE≌△ABD（SAS），∴BE=BD，③正确。综上，①②③都正确。

4. 下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②一条角平分线恰好是对边上的高的三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。其中是等边三角形的有()
A.①②③
B.①③④
C.①③
D.①②③④

B

①：三角形有两个角为60°，根据三角形内角和为180°，第三个角也为60°，三个角都为60°的三角形是等边三角形，所以①正确。
②：设三角形为$\bigtriangleup ABC$，角平分线$AD$是对边$BC$上的高，可用$ASA$证明$\bigtriangleup ABD\cong \bigtriangleup ACD$，得到$AB=AC$，即三角形是等腰三角形，但无法证明其为等边三角形，所以②错误。
③：三个外角都相等，因为三角形外角和为$360°$，所以每个外角为$120°$，则三个内角都为$60°$，三个角都为60°的三角形是等边三角形，所以③正确。
④：一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，说明这条中线所在直线是这条腰的垂直平分线，根据垂直平分线性质和等腰三角形性质可推出另一条腰和底边相等，三边都相等的三角形是等边三角形，所以④正确。
综上，①③④正确，答案选B中的选项（题目选项对应为B包含①③④）。

5. 如图所示,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC的三等分点。分别过点E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是。

6

由于$E,F$是边$BC$的三等分点，且$BC$的长度为6，
所以$BE = EF = FC =\frac{6}{3}= 2$，
由于$DE// AB$，$DF// AC$，
根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，
所以$\angle DEF = \angle ABC = 60°$，$\angle DFE = \angle ACB = 60°$，
由于$\angle DEF = \angle DFE = 60°$，
根据等边三角形的性质，三个角都是$60°$的三角形是等边三角形，
所以$\bigtriangleup DEF$是等边三角形，
由于$EF = 2$，
所以$\bigtriangleup DEF$的边长也为2，
因此，$\bigtriangleup DEF$的周长为$3 × 2 = 6$。

6. 如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,△CAP和△CBQ都是等边三角形,BQ和CP交于点H,求证：BQ⊥CP。

证明：
∵△CAP是等边三角形，
∴∠ACP=60°。
∵∠ACB=90°，
∴∠BCP=∠ACB - ∠ACP=90° - 60°=30°。
∵△CBQ是等边三角形，
∴∠CBQ=60°，即∠HBC=60°。
在△CHB中，∠HCB=∠BCP=30°，∠HBC=60°，
∴∠HCB + ∠HBC=30° + 60°=90°。
∴∠CHB=180° - (∠HCB + ∠HBC)=90°。
∴BQ⊥CP。

7. 货轮在海上以每小时6 n mile的速度沿南偏东40°的方向航行,已知货轮在B处时,测得灯塔A在其北偏东80°的方向上,航行半小时后货轮到达C处,此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上,求货轮到达C处时与灯塔A的距离。

3 n mile

解：
1. 计算BC的长度：
货轮速度为6 n mile/h，航行时间0.5 h，
则 $ BC = 6 × 0.5 = 3 \, n mile $。
2. 确定∠ABC的度数：
在B处，灯塔A在北偏东80°，货轮航行方向为南偏东40°。
正北与正南方向夹角为180°，
故 $ \angle ABC = 180° - 80° - 40° = 60° $。
3. 确定∠ACB的度数：
在C处，灯塔A在北偏东20°，货轮从B到C的方向为南偏东40°，则C处看B为北偏西40°。
北偏东20°与北偏西40°的夹角为 $ 20° + 40° = 60° $，
故 $ \angle ACB = 60° $。
4. 判定△ABC的形状：
在△ABC中，$ \angle ABC = \angle ACB = 60° $，
则 $ \angle BAC = 180° - 60° - 60° = 60° $，
故△ABC为等边三角形，因此 $ AC = BC $。
5. 结论：
$ AC = BC = 3 \, n mile $。