4. 计算$\frac{4x}{x^{2}-4}-\frac{2}{x - 2}$的结果是 ()
A.$\frac{2}{x + 2}$
B.$\frac{2}{x - 2}$
C.$-\frac{2}{x + 2}$
D.$-\frac{2}{x - 2}$

A

原式为 $\frac{4x}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x - 2}$。
首先，将分母 $x^{2} - 4$ 分解为 $(x + 2)(x - 2)$。
然后，对第二项进行通分，使其分母与第一项相同，即：
$\frac{4x}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{2(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)}$
接着，进行合并：
$= \frac{4x - 2x - 4}{(x + 2)(x - 2)}$
$= \frac{2x - 4}{(x + 2)(x - 2)}$
$= \frac{2(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)}$
最后，进行约分：
$= \frac{2}{x + 2}$

5. 计算:
(1)$\frac{1}{6x}+\frac{2}{9x^{2}}$；
(2)$\frac{2a}{a^{2}-4}-\frac{1}{a - 2}$；
(3)$a - 1+\frac{1}{a + 1}$.

(1)$\frac{3x + 4}{18x^{2}}$；(2)$\frac{1}{a + 2}$；(3)$\frac{a^{2}}{a + 1}$。

(1) $\frac{1}{6x}+\frac{2}{9x^{2}}$
最简公分母为$18x^{2}$，
$\frac{1}{6x}=\frac{3x}{18x^{2}}$，$\frac{2}{9x^{2}}=\frac{4}{18x^{2}}$，
原式$=\frac{3x}{18x^{2}}+\frac{4}{18x^{2}}=\frac{3x + 4}{18x^{2}}$。
(2) $\frac{2a}{a^{2}-4}-\frac{1}{a - 2}$
$a^{2}-4=(a - 2)(a + 2)$，最简公分母为$(a - 2)(a + 2)$，
$\frac{1}{a - 2}=\frac{a + 2}{(a - 2)(a + 2)}$，
原式$=\frac{2a}{(a - 2)(a + 2)}-\frac{a + 2}{(a - 2)(a + 2)}=\frac{2a-(a + 2)}{(a - 2)(a + 2)}=\frac{a - 2}{(a - 2)(a + 2)}=\frac{1}{a + 2}$。
(3) $a - 1+\frac{1}{a + 1}$
将$a - 1$化为分式：$a - 1=\frac{(a - 1)(a + 1)}{a + 1}=\frac{a^{2}-1}{a + 1}$，
原式$=\frac{a^{2}-1}{a + 1}+\frac{1}{a + 1}=\frac{a^{2}-1 + 1}{a + 1}=\frac{a^{2}}{a + 1}$。

1. 计算$\frac{6}{a}+\frac{2}{a}$的结果为 ()
A.$\frac{4}{a}$
B.$\frac{12}{a^{2}}$
C.$\frac{8}{a}$
D.$\frac{12}{a}$

C

根据分式加法法则，同分母的分式相加，分母不变，分子相加。因此$\frac{6}{a}+\frac{2}{a}=\frac{6+2}{a}=\frac{8}{a}$。

2. 计算$\frac{1}{x - 1}-\frac{x}{x - 1}$的结果是 ( )

A.-1
B.2
C.$\frac{x}{x - 1}$
D.$\frac{1 + x}{x - 1}$

A

原式=$\frac{1 - x}{x - 1}=\frac{-(x - 1)}{x - 1}=-1$

3. 计算$\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{3x}$的结果是 ()
A.$\frac{1}{2x}$
B.$\frac{1}{6x}$
C.$\frac{5}{6x}$
D.$\frac{11}{6x}$

D

首先找到三个分式的最小公倍数分母，即 $6x$。
然后将每个分式转换为以 $6x$ 为分母的形式：
$\frac{1}{x} = \frac{6}{6x}$，
$\frac{1}{2x} = \frac{3}{6x}$，
$\frac{1}{3x} = \frac{2}{6x}$，
接着将这三个同分母的分式相加：
$\frac{6}{6x} + \frac{3}{6x} + \frac{2}{6x} = \frac{11}{6x}$，
最后与选项进行对比。

4. 计算$\frac{2}{1 - m^{2}}-\frac{1}{m + 1}$的结果是 ()
A.$\frac{1}{m + 1}$
B.$-\frac{1}{m + 1}$
C.$\frac{m + 3}{m^{2}-1}$
D.$\frac{1}{1 - m}$

D

原式：$\frac{2}{1 - m^{2}} - \frac{1}{m + 1}$，
因为$1 - m^{2} = (1 - m)(1 + m)$，
所以原式可以写为：
$\frac{2}{(1 - m)(1 + m)} - \frac{1}{m + 1}$
为了进行减法，需要使两个分式有相同的分母。
将第二个分式与$\frac{1 - m}{1 - m}$相乘，得到：
$\frac{1}{m + 1} × \frac{1 - m}{1 - m} = \frac{1 - m}{(1 - m)(1 + m)}$
现在，两个分式有了相同的分母，可以进行减法：
$\frac{2}{(1 - m)(1 + m)} - \frac{1 - m}{(1 - m)(1 + m)} = \frac{2 - (1 - m)}{(1 - m)(1 + m)}$
化简得：
$\frac{1 + m}{(1 - m)(1 + m)} = \frac{1}{1 - m}$
因为分子的$1+m$与分母的$1+m$相约（注意，这里$m \neq -1$，否则分母为0，分式无意义）。

5. (2024·通州)如果$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}= 3$,那么分式$\frac{6xy}{x + y}$的值是 ()
A.6
B.3
C.2
D.12

C

由已知$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3$，通分可得$\frac{y + x}{xy}=3$，即$x + y = 3xy$。将$x + y = 3xy$代入$\frac{6xy}{x + y}$，可得$\frac{6xy}{3xy}=2$。

6. 如图所示是佳佳计算$\frac{x - 3}{x^{2}-4}+\frac{1}{2 - x}$的过程,
则下列说法中正确的是 ()
$\frac{x - 3}{x^{2}-4}+\frac{1}{2 - x}= \frac{x - 3}{(x + 2)(x - 2)}-\frac{1}{x - 2}$①
$=\frac{x - 3}{(x + 2)(x - 2)}-\frac{x + 2}{(x + 2)(x - 2)}$②
$=x - 3 - x - 2$③
$=-5$④
A.运算完全正确
B.第①②两步都有错
C.只有第③步有错
D.第②③两步都有错

C

题中过程如下：
①$\frac{x - 3}{x^2 - 4} + \frac{1}{2 - x} = \frac{x - 3}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{1}{x - 2}$（将分母统一，正确）；
②$\frac{x - 3}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{x + 2}{(x + 2)(x - 2)}$（通分时，分子应为$1 × (x + 2)$的相反数为$-(x + 2)$，但原式第二步正确写了减法形式，分子书写正确，此步无误，但需要注意到下一步计算错误）；
③在②的基础上，应进行分子相减：$\frac{(x - 3) - (x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{x - 3 - x - 2}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{-5}{(x + 2)(x - 2)}$，而题中直接写成了$x - 3 - x - 2$，漏写分母，属于计算错误；
④结果应为$\frac{-5}{(x + 2)(x - 2)}$，而非$-5$。
因此，只有第③步有错。

7. (新定义)(2024·广元)若点$Q(x,y)满足\frac{1}{x}+\frac{1}{y}= \frac{1}{xy}$,则称点$Q$为“美好点”,写出一个“美好点”的坐标。

如$(2, - 1)$（答案满足$x + y = 1$且$x\neq 0,y\neq0$即可）。

由题意，给定方程为$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{xy}$，且$x \neq 0$，$y \neq 0$，$xy \neq 0$。
将方程两边同时乘以$xy$，得到：$y + x = 1$。
即$x + y =1$，可以很多组解，例如$x =2$，$y = - 1$时，满足条件。
所以一个“美好点”的坐标为$(2, - 1)$（答案不唯一）。

8. 计算：
(1)$\frac{x^{2}}{x - 1}-\frac{x}{x - 1}$；
(2)$\frac{4}{a - 2}-\frac{2a}{a - 2}$；
(3)$\frac{3}{a^{2}-9}-\frac{a}{9 - a^{2}}$；
(4)$\frac{2x^{2}}{x - y}-\frac{2y^{2}}{x - y}$.

(1)
$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{x - 1}-\frac{x}{x - 1} &= \frac{x^{2}-x}{x - 1} \\ &= \frac{x(x - 1)}{x - 1} \\ &= x \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} \frac{4}{a - 2}-\frac{2a}{a - 2} &= \frac{4 - 2a}{a - 2} \\ &= \frac{2(2 - a)}{a - 2} \\ &= -2 \end{aligned}$
(3)
因为$9 - a^{2}=-(a^{2}-9)$，所以
$\begin{aligned} \frac{3}{a^{2}-9}-\frac{a}{9 - a^{2}} &= \frac{3}{a^{2}-9}+\frac{a}{a^{2}-9} \\ &= \frac{3 + a}{a^{2}-9} \\ &= \frac{a + 3}{(a + 3)(a - 3)} \\ &= \frac{1}{a - 3} \end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned} \frac{2x^{2}}{x - y}-\frac{2y^{2}}{x - y} &= \frac{2x^{2}-2y^{2}}{x - y} \\ &= \frac{2(x^{2}-y^{2})}{x - y} \\ &= \frac{2(x + y)(x - y)}{x - y} \\ &= 2(x + y) \end{aligned}$