4.抛物线$y= 5x^2与直线y= kx+3的交点为(1,b)$,求$b$,$k$的值。

解：因为点$(1,b)$在抛物线$y = 5x^2$上，所以将$x = 1$代入$y = 5x^2$，得$b=5×1^2=5$。
因为点$(1,5)$在直线$y = kx + 3$上，所以将$x = 1$，$y = 5$代入$y = kx + 3$，得$5=k×1 + 3$，解得$k=2$。
综上，$b=5$，$k=2$。

1.下列各点中与点$(2,4)$同在二次函数$y= ax^2$的图象上的是()。
A.$(3,-9)$
B.$(-3,9)$
C.$(-3,-9)$
D.$(-9,-3)$

解：
∵点$(2,4)$在二次函数$y=ax^2$的图象上，
∴$4=a×2^2$，解得$a=1$，
∴二次函数解析式为$y=x^2$。
A. 当$x=3$时，$y=3^2=9≠-9$，故不在图象上；
B. 当$x=-3$时，$y=(-3)^2=9$，故在图象上；
C. 当$x=-3$时，$y=(-3)^2=9≠-9$，故不在图象上；
D. 当$x=-9$时，$y=(-9)^2=81≠-3$，故不在图象上。
答案：B

2.若点$(-3,y_1)$,$(-2,y_2)$,$(1,y_3)都在二次函数y= ax^2(a＜0)$的图象上,则()。
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$

解：∵二次函数$y = ax^2$中$a＜0$，
∴抛物线开口向下，对称轴为$y$轴，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小。
∵点$(-3,y_1)$，$(-2,y_2)$在对称轴左侧，且$-3＜-2$，
∴$y_1＜y_2$。
∵点$(1,y_3)$在对称轴右侧，点$(-1,y_3)$与$(1,y_3)$关于$y$轴对称，
又∵$-2＜-1$，且在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，
∴$y_2＞y_3$。
综上，$y_1＜y_3＜y_2$。
答案：B

3.已知$y= (k-1)x^{k^2-2}是关于x$的二次函数,且有最大值,则$k= $。

解：因为$y = (k - 1)x^{k^2 - 2}$是关于$x$的二次函数，所以$k^2 - 2 = 2$且$k - 1 \neq 0$。
由$k^2 - 2 = 2$，得$k^2 = 4$，解得$k = \pm 2$。
又因为函数有最大值，所以二次项系数$k - 1 ＜ 0$，即$k ＜ 1$。
综上，$k = -2$。
答案：$-2$

4.二次函数$y= (m-1)x^2$的图象开口向下,则$m$。

【解析】：
对于二次函数$y = ax^2$，其开口方向由系数$a$决定。
当$a ＞ 0$时，图象开口向上；
当$a ＜ 0$时，图象开口向下。
对于给定的函数$y = (m-1)x^2$，其开口方向由$m-1$决定。
根据题意，图象开口向下，所以$m-1 ＜ 0$。
解这个不等式，得到$m ＜ 1$。
【答案】：
$m ＜ 1$

5.如图,在同一平面直角坐标系中,作出了二次函数①$y= 3x^2$；②$y= \frac{1}{2}x^2$；③$y= x^2$的图象,则开口由小到大的三条抛物线分别对应的二次函数依次是。

【解析】：本题考查二次函数$y=ax^2$图象的开口大小与系数$a$的关系。
对于二次函数$y = ax^2$（$a\neq0$），$\vert a\vert$的大小决定了抛物线开口的大小，$\vert a\vert$越大，抛物线的开口就越小；$\vert a\vert$越小，抛物线的开口就越大。
在函数①$y = 3x^2$中，$a = 3$，$\vert a\vert=\vert3\vert = 3$；
在函数②$y=\frac{1}{2}x^2$中，$a=\frac{1}{2}$，$\vert a\vert=\vert\frac{1}{2}\vert=\frac{1}{2}$；
在函数③$y = x^2$中，$a = 1$，$\vert a\vert=\vert1\vert = 1$。
比较$\vert a\vert$的大小：$3\gt1\gt\frac{1}{2}$，即$\vert3\vert\gt\vert1\vert\gt\vert\frac{1}{2}\vert$。
根据$\vert a\vert$越大，抛物线开口越小，可得开口由小到大的顺序对应的函数序号为①③②。
【答案】：①③②

6.已知$y= (k+2)x^{k^2+k-4}$是二次函数,且当$x＜0$时,$y随x$的增大而增大。
(1)求$k$的值。
(2)直接写出顶点坐标和对称轴。

【解析】：
(1) 已知$y = (k + 2)x^{k^2 + k - 4}$是二次函数，根据二次函数的定义，指数应为2，即：
$k^2 + k - 4 = 2$，
同时，由于当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而增大，说明二次函数的开口方向应向下，即系数$k + 2 ＜ 0$。
接下来我们解方程组：
$\begin{cases}k^2 + k - 4 = 2, \\k + 2 ＜ 0.\end{cases}$
首先解第一个方程：
$k^2 + k - 6 = 0$，
$(k - 2)(k + 3) = 0$，
$k = 2 \quad 或 \quad k = -3$，
然后考虑第二个方程$k + 2 ＜ 0$，即$k ＜ -2$。
综合两个方程，只有$k = -3$满足条件。
(2) 对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a})$，对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$。
在本题中，由于$b = 0$，且$a = k + 2 = -3 + 2 = -1$，所以顶点坐标为$(0, 0)$，对称轴为$x = 0$。
【答案】：
(1) $k = -3$；
(2) 顶点坐标为$(0, 0)$，对称轴为$x = 0$（或$y$轴）。

7.抛物线$y= ax^2与直线y= 2x-3交于点A(1,b)$。
(1)求$a$,$b$的值。
(2)求抛物线$y= ax^2与直线y= -2的两个交点B$,$C$的坐标(点$B在点C$右侧)。
(3)求$\triangle OBC$的面积。

【解析】：
本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，以及如何通过联立方程求解交点坐标，还有利用交点坐标求三角形的面积。
(1) 首先，由于点A(1,b)在直线$y = 2x - 3$上，可以通过代入$x = 1$，求得$b$的值。
然后，由于点A也在抛物线$y = ax^2$上，将求得的$b$值和$x = 1$代入抛物线方程，即可求得$a$的值。
(2) 接着，为了求抛物线$y = ax^2$与直线$y = -2$的交点B和C，需要联立这两个方程，并解出$x$的值。
由于题目要求点B在点C的右侧，所以需要根据$x$的大小确定B和C的坐标。
(3) 最后，为了求三角形OBC的面积，可以利用三角形面积公式$S = \frac{1}{2} × 底 × 高$。
在这里，底是BC的长度，即两点间$x$坐标之差的绝对值，高是点O到直线$y = -2$的距离，即2。
另外，也可以通过求出直线$y=-2$与$x$轴交点坐标，将$\triangle OBC$分割成两个三角形，利用三角形面积公式求解。
【答案】：
(1)
解：由于点A(1,b)在直线$y = 2x - 3$上，
代入$x = 1$，得$b = 2 × 1 - 3 = -1$。
又因为点A(1,-1)在抛物线$y = ax^2$上，
代入$x = 1, y = -1$，得$-1 = a × 1^2$，解得$a = -1$。
综上，$a = -1, b = -1$。
(2)
解：联立抛物线$y = -x^2$和直线$y = -2$的方程，
得$-x^2 = -2$，即$x^2 = 2$。
解得$x = \pm \sqrt{2}$。
由于点B在点C的右侧，
所以点B的坐标为$(\sqrt{2}, -2)$，点C的坐标为$(-\sqrt{2}, -2)$。
(3)
解：$\triangle OBC$的底为$BC$，$BC=2\sqrt{2},$
$\triangle OBC$的高为点$O$到$BC$的垂线段的长度，即$2$。
所以$S_{\triangle OBC} = \frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × 2 = 2\sqrt{2}$。
综上，$S_{\triangle OBC} =2\sqrt{2}$。