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1. 方程$(x+1)^2= 0$的根是(
A.$x_1= x_2= 1$
B.$x_1= x_2= -1$
C.$x_1= -1$,$x_2= 1$
D.无实数根
B
).A.$x_1= x_2= 1$
B.$x_1= x_2= -1$
C.$x_1= -1$,$x_2= 1$
D.无实数根
答案
解：$(x+1)^2=0$
两边直接开平方，得$x+1=0$
解得$x_1=x_2=-1$
答案：B
两边直接开平方，得$x+1=0$
解得$x_1=x_2=-1$
答案：B
2. 下列说法中,正确的有(
①若$x^2= 5$,则$x$是5的平方根. ②$x= \sqrt{3}不是方程x^2= 3$的根. ③$x^2-12= 0的根是x= \pm2\sqrt{3}$. ④$x^2-4x+4= (x-2)^2$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
).①若$x^2= 5$,则$x$是5的平方根. ②$x= \sqrt{3}不是方程x^2= 3$的根. ③$x^2-12= 0的根是x= \pm2\sqrt{3}$. ④$x^2-4x+4= (x-2)^2$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
【解析】：
本题主要考察平方根的定义，方程的根的判断，一元二次方程的求解以及完全平方公式的应用。
① 对于 $x^2 = 5$，根据平方根的定义，若一个数的平方等于5，则这个数是5的平方根。
因此，$x$ 是5的平方根，此说法正确。
② 对于 $x = \sqrt{3}$，将其代入方程 $x^2 = 3$，得到 $(\sqrt{3})^2 = 3$，满足方程，所以 $x = \sqrt{3}$ 是方程 $x^2 = 3$ 的一个根，此说法错误。
③ 对于 $x^2 - 12 = 0$，移项得 $x^2 = 12$，进一步开方得 $x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$，此说法正确。
④ 对于 $x^2 - 4x + 4$，根据完全平方公式，可以化简为 $(x - 2)^2$，此说法正确。
综上，正确的说法有3个。
【答案】：
C. 3个。
本题主要考察平方根的定义，方程的根的判断，一元二次方程的求解以及完全平方公式的应用。
① 对于 $x^2 = 5$，根据平方根的定义，若一个数的平方等于5，则这个数是5的平方根。
因此，$x$ 是5的平方根，此说法正确。
② 对于 $x = \sqrt{3}$，将其代入方程 $x^2 = 3$，得到 $(\sqrt{3})^2 = 3$，满足方程，所以 $x = \sqrt{3}$ 是方程 $x^2 = 3$ 的一个根，此说法错误。
③ 对于 $x^2 - 12 = 0$，移项得 $x^2 = 12$，进一步开方得 $x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$，此说法正确。
④ 对于 $x^2 - 4x + 4$，根据完全平方公式，可以化简为 $(x - 2)^2$，此说法正确。
综上，正确的说法有3个。
【答案】：
C. 3个。
3. 用直接开平方法解方程$\frac{1}{2}(2x-5)^2-2= 0$,可得它的根为
$x_1=\frac{7}{2}$，$x_2=\frac{3}{2}$
.答案
解：$\frac{1}{2}(2x-5)^2-2=0$
$\frac{1}{2}(2x-5)^2=2$
$(2x-5)^2=4$
$2x-5=\pm2$
当$2x-5=2$时，$2x=7$，$x=\frac{7}{2}$
当$2x-5=-2$时，$2x=3$，$x=\frac{3}{2}$
根为$x_1=\frac{7}{2}$，$x_2=\frac{3}{2}$
$\frac{1}{2}(2x-5)^2=2$
$(2x-5)^2=4$
$2x-5=\pm2$
当$2x-5=2$时，$2x=7$，$x=\frac{7}{2}$
当$2x-5=-2$时，$2x=3$，$x=\frac{3}{2}$
根为$x_1=\frac{7}{2}$，$x_2=\frac{3}{2}$
4. 用直接开平方法解方程：①$x^2-3= 0$；②$-2x^2= 0$；③$x^2+16= 0$；④$(x-2)^2= 0$. 其中有实数解的方程是
①②④
(填序号).答案
解：①$x^2 - 3 = 0$
$x^2 = 3$
$x = \pm\sqrt{3}$，有实数解。
②$-2x^2 = 0$
$x^2 = 0$
$x_1 = x_2 = 0$，有实数解。
③$x^2 + 16 = 0$
$x^2 = -16$，无实数解。
④$(x - 2)^2 = 0$
$x - 2 = 0$
$x_1 = x_2 = 2$，有实数解。
其中有实数解的方程是①②④。
答案：①②④
$x^2 = 3$
$x = \pm\sqrt{3}$，有实数解。
②$-2x^2 = 0$
$x^2 = 0$
$x_1 = x_2 = 0$，有实数解。
③$x^2 + 16 = 0$
$x^2 = -16$，无实数解。
④$(x - 2)^2 = 0$
$x - 2 = 0$
$x_1 = x_2 = 2$，有实数解。
其中有实数解的方程是①②④。
答案：①②④
5. 在实数范围内定义运算“$*$”,其规则为“$a*b= a^2-b^2$”,根据这个规则,方程$(x+2)*5= 0$的解为
$x_1 = 3$，$x_2 = -7$
.答案
【解析】：
本题考查了在新定义运算下的直接开平方法解一元二次方程。
首先，我们需要理解题目中给出的新定义运算规则，即$a*b = a^2 - b^2$。
然后，我们将这个规则应用到方程$(x+2)*5=0$中，得到$(x+2)^2 - 5^2 = 0$。
接着，我们利用直接开平方法，将方程转化为$(x+2)^2 = 25$。
最后，我们对方程进行开方，得到$x+2 = \pm 5$，从而解出$x$的值。
【答案】：
解：根据新定义运算规则，我们有
$(x+2)*5 = (x+2)^2 - 5^2 = 0$
移项得
$(x+2)^2 = 25$
开方得
$x+2 = \pm 5$
所以，我们得到两个解：
$x_1 = 5 - 2 = 3$
$x_2 = -5 - 2 = -7$
故答案为：$x_1 = 3$，$x_2 = -7$。
本题考查了在新定义运算下的直接开平方法解一元二次方程。
首先，我们需要理解题目中给出的新定义运算规则，即$a*b = a^2 - b^2$。
然后，我们将这个规则应用到方程$(x+2)*5=0$中，得到$(x+2)^2 - 5^2 = 0$。
接着，我们利用直接开平方法，将方程转化为$(x+2)^2 = 25$。
最后，我们对方程进行开方，得到$x+2 = \pm 5$，从而解出$x$的值。
【答案】：
解：根据新定义运算规则，我们有
$(x+2)*5 = (x+2)^2 - 5^2 = 0$
移项得
$(x+2)^2 = 25$
开方得
$x+2 = \pm 5$
所以，我们得到两个解：
$x_1 = 5 - 2 = 3$
$x_2 = -5 - 2 = -7$
故答案为：$x_1 = 3$，$x_2 = -7$。
6. 用直接开平方法解下列方程.
(1) $(2x+1)^2-16= 0$.
(2) $(y+3)^2= (5-3y)^2$.
(1) $(2x+1)^2-16= 0$.
(2) $(y+3)^2= (5-3y)^2$.
答案
(1)解：移项，得$(2x+1)^2=16$
开平方，得$2x+1=±4$
即$2x+1=4$或$2x+1=-4$
解得$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=-\frac{5}{2}$
(2)解：开平方，得$y+3=±(5-3y)$
即$y+3=5-3y$或$y+3=-(5-3y)$
当$y+3=5-3y$时，$4y=2$，解得$y_1=\frac{1}{2}$
当$y+3=-(5-3y)$时，$y+3=-5+3y$，$2y=8$，解得$y_2=4$
开平方，得$2x+1=±4$
即$2x+1=4$或$2x+1=-4$
解得$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=-\frac{5}{2}$
(2)解：开平方，得$y+3=±(5-3y)$
即$y+3=5-3y$或$y+3=-(5-3y)$
当$y+3=5-3y$时，$4y=2$，解得$y_1=\frac{1}{2}$
当$y+3=-(5-3y)$时，$y+3=-5+3y$，$2y=8$，解得$y_2=4$
7. 若$(a+b+1)(a+b-1)= 15$,则$\sqrt{a+b}$的值是多少？
答案
解：设$x = a + b$，则原方程可化为$(x + 1)(x - 1)=15$。
展开得$x^2 - 1=15$，移项得$x^2=16$。
直接开平方得$x = \pm 4$。
因为$\sqrt{a + b}$有意义，所以$a + b\geq0$，即$x\geq0$，故$x = 4$。
所以$\sqrt{a + b}=\sqrt{4}=2$。
答案：$2$
展开得$x^2 - 1=15$，移项得$x^2=16$。
直接开平方得$x = \pm 4$。
因为$\sqrt{a + b}$有意义，所以$a + b\geq0$，即$x\geq0$，故$x = 4$。
所以$\sqrt{a + b}=\sqrt{4}=2$。
答案：$2$
8. 某正方形的边长为3 m,要使该正方形的面积为$64 m^2$,则该正方形的边长需增加多少？
答案
解：设该正方形的边长需增加 $ x $ m。
根据题意，得 $(3 + x)^2 = 64$
直接开平方，得 $ 3 + x = \pm 8 $
解得 $ 3 + x = 8 $ 或 $ 3 + x = -8 $
即 $ x = 5 $ 或 $ x = -11 $
因为边长增加的长度不能为负数，所以 $ x = -11 $ 不合题意，舍去。
答：该正方形的边长需增加 $ 5 $ m。
根据题意，得 $(3 + x)^2 = 64$
直接开平方，得 $ 3 + x = \pm 8 $
解得 $ 3 + x = 8 $ 或 $ 3 + x = -8 $
即 $ x = 5 $ 或 $ x = -11 $
因为边长增加的长度不能为负数，所以 $ x = -11 $ 不合题意，舍去。
答：该正方形的边长需增加 $ 5 $ m。
