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12. (★)下列图形是相似图形的有【
①两个半径不相等的圆；②所有的正方形；③所有的等腰三角形；④所有的等边三角形；⑤所有的正六边形。
A.$2$组
B.$3$组
C.$4$组
D.$5$组
C
】①两个半径不相等的圆；②所有的正方形；③所有的等腰三角形；④所有的等边三角形；⑤所有的正六边形。
A.$2$组
B.$3$组
C.$4$组
D.$5$组
答案
B（这里的B选项对应的是3+1（即4组，原题目选项给出的是几组的选择，B选项在原题中为3组的邻项，实际正确对应选择应为表示4组的选项）的实际意义按题目选项为选择表示4组的C选项） （按题目要求直接选择）C
解析
① 两个半径不相等的圆，形状相同，大小不同，满足相似图形的定义，所以相似。
②所有的正方形，对应角相等，对应边成比例，满足相似图形的定义，所以相似。
③所有的等腰三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似。
④所有的等边三角形，对应角都是$60°$，相等，对应边成比例，满足相似图形的定义，所以相似。
⑤所有的正六边形，对应角相等，对应边成比例，满足相似图形的定义，所以相似。
所以相似图形有4组。
②所有的正方形，对应角相等，对应边成比例，满足相似图形的定义，所以相似。
③所有的等腰三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似。
④所有的等边三角形，对应角都是$60°$，相等，对应边成比例，满足相似图形的定义，所以相似。
⑤所有的正六边形，对应角相等，对应边成比例，满足相似图形的定义，所以相似。
所以相似图形有4组。
13. (★★)手工制作课上,小红利用一些花布的边角料,剪裁后装饰手工画,图27.1 - 8中的四个图案分别是她剪裁出的空心菱形、等边三角形、正方形、矩形花边,其中,每个图案花边的宽度都相等,那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是【
D
】答案
D
解析
相似图形需满足对应角相等且对应边成比例。
A. 空心菱形：内外均为菱形，对应角相等，对应边成比例，相似。
B. 等边三角形：内外均为等边三角形，对应角均60°，对应边成比例，相似。
C. 正方形：内外均为正方形，对应角均90°，对应边成比例，相似。
D. 矩形：内外均为矩形，对应角相等（均90°），但对应边比例可能因原矩形长宽比不同而变化（如外矩形长10宽4，内矩形长8宽2，比例10:4≠8:2），不一定相似。
A. 空心菱形：内外均为菱形，对应角相等，对应边成比例，相似。
B. 等边三角形：内外均为等边三角形，对应角均60°，对应边成比例，相似。
C. 正方形：内外均为正方形，对应角均90°，对应边成比例，相似。
D. 矩形：内外均为矩形，对应角相等（均90°），但对应边比例可能因原矩形长宽比不同而变化（如外矩形长10宽4，内矩形长8宽2，比例10:4≠8:2），不一定相似。
14. (★★)已知$\triangle ABC和\triangle A_1B_1C_1$相似,相似比为$2:3$；$\triangle A_1B_1C_1和\triangle A_2B_2C_2$相似,相似比为$5:4$,则$\triangle ABC与\triangle A_2B_2C_2$的相似比为【
A.$\frac{6}{5}$
B.$\frac{5}{6}$
C.$\frac{6}{5}或\frac{5}{6}$
D.$\frac{8}{15}$
B
】A.$\frac{6}{5}$
B.$\frac{5}{6}$
C.$\frac{6}{5}或\frac{5}{6}$
D.$\frac{8}{15}$
答案
B
解析
设△ABC的边长为2k，则△A₁B₁C₁对应边长为3k。因为△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂相似比为5:4，所以△A₂B₂C₂对应边长为3k×(4/5)=12k/5。则△ABC与△A₂B₂C₂的相似比为2k : (12k/5)=5:6。
15. (★★)如果一个直角三角形的两条边长分别是$6和8$,另一个与它相似的直角三角形边长分别是$3$,$4及x$,那么$x$的值【
A.只有$1$个
B.可以有$2$个
C.可以有$3$个
D.有无数个
B
】A.只有$1$个
B.可以有$2$个
C.可以有$3$个
D.有无数个
答案
B
解析
分两种情况讨论：
情况1：第一个直角三角形两直角边为6和8，斜边为$\sqrt{6^2+8^2}=10$（三边长6,8,10）。
第二个直角三角形边长3,4,x与该三角形相似，相似比为$\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
若3,4为直角边，则斜边$x=10×\frac{1}{2}=5$，此时三角形三边3,4,5，与6,8,10相似。
情况2：第一个直角三角形直角边为6，斜边为8，另一直角边为$\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$（三边长6,$2\sqrt{7}$,8）。
第二个直角三角形与该三角形相似，相似比为$\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
若4为斜边，3为直角边，则另一直角边$x=2\sqrt{7}×\frac{1}{2}=\sqrt{7}$，此时三角形三边3,$\sqrt{7}$,4，与6,$2\sqrt{7}$,8相似。
综上，$x=5$或$x=\sqrt{7}$，共2个值。
情况1：第一个直角三角形两直角边为6和8，斜边为$\sqrt{6^2+8^2}=10$（三边长6,8,10）。
第二个直角三角形边长3,4,x与该三角形相似，相似比为$\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
若3,4为直角边，则斜边$x=10×\frac{1}{2}=5$，此时三角形三边3,4,5，与6,8,10相似。
情况2：第一个直角三角形直角边为6，斜边为8，另一直角边为$\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$（三边长6,$2\sqrt{7}$,8）。
第二个直角三角形与该三角形相似，相似比为$\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
若4为斜边，3为直角边，则另一直角边$x=2\sqrt{7}×\frac{1}{2}=\sqrt{7}$，此时三角形三边3,$\sqrt{7}$,4，与6,$2\sqrt{7}$,8相似。
综上，$x=5$或$x=\sqrt{7}$，共2个值。
16. (★★)已知菱形$A_1B_1C_1D_1的边长为2$,$\angle A_1B_1C_1 = 60^{\circ}$,对角线$A_1C_1$,$B_1D_1相交于点O$,以点$O$为坐标原点,分别以$OA_1$,$OB_1所在直线为x$轴、$y$轴,建立如图27.1 - 9所示的直角坐标系。以$B_1D_1为对角线作菱形B_1C_2D_1A_2$,使它与菱形$A_1B_1C_1D_1$相似,再以$A_2C_2为对角线作菱形A_2B_2C_2D_2$,使它与菱形$B_1C_2D_1A_2$相似,再以$B_2D_2为对角线作菱形B_2C_3D_2A_3$,使它与菱形$A_2B_2C_2D_2$相似……按此规律继续作下去,在$x轴的正半轴上得到点A_1$,$A_2$,$A_3$,…$$,$A_n$,则点$A_n$的坐标为
$(3^{n-1},0)$
。答案
$(3^{n-1},0)$
解析
在菱形$A_1B_1C_1D_1$中，边长为2，$\angle A_1B_1C_1=60°$，对角线交于点$O$。在$Rt\triangle A_1OB_1$中，$\angle A_1B_1O=30°$，$A_1B_1=2$，则$OA_1=A_1B_1\cdot\sin30°=2×\frac{1}{2}=1$，故$A_1(1,0)$。
后续菱形均以原对角线为对角线，与前一个菱形相似，中心为$O$，对角线仍在坐标轴上。因相似菱形对角线比为$1:\sqrt{3}$，每次新菱形在x轴正半轴的半对角线长为前一次y轴半对角线长的$\sqrt{3}$倍，而前一次y轴半对角线长为其x轴半对角线长的$\sqrt{3}$倍，故x轴半对角线长每次扩大3倍。
则$OA_1=1=3^0$，$OA_2=3=3^1$，$OA_3=9=3^2$，...，$OA_n=3^{n-1}$。因此$A_n(3^{n-1},0)$。
后续菱形均以原对角线为对角线，与前一个菱形相似，中心为$O$，对角线仍在坐标轴上。因相似菱形对角线比为$1:\sqrt{3}$，每次新菱形在x轴正半轴的半对角线长为前一次y轴半对角线长的$\sqrt{3}$倍，而前一次y轴半对角线长为其x轴半对角线长的$\sqrt{3}$倍，故x轴半对角线长每次扩大3倍。
则$OA_1=1=3^0$，$OA_2=3=3^1$，$OA_3=9=3^2$，...，$OA_n=3^{n-1}$。因此$A_n(3^{n-1},0)$。
17. (★★)如图27.1 - 10,$G是正方形ABCD对角线AC$上一点,作$GE\perp AD$,$GF\perp AB$,垂足分别为$E$,$F$。求证：四边形$AFGE与四边形ABCD$相似。
答案
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AB=BC=CD=DA，AC平分∠DAB。
∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴∠AEG=∠AFG=90°，GF//AD，GE//AB，
∴四边形AFGE是矩形（两组对边平行且有一个角为直角的四边形是矩形），
∴∠FAG=∠AFG=∠FGE=∠GEA=90°，即四边形AFGE各内角与四边形ABCD各内角对应相等。
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC=∠DAC=45°。
在Rt△AFG中，∠FAG=45°，
∴AF=GF（等腰直角三角形两直角边相等）。
同理，在Rt△AEG中，AE=GE。
设AF=GF=m，由矩形性质得GE=AF=m，AE=GF=m，
∴AF=FG=GE=EA=m。设AB=BC=CD=DA=n，
则AF/AB=FG/BC=GE/CD=EA/DA=m/n，即对应边成比例。
综上，四边形AFGE与四边形ABCD相似。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AB=BC=CD=DA，AC平分∠DAB。
∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴∠AEG=∠AFG=90°，GF//AD，GE//AB，
∴四边形AFGE是矩形（两组对边平行且有一个角为直角的四边形是矩形），
∴∠FAG=∠AFG=∠FGE=∠GEA=90°，即四边形AFGE各内角与四边形ABCD各内角对应相等。
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC=∠DAC=45°。
在Rt△AFG中，∠FAG=45°，
∴AF=GF（等腰直角三角形两直角边相等）。
同理，在Rt△AEG中，AE=GE。
设AF=GF=m，由矩形性质得GE=AF=m，AE=GF=m，
∴AF=FG=GE=EA=m。设AB=BC=CD=DA=n，
则AF/AB=FG/BC=GE/CD=EA/DA=m/n，即对应边成比例。
综上，四边形AFGE与四边形ABCD相似。
