14. 如图, 四边形 $ABCD$ 是菱形, $CE\perp AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$, $CF\perp AD$ 交 $AD$ 的延长线于点 $F$, 求证: $DF = BE$.

连接$ AC $，$ \because $四边形$ ABCD $是菱形，$ \therefore AC $平分$ \angle DAE $，$ CD = BC $，$ \because CE \perp AB $，$ CF \perp AD $，$ \therefore CE = FC $，$ \angle CFD = \angle CEB = 90^{\circ} $。在$ Rt \triangle CDF $和$ Rt \triangle CBE $中，$ \begin{cases} CD = CB, \\ CF = CE, \end{cases} $ $ \therefore Rt \triangle CDF \cong Rt \triangle CBE $，$ \therefore DF = BE $

15. 在 $Rt\triangle ABC$ 中, $\angle BAC = 90^{\circ}$, $D$ 是 $BC$ 的中点, $E$ 是 $AD$ 的中点, 过点 $A$ 作 $AF// BC$ 交 $CE$ 的延长线于点 $F$.
(1) 求证: 四边形 $ADBF$ 是菱形;
(2) 若 $AB = 8$, 菱形 $ADBF$ 的面积为 40. 求 $AC$ 的长.

(1) $ \because AF // BC $，$ \therefore \angle AFC = \angle FCD $，$ \angle FAE = \angle CDE $，$ \because $点$ E $是$ AD $的中点，$ \therefore AE = DE $，$ \therefore \triangle FAE \cong \triangle CDE (AAS) $，$ \therefore AF = CD $，$ \because $点$ D $是$ BC $的中点，$ \therefore BD = CD $，$ \therefore AF = BD $，$ \therefore $四边形$ ADBF $是平行四边形，$ \because \angle BAC = 90^{\circ} $，$ D $是$ BC $的中点，$ \therefore AD = BD = \frac{1}{2}BC $，$ \therefore $四边形$ ADBF $是菱形 (2) $ \because $四边形$ ADBF $是菱形，$ \therefore S_{菱形ADBF} = 2S_{\triangle ABD} $，$ \because $点$ D $是$ BC $的中点，$ \therefore S_{\triangle ABC} = 2S_{\triangle ABD} $，$ \therefore S_{菱形ADBF} = S_{\triangle ABC} = 40 $，$ \therefore \frac{1}{2}AB \cdot AC = 40 $，$ \because AB = 8 $，$ \therefore AC = 10 $

16. 如图, $AC$ 是 $\square ABCD$ 的一条对角线, 过 $AC$ 中点 $O$ 的直线分别交 $AD$, $BC$ 于点 $E$, $F$.
(1) 求证: $AE = CF$;
(2) 连接 $AF$, $CE$.
① 当 $EF$ 和 $AC$ 满足条件______时, 四边形 $AFCE$ 是菱形;
② 若 $AB = 1$, $BC = 2$, $\angle B = 60^{\circ}$, 则四边形 $AFCE$ 为矩形时, $EF$ 的长是______.

(1) $ \because AD // BC $，$ \therefore \angle EAO = \angle FCO $。$ \because O $是$ AC $的中点，$ \therefore OA = OC $，在$ \triangle AOE $和$ \triangle COF $中，$ \begin{cases} \angle EAO = \angle FCO, \\ OA = OC, \\ \angle AOE = \angle COF, \end{cases} $ $ \therefore \triangle AOE \cong \triangle COF (ASA) $。$ \therefore AE = CF $
(2) ① $ EF \perp AC $ ② $ \sqrt{3} $