19. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D$、$E分别是线段BC$、$AD$的中点,过点$A作BC的平行线交BE的延长线于点F$,连结$CF$。
(1)求证：$\triangle BDE \cong \triangle FAE$；
(2)求证：四边形$ADCF$是矩形。

1. （1）证明：
因为$AF// BC$，所以$\angle DBE=\angle AFE$，$\angle BDE=\angle FAE$。
又因为$E$是$AD$的中点，所以$AE = DE$。
在$\triangle BDE$和$\triangle FAE$中，$\begin{cases}\angle DBE=\angle AFE\\\angle BDE=\angle FAE\\DE = AE\end{cases}$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle BDE\cong\triangle FAE$。
(2)$\because\triangle AEF\cong\triangle DEB$，$\therefore AF = BD$.
$\because D$是$BC$的中点，$\therefore BD = CD$.
$\therefore AF = CD$.$\because AF// DC$，
$\therefore$四边形$ADCF$是平行四边形.
$\because AB = AC$，$BD = CD$，$\therefore AD\perp BC$.
$\therefore\angle ADC = 90^{\circ}$.$\therefore□ ADCF$是矩形.

20. 某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛,对甲、乙两名同学进行了$8$次跳高选拔比赛,他们的原始成绩(单位：$cm$)如下表：
|次数成绩学生|第1次|第2次|第3次|第4次|第5次|第6次|第7次|第8次|
|甲|169|165|168|169|172|173|169|167|
|乙|161|174|172|162|163|172|172|176|
两名同学的$8$次跳高成绩数据分析如下表：
|名称成绩学生|平均数$/cm$|中位数$/cm$|众数$/cm$|方差$/cm^{2}$|
|甲|$a$|$b$|$c$|$5.75$|
|乙|169|172|172|$31.25$|
根据图表信息回答下列问题：
(1)求$a$、$b$、$c$的值；
(2)这两名同学中,______的成绩更为稳定(填“甲”或“乙”)；
(3)若预测跳高成绩为$165cm$就可能获得冠军,该校为了获取跳高比赛冠军,你认为应该选择哪位同学参赛,并说明理由。

(1)$a = 169$ $b = 169$ $c = 169$
(2)甲
(3)应选择甲.
理由如下：
若跳高成绩为$165cm$就获得冠军，那么根据成绩在$165cm$或$165cm$
以上的次数甲多，选择甲.