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(2)用数字 1、3、5、7 可以组成多少个没有重复数字的两位数? 请按从小到大的顺序写出来。
答案
【解析】：本题可根据排列组合的知识，先确定十位上的数字，再确定个位上的数字，进而求出组成没有重复数字的两位数的个数，并按从小到大的顺序排列出来。
- **步骤一：确定组成没有重复数字的两位数的个数**
要组成没有重复数字的两位数，可分两步完成。
第一步，确定十位上的数字，从$1$、$3$、$5$、$7$这$4$个数字中任选一个，有$4$种选法。
第二步，确定个位上的数字，因为十位上已经选了一个数字，所以此时只剩下$3$个数字可供选择，有$3$种选法。
根据乘法原理，可得能组成的没有重复数字的两位数的个数为：$4\times3 = 12$（个）。
- **步骤二：按从小到大的顺序写出这些两位数**
当十位上是$1$时，组成的两位数有$13$、$15$、$17$。
当十位上是$3$时，组成的两位数有$31$、$35$、$37$。
当十位上是$5$时，组成的两位数有$51$、$53$、$57$。
当十位上是$7$时，组成的两位数有$71$、$73$、$75$。
将这些两位数按从小到大的顺序排列为：$13\lt15\lt17\lt31\lt35\lt37\lt51\lt53\lt57\lt71\lt73\lt75$。
【答案】：可以组成$12$个没有重复数字的两位数，从小到大依次为$13$、$15$、$17$、$31$、$35$、$37$、$51$、$53$、$57$、$71$、$73$、$75$。
- **步骤一：确定组成没有重复数字的两位数的个数**
要组成没有重复数字的两位数，可分两步完成。
第一步，确定十位上的数字，从$1$、$3$、$5$、$7$这$4$个数字中任选一个，有$4$种选法。
第二步，确定个位上的数字，因为十位上已经选了一个数字，所以此时只剩下$3$个数字可供选择，有$3$种选法。
根据乘法原理，可得能组成的没有重复数字的两位数的个数为：$4\times3 = 12$（个）。
- **步骤二：按从小到大的顺序写出这些两位数**
当十位上是$1$时，组成的两位数有$13$、$15$、$17$。
当十位上是$3$时，组成的两位数有$31$、$35$、$37$。
当十位上是$5$时，组成的两位数有$51$、$53$、$57$。
当十位上是$7$时，组成的两位数有$71$、$73$、$75$。
将这些两位数按从小到大的顺序排列为：$13\lt15\lt17\lt31\lt35\lt37\lt51\lt53\lt57\lt71\lt73\lt75$。
【答案】：可以组成$12$个没有重复数字的两位数，从小到大依次为$13$、$15$、$17$、$31$、$35$、$37$、$51$、$53$、$57$、$71$、$73$、$75$。
(3)某校食堂的午餐有米饭、馒头、面条三种主食,有红烧肉、鱼香肉丝、麻婆豆腐、油淋青菜四种菜品。如果一名同学选择其中的一种主食和两种菜品作为午餐(选择的两种菜品不重复),那么一共有多少种不同的搭配方法?
答案
【解析】：本题可先分别计算出选择主食的方法数和选择菜品的方法数，再根据乘法原理计算出总的搭配方法数。
**步骤一：计算选择主食的方法数**
已知午餐有米饭、馒头、面条三种主食，从中选择一种主食，那么选择主食的方法数为$3$种。
**步骤二：计算选择菜品的方法数**
已知有红烧肉、鱼香肉丝、麻婆豆腐、油淋青菜四种菜品，要从中选择两种不重复的菜品。我们可以用组合数公式$C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}$来计算，其中$n$表示总数，$k$表示选取的个数。
将$n = 4$，$k = 2$代入组合数公式可得：
$\begin{aligned}C_{4}^2&=\frac{4!}{2!(4 - 2)!}\\&=\frac{4\times3\times2\times1}{(2\times1)\times(2\times1)}\\&=\frac{24}{4}\\&= 6\end{aligned}$
即选择菜品的方法数为$6$种。
**步骤三：计算总的搭配方法数**
根据乘法原理：做一件事，完成它需要分成$n$个步骤，做第一步有$m_1$种不同的方法，做第二步有$m_2$种不同的方法……做第$n$步有$m_n$种不同的方法，那么完成这件事共有$N = m_1\times m_2\times\cdots\times m_n$种不同的方法。
因为选择主食和选择菜品是两个独立的步骤，所以总的搭配方法数为选择主食的方法数乘以选择菜品的方法数，即$3\times6 = 18$（种）。
【答案】：$18$
**步骤一：计算选择主食的方法数**
已知午餐有米饭、馒头、面条三种主食，从中选择一种主食，那么选择主食的方法数为$3$种。
**步骤二：计算选择菜品的方法数**
已知有红烧肉、鱼香肉丝、麻婆豆腐、油淋青菜四种菜品，要从中选择两种不重复的菜品。我们可以用组合数公式$C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}$来计算，其中$n$表示总数，$k$表示选取的个数。
将$n = 4$，$k = 2$代入组合数公式可得：
$\begin{aligned}C_{4}^2&=\frac{4!}{2!(4 - 2)!}\\&=\frac{4\times3\times2\times1}{(2\times1)\times(2\times1)}\\&=\frac{24}{4}\\&= 6\end{aligned}$
即选择菜品的方法数为$6$种。
**步骤三：计算总的搭配方法数**
根据乘法原理：做一件事，完成它需要分成$n$个步骤，做第一步有$m_1$种不同的方法，做第二步有$m_2$种不同的方法……做第$n$步有$m_n$种不同的方法，那么完成这件事共有$N = m_1\times m_2\times\cdots\times m_n$种不同的方法。
因为选择主食和选择菜品是两个独立的步骤，所以总的搭配方法数为选择主食的方法数乘以选择菜品的方法数，即$3\times6 = 18$（种）。
【答案】：$18$
3 解决问题。
大江和西西参加了学校的种植活动。老师为他们准备了向日葵、牵牛花和郁金香三种种子,大、中、小三种花盆,以及普通土、营养土两种土壤。若要种植一棵植物,需要选择一种种子、一种花盆和一种土壤,一共有多少种不同的种植搭配方案? 请用自己喜欢的方式列举出来。
大江和西西参加了学校的种植活动。老师为他们准备了向日葵、牵牛花和郁金香三种种子,大、中、小三种花盆,以及普通土、营养土两种土壤。若要种植一棵植物,需要选择一种种子、一种花盆和一种土壤,一共有多少种不同的种植搭配方案? 请用自己喜欢的方式列举出来。
答案
【解析】：本题可根据分步乘法计数原理来计算种植搭配方案的总数，再用列举法将所有方案一一列出。
**步骤一：分析选择种子、花盆和土壤的方法数**
已知有向日葵、牵牛花和郁金香三种种子，那么选择一种种子的方法有$3$种；有大、中、小三种花盆，选择一种花盆的方法有$3$种；有普通土、营养土两种土壤，选择一种土壤的方法有$2$种。
**步骤二：计算种植搭配方案的总数**
根据分步乘法计数原理：完成一件事需要$n$个步骤，做第$1$步有$m_1$种不同的方法，做第$2$步有$m_2$种不同的方法……做第$n$步有$m_n$种不同的方法，那么完成这件事共有$N = m_1\times m_2\times\cdots\times m_n$种不同的方法。
所以种植一棵植物，选择一种种子、一种花盆和一种土壤的不同种植搭配方案共有$3\times3\times2 = 18$（种）。
**步骤三：列举所有种植搭配方案**
为了方便列举，我们用$A$、$B$、$C$分别表示向日葵、牵牛花、郁金香三种种子；用$1$、$2$、$3$分别表示大、中、小三种花盆；用$a$、$b$分别表示普通土、营养土两种土壤。
则所有的种植搭配方案为：$A1a$、$A1b$、$A2a$、$A2b$、$A3a$、$A3b$、$B1a$、$B1b$、$B2a$、$B2b$、$B3a$、$B3b$、$C1a$、$C1b$、$C2a$、$C2b$、$C3a$、$C3b$。
【答案】：一共有$18$种不同的种植搭配方案，分别为：向日葵 - 大花盆 - 普通土、向日葵 - 大花盆 - 营养土、向日葵 - 中花盆 - 普通土、向日葵 - 中花盆 - 营养土、向日葵 - 小花盆 - 普通土、向日葵 - 小花盆 - 营养土、牵牛花 - 大花盆 - 普通土、牵牛花 - 大花盆 - 营养土、牵牛花 - 中花盆 - 普通土、牵牛花 - 中花盆 - 营养土、牵牛花 - 小花盆 - 普通土、牵牛花 - 小花盆 - 营养土、郁金香 - 大花盆 - 普通土、郁金香 - 大花盆 - 营养土、郁金香 - 中花盆 - 普通土、郁金香 - 中花盆 - 营养土、郁金香 - 小花盆 - 普通土、郁金香 - 小花盆 - 营养土。
**步骤一：分析选择种子、花盆和土壤的方法数**
已知有向日葵、牵牛花和郁金香三种种子，那么选择一种种子的方法有$3$种；有大、中、小三种花盆，选择一种花盆的方法有$3$种；有普通土、营养土两种土壤，选择一种土壤的方法有$2$种。
**步骤二：计算种植搭配方案的总数**
根据分步乘法计数原理：完成一件事需要$n$个步骤，做第$1$步有$m_1$种不同的方法，做第$2$步有$m_2$种不同的方法……做第$n$步有$m_n$种不同的方法，那么完成这件事共有$N = m_1\times m_2\times\cdots\times m_n$种不同的方法。
所以种植一棵植物，选择一种种子、一种花盆和一种土壤的不同种植搭配方案共有$3\times3\times2 = 18$（种）。
**步骤三：列举所有种植搭配方案**
为了方便列举，我们用$A$、$B$、$C$分别表示向日葵、牵牛花、郁金香三种种子；用$1$、$2$、$3$分别表示大、中、小三种花盆；用$a$、$b$分别表示普通土、营养土两种土壤。
则所有的种植搭配方案为：$A1a$、$A1b$、$A2a$、$A2b$、$A3a$、$A3b$、$B1a$、$B1b$、$B2a$、$B2b$、$B3a$、$B3b$、$C1a$、$C1b$、$C2a$、$C2b$、$C3a$、$C3b$。
【答案】：一共有$18$种不同的种植搭配方案，分别为：向日葵 - 大花盆 - 普通土、向日葵 - 大花盆 - 营养土、向日葵 - 中花盆 - 普通土、向日葵 - 中花盆 - 营养土、向日葵 - 小花盆 - 普通土、向日葵 - 小花盆 - 营养土、牵牛花 - 大花盆 - 普通土、牵牛花 - 大花盆 - 营养土、牵牛花 - 中花盆 - 普通土、牵牛花 - 中花盆 - 营养土、牵牛花 - 小花盆 - 普通土、牵牛花 - 小花盆 - 营养土、郁金香 - 大花盆 - 普通土、郁金香 - 大花盆 - 营养土、郁金香 - 中花盆 - 普通土、郁金香 - 中花盆 - 营养土、郁金香 - 小花盆 - 普通土、郁金香 - 小花盆 - 营养土。
