1. 填空。
(1) 计算$\frac{1}{4}×2$时,$\frac{1}{4}$的分母4和整数2可以同时除以,通过约分,$\frac{1}{4}×2$变成×,结果是。
(2) 计算$\frac{15}{16}×\frac{4}{5}$时,通过约分,$\frac{15}{16}×\frac{4}{5}$变成×,结果是。
比较约分前与约分后的算式可以发现,计算分数乘法时,先,再,能使计算变得简便。

解析：
(1) 题目考查分数与整数的乘法运算，特别是约分的步骤。我们需要找到分母4和整数2的最大公约数，然后用它进行约分。
(2) 题目考查分数与分数的乘法运算，同样注重约分的步骤。我们需要找到两个分数的分子和分母中可以约分的数，然后用它进行约分。
答案：
(1) 计算$\frac{1}{4} × 2$时，$\frac{1}{4}$的分母4和整数2可以同时除以2，通过约分，$\frac{1}{4} × 2$变成$\frac{1}{2} × 1$，结果是$\frac{1}{2}$。
(2) 计算$\frac{15}{16} × \frac{4}{5}$时，通过约分，$\frac{15}{16} × \frac{4}{5}$变成$\frac{3}{4} × 1$，结果是$\frac{3}{4}$。
比较约分前与约分后的算式可以发现，计算分数乘法时，先约分，再计算，能使计算变得简便。

2. 计算。
$\frac{5}{6}×3=$
$\frac{9}{4}×\frac{2}{15}=$

$\frac{5}{6}×3=\frac{5×3}{6}=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}$
$\frac{9}{4}×\frac{2}{15}=\frac{9×2}{4×15}=\frac{18}{60}=\frac{3}{10}$

3. 分析计算错误的原因并改正。
$\frac{7}{12}×7= \frac{7}{12}×\frac{1}{7}= \frac{1}{12}$
错误的原因：
正确计算：
$\frac{9}{25}×\frac{3}{5}= \frac{9}{25}×\frac{3}{5}= \frac{3}{5}$
错误的原因：
正确计算：

错误的原因：将整数7错误地转化为分数$\frac{1}{7}$，应该转化为$\frac{7}{1}$。
正确计算：$\frac{7}{12}×7=\frac{7}{12}×\frac{7}{1}=\frac{49}{12}$
错误的原因：计算过程中分子与分母错误约分，9和25、3和5均无除1外的公因数，不能约分。
正确计算：$\frac{9}{25}×\frac{3}{5}=\frac{9×3}{25×5}=\frac{27}{125}$

4. 搬运一堆重$\frac{3}{4}\ \text{t}$的沙子,已经搬了其中的$\frac{2}{3}$,已经搬运了多少吨?

$\frac{3}{4} × \frac{2}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$（吨）
答：已经搬运了$\frac{1}{2}$吨。

搬运一堆重$\frac{3}{4}\ \text{t}$的沙子,已经搬了其中的$\frac{2}{3}$,还剩下多少吨?(用两种方法解答)

解析：本题考查了分数乘法的应用。
方法一：可以先求出剩下的沙子占这堆沙子的比例，再用这个比例乘以沙子的总重量，就可以得到剩下的沙子的重量。
剩下的沙子占这堆沙子的比例为：
$1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$，
剩下的沙子的重量为：
$\frac{3}{4} × \frac{1}{3} = \frac{1}{4}(t)$；
方法二：可以先求出已经搬走的沙子的重量，再用总重量减去已经搬走的重量，就可以得到剩下的重量。
已经搬走的沙子的重量为：
$\frac{3}{4} × \frac{2}{3} = \frac{1}{2}(t)$，
剩下的沙子的重量为：
$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}(t)$，
答：还剩下$\frac{1}{4}\ \text{t}$沙子。