数学活动
活动 1 估算 A0 纸的长与宽
【例 1】按照国际标准，A 系列纸为长方形，其中 A0 纸的面积为 $1m^{2}$。将 A0 纸沿长边对折、裁开便成了两张 A1 纸，将 A1 纸沿长边对折、裁开便成了两张 A2 纸……将 A4 纸沿长边对折、裁开便成了两张 A5 纸。
【操作与观察】将一张 A4 纸按如图所示的方式进行两次折叠(折痕分别是 $AB$ 和 $AE$)，观察发现点 $B$ 恰好与点 $C$ 重合，求 A4 纸的长、宽之比。
【类比与归纳】①按照国际标准，类比上述研究可以得到 A5 纸的长、宽之比是；②用 A0 纸可以裁剪出的最大正方形的面积为。

操作与观察
设$A4$纸的长为$a$，宽为$b$。
由折叠可知$AB = AC$，在$Rt△ ABC$中，$AB^{2}=a^{2}+(\frac{a}{2})^{2}$（根据勾股定理$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，这里$c = AB$，两直角边分别为$a$和$\frac{a}{2}$），又因为$AB = AC = 2b$。
则$(2b)^{2}=a^{2}+(\frac{a}{2})^{2}$，即$4b^{2}=a^{2}+\frac{a^{2}}{4}=\frac{5a^{2}}{4}$，$16b^{2} = 5a^{2}$，$\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{16}{5}$，$\frac{a}{b}=\frac{2\sqrt{2}}{1}$（因为$a＞0,b＞0$）。
类比与归纳
①：因为$A$系列纸的长、宽之比是固定的，所以$A5$纸的长、宽之比与$A4$纸相同，为$\boldsymbol{\sqrt{2}:1}$。
②：设$A0$纸的长为$x$，宽为$y$，$xy = 1$，且$\frac{x}{y}=\sqrt{2}$，则$x=\sqrt{2}y$，代入$xy = 1$得$\sqrt{2}y^{2}=1$，$y^{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。
用$A0$纸裁剪出的最大正方形的边长为$y$，其面积$S = y^{2}=\boldsymbol{\frac{1}{\sqrt{2}}m^{2}}$。
综上，答案依次为：$\sqrt{2}:1$；$\frac{1}{\sqrt{2}}m^{2}$。

1.(实践与探究)如图，将两个边长为 1 的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，将四个等腰直角三角形拼成一个大正方形。拼成的大正方形的面积为。设拼成的大正方形的边长为 $a$，则 $a =$。我的发现：边长为 1 的正方形的对角线长是。
试一试：在数轴上找到表示 $-\sqrt{2}$ 的点。

拼成的大正方形的面积为2；
大正方形的边长$a=\sqrt{2}$；
边长为1的正方形的对角线长是$\sqrt{2}$；
在数轴上表示$-\sqrt{2}$的点如题中所图示（左数第二个空点）。

原正方形的边长为1，面积之和为：$1^2× 2=2$，
大正方形由四个三角形拼成，所以面积为原正方形面积之和，即2。
设大正方形的边长为$a$，则$a^2=2$，
解得$a=\sqrt{2}$。
边长为1的正方形的对角线长可以通过勾股定理计算：
$\mathrm{对角线长}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
在数轴上找到表示$-\sqrt{2}$的点：
以原点为起点，向左画一条长度为$\sqrt{2}$的线段，终点即为$-\sqrt{2}$。