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1. 观察方程组$\begin{cases}5x + 4y - 3z = 1,\\2x - 2y + 5z = 11,\\7x + 2z = 6\end{cases}$的系数特征，若要使求解简便，则消元时应( )。
A.先消去 $x$
B.先消去 $y$
C.先消去 $z$
D.以上说法都不对
A.先消去 $x$
B.先消去 $y$
C.先消去 $z$
D.以上说法都不对
答案
B
解析
观察方程组，第一个方程含4y，第二个方程含-2y，两方程中y的系数成倍数关系，将第二个方程乘2后与第一个方程相加可直接消去y，故先消去y简便。
2. 三元一次方程组$\begin{cases}x - y = 1,\\y - z = 1,\\x + z = 6\end{cases}$的解是( )。
A.$\begin{cases}x = 2,\\y = 3,\\z = 4\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 2,\\y = 4,\\z = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 3,\\y = 2,\\z = 4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 4,\\y = 3,\\z = 2\end{cases}$
A.$\begin{cases}x = 2,\\y = 3,\\z = 4\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 2,\\y = 4,\\z = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 3,\\y = 2,\\z = 4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 4,\\y = 3,\\z = 2\end{cases}$
答案
D
解析
由方程$x - y = 1$，可得$x = y + 1$；
由方程$y - z = 1$，可得$z = y - 1$；
将$x = y + 1$，$z = y - 1$代入方程$x + z = 6$中，得到：
$y + 1 + y - 1 = 6$，
$2y = 6$，
$y = 3$；
把$y = 3$代入$x = y + 1$，可得$x = 3 + 1 = 4$；
把$y = 3$代入$z = y - 1$，可得$z = 3 - 1 = 2$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 4,\\y = 3,\\z = 2\end{cases}$。
由方程$y - z = 1$，可得$z = y - 1$；
将$x = y + 1$，$z = y - 1$代入方程$x + z = 6$中，得到：
$y + 1 + y - 1 = 6$，
$2y = 6$，
$y = 3$；
把$y = 3$代入$x = y + 1$，可得$x = 3 + 1 = 4$；
把$y = 3$代入$z = y - 1$，可得$z = 3 - 1 = 2$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 4,\\y = 3,\\z = 2\end{cases}$。
3. 解方程组$\begin{cases}3x + 4y + z = 14,\\x + 5y + 2z = 17,\\2x + 2y - z = 3.\end{cases}$
答案
$\begin{cases}3x + 4y + z = 14,\\x + 5y + 2z = 17,\\2x + 2y - z = 3.\end{cases}$
解：
(1)+(3)，得：$5x + 6y = 17$ (4)
(1)×2-(2)，得：$5x + 3y = 11$ (6)
(4)-(6)，得：$3y = 6$，解得$y = 2$
将$y = 2$代入(6)：$5x + 3×2 = 11$，解得$x = 1$
将$x = 1$，$y = 2$代入(3)：$2×1 + 2×2 - z = 3$，解得$z = 3$
所以方程组的解为$\begin{cases}x=1,\\y=2,\\z=3.\end{cases}$
解：
(1)+(3)，得：$5x + 6y = 17$ (4)
(1)×2-(2)，得：$5x + 3y = 11$ (6)
(4)-(6)，得：$3y = 6$，解得$y = 2$
将$y = 2$代入(6)：$5x + 3×2 = 11$，解得$x = 1$
将$x = 1$，$y = 2$代入(3)：$2×1 + 2×2 - z = 3$，解得$z = 3$
所以方程组的解为$\begin{cases}x=1,\\y=2,\\z=3.\end{cases}$
1. 下列是三元一次方程组的是()。
A.$\begin{cases}2x = 5,\\x^{2}+y = 7,\\x + y + z = 6\end{cases}$
B.$\begin{cases}\dfrac{3}{x}-y + z = -2,\\x - 2y + z = 9,\\y = -3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y - z = 7,\\xyz = 1,\\x - 3y = 4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 2,\\y + z = 1,\\x + z = 9\end{cases}$
A.$\begin{cases}2x = 5,\\x^{2}+y = 7,\\x + y + z = 6\end{cases}$
B.$\begin{cases}\dfrac{3}{x}-y + z = -2,\\x - 2y + z = 9,\\y = -3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y - z = 7,\\xyz = 1,\\x - 3y = 4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 2,\\y + z = 1,\\x + z = 9\end{cases}$
答案
D
解析
根据三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程。
A选项中第二个方程$x^2 + y = 7$，未知数$x$的次数是2，不是一次方程，所以不是三元一次方程组；
B选项中第一个方程$\dfrac{3}{x} - y + z = -2$，$\dfrac{3}{x}$是分式，不是整式方程，所以不是三元一次方程组；
C选项中第二个方程$xyz = 1$，未知数的乘积次数是3，不是一次方程，所以不是三元一次方程组；
D选项含有三个未知数$x$、$y$、$z$，每个方程都是一次方程，且有三个方程，符合三元一次方程组的定义。
A选项中第二个方程$x^2 + y = 7$，未知数$x$的次数是2，不是一次方程，所以不是三元一次方程组；
B选项中第一个方程$\dfrac{3}{x} - y + z = -2$，$\dfrac{3}{x}$是分式，不是整式方程，所以不是三元一次方程组；
C选项中第二个方程$xyz = 1$，未知数的乘积次数是3，不是一次方程，所以不是三元一次方程组；
D选项含有三个未知数$x$、$y$、$z$，每个方程都是一次方程，且有三个方程，符合三元一次方程组的定义。
2. 下列方程：①$x + y - z = 1$；②$4xy + 3z = 7$；③$\dfrac{2}{x}+y - 7z = 0$；④$6x + 4y - 3 = 0$。其中是三元一次方程的是。(填序号)
答案
①
解析
三元一次方程需满足含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1，方程是整式方程。①含有三个未知数x、y、z，且各项次数都是1，是整式方程，符合；②中4xy项次数为2，不符合；③中$\dfrac{2}{x}$不是整式，不符合；④只含两个未知数，不符合。故是三元一次方程的是①。
3. 解方程组$\begin{cases}3x + z = 6,\\4x - y + 2z = 11,\\5x + 2y - 3z = 4\end{cases}$时，要使解法较为简便，应( )。
A.先消去 $x$
B.先消去 $y$
C.先消去 $z$
D.先消去常数
A.先消去 $x$
B.先消去 $y$
C.先消去 $z$
D.先消去常数
答案
B
解析
观察方程组$\begin{cases}3x + z = 6,\\4x - y + 2z = 11,\\5x + 2y - 3z = 4\end{cases}$，
方程$4x - y + 2z = 11$与$5x + 2y - 3z = 4$中$y$的系数分别是$-1$和$2$，
通过简单变形即可使$y$的系数绝对值相同，
用这两个方程消去$y$计算较简便，所以先消去$y$较为简便。
方程$4x - y + 2z = 11$与$5x + 2y - 3z = 4$中$y$的系数分别是$-1$和$2$，
通过简单变形即可使$y$的系数绝对值相同，
用这两个方程消去$y$计算较简便，所以先消去$y$较为简便。
4. 下列四组数值中，是方程组$\begin{cases}x + 2y + z = 0,\\2x - y - z = 1,\\3x - y - z = 2\end{cases}$的解的是( )。
A.$\begin{cases}x = 0,\\y = 1,\\z = -2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 0,\\y = 0,\\z = 1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 0,\\y = -1,\\z = 0\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 1,\\y = -2,\\z = 3\end{cases}$
A.$\begin{cases}x = 0,\\y = 1,\\z = -2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 0,\\y = 0,\\z = 1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 0,\\y = -1,\\z = 0\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 1,\\y = -2,\\z = 3\end{cases}$
答案
D
解析
首先，将方程3减去方程2可得$x$的值：
$3x - y - z - (2x - y - z) = 2 - 1$，
化简得：
$x = 1$，
接着，将$x = 1$代入方程2和方程1中，得到以下两个方程：
$\begin{cases}2×1 - y - z = 1, \\1 + 2y + z = 0.\end{cases}$
化简后得到：
$\begin{cases}- y - z = -1, \\ 2y + z =-1.\end{cases}$
将方程相加，得到：
$y = -2$，
最后，将$y = -2$，$x = 1$代入方程1中，得到：
$1 + 2×(-2) + z = 0$，
化简后得到：
$z = 3$，
综上所述，方程组的解为：
$\begin{cases}x = 1, \\y = -2, \\z = 3.\end{cases}$
与选项进行对比，发现只有选项D满足该解。
$3x - y - z - (2x - y - z) = 2 - 1$，
化简得：
$x = 1$，
接着，将$x = 1$代入方程2和方程1中，得到以下两个方程：
$\begin{cases}2×1 - y - z = 1, \\1 + 2y + z = 0.\end{cases}$
化简后得到：
$\begin{cases}- y - z = -1, \\ 2y + z =-1.\end{cases}$
将方程相加，得到：
$y = -2$，
最后，将$y = -2$，$x = 1$代入方程1中，得到：
$1 + 2×(-2) + z = 0$，
化简后得到：
$z = 3$，
综上所述，方程组的解为：
$\begin{cases}x = 1, \\y = -2, \\z = 3.\end{cases}$
与选项进行对比，发现只有选项D满足该解。
5. 解方程组$\begin{cases}x + 2y + z = 0,\\2x - y - z = 1,\\3x - y - z = 2.\end{cases}$
答案
$\begin{cases}x + 2y + z = 0,①\\2x - y - z = 1,②\\3x - y - z = 2.③\end{cases}$
②-③得：$-x=-1$，解得$x=1$。
将$x=1$代入①得：$1 + 2y + z = 0$，即$2y + z=-1$，④
将$x=1$代入②得：$2 - y - z = 1$，即$-y - z=-1$，⑤
④+⑤得：$y=-2$。
将$x=1$，$y=-2$代入①得：$1 + 2×(-2) + z = 0$，解得$z=3$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=-2\\z=3\end{cases}$
②-③得：$-x=-1$，解得$x=1$。
将$x=1$代入①得：$1 + 2y + z = 0$，即$2y + z=-1$，④
将$x=1$代入②得：$2 - y - z = 1$，即$-y - z=-1$，⑤
④+⑤得：$y=-2$。
将$x=1$，$y=-2$代入①得：$1 + 2×(-2) + z = 0$，解得$z=3$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=-2\\z=3\end{cases}$
