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10. 如图，四边形 $ABCD$ 为矩形，$E$ 是 $AB$ 延长线上的一点，$AC = EC$. 求证：四边形 $BECD$ 为平行四边形.
答案
10. $\because$ 四边形 $ABCD$ 为矩形，$\therefore AB// CD$，$AB = CD$，$∠ ABC = 90^{\circ}$，$\therefore CB⊥ AE$，又 $\because AC = EC$，$\therefore AB = BE$，$\therefore BE = CD$，$BE// CD$，$\therefore$ 四边形 $BECD$ 为平行四边形
解析
【分析】
要证明四边形$BECD$是平行四边形，可依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来推导。首先利用矩形的性质，得到$AB$与$CD$平行且相等，同时$CB$垂直于$AE$；再结合$AC=EC$，根据等腰三角形三线合一的性质得出$AB=BE$，进而得到$BE=CD$，且$BE$与$CD$平行，满足平行四边形的判定条件。
【解析】
证明：
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为矩形，
$\therefore AB// CD$，$AB = CD$，$∠ ABC = 90°$，
$\therefore CB⊥ AE$。
又 $\because AC = EC$，
$\therefore AB = BE$（等腰三角形三线合一）。
$\therefore BE = CD$，又 $BE// CD$，
$\therefore$ 四边形 $BECD$ 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
四边形$BECD$为平行四边形，证明如上。
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形三线合一，平行四边形的判定
【点评】
本题综合考查矩形、等腰三角形和平行四边形的性质与判定，解题核心是通过矩形性质和等腰三角形三线合一得到边的等量关系，再结合平行四边形判定定理完成证明，属于基础几何证明题，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.7
要证明四边形$BECD$是平行四边形，可依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来推导。首先利用矩形的性质，得到$AB$与$CD$平行且相等，同时$CB$垂直于$AE$；再结合$AC=EC$，根据等腰三角形三线合一的性质得出$AB=BE$，进而得到$BE=CD$，且$BE$与$CD$平行，满足平行四边形的判定条件。
【解析】
证明：
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为矩形，
$\therefore AB// CD$，$AB = CD$，$∠ ABC = 90°$，
$\therefore CB⊥ AE$。
又 $\because AC = EC$，
$\therefore AB = BE$（等腰三角形三线合一）。
$\therefore BE = CD$，又 $BE// CD$，
$\therefore$ 四边形 $BECD$ 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
四边形$BECD$为平行四边形，证明如上。
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形三线合一，平行四边形的判定
【点评】
本题综合考查矩形、等腰三角形和平行四边形的性质与判定，解题核心是通过矩形性质和等腰三角形三线合一得到边的等量关系，再结合平行四边形判定定理完成证明，属于基础几何证明题，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.7
11. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AE ⊥ BD$，$DF ⊥ AC$，垂足分别为 $E$，$F$. 求证：$BE = CF$.
答案
11. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$\therefore OA = OC = OB = OD$，$\because AE⊥ BD$，$DF⊥ AC$，$\therefore ∠ AEO = ∠ DFO = 90^{\circ}$，在 $△ AOE$ 和 $△ DOF$ 中，$\{\begin{array}{l}∠ AEO = ∠ DFO,\\∠ AOE = ∠ DOF,\\AO = DO,\end{array} $ $\therefore △ AOE≌△ DOF(AAS)$，$\therefore OE = OF$，$\therefore BO - OE = OC - OF$，即 $BE = CF$
解析
【分析】
要证明$BE=CF$，我们可以通过转化线段的方式来推导：首先根据矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，可得$OB=OC$，$OA=OD$；若能证明$OE=OF$，那么$BO-OE=OC-OF$，就能得到$BE=CF$。要证$OE=OF$，可通过证明$△ AOE$和$△ DOF$全等，结合已知的垂直条件得到直角相等，对顶角相等，再加上$OA=OD$，利用AAS即可证得全等，进而得到$OE=OF$，最终推出结论。
【解析】
证明：
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，
$\therefore OA = OC = OB = OD$，
$\because AE⊥ BD$，$DF⊥ AC$，
$\therefore ∠ AEO = ∠ DFO = 90°$，
在 $△ AOE$ 和 $△ DOF$ 中，
$\begin{cases}∠ AEO = ∠ DFO, \\∠ AOE = ∠ DOF, \\AO = DO,\end{cases}$
$\therefore △ AOE≌△ DOF(AAS)$，
$\therefore OE = OF$，
$\because OB=OC$，
$\therefore BO - OE = OC - OF$，
即 $BE = CF$。
【答案】
$BE = CF$得证
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题主要考查矩形的性质和全等三角形的判定与性质的综合应用，解题关键是利用矩形对角线的性质将待证线段转化为可通过全等证明的线段，需要熟练掌握相关几何图形的性质和全等三角形的判定定理。
【难度系数】
0.7
要证明$BE=CF$，我们可以通过转化线段的方式来推导：首先根据矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，可得$OB=OC$，$OA=OD$；若能证明$OE=OF$，那么$BO-OE=OC-OF$，就能得到$BE=CF$。要证$OE=OF$，可通过证明$△ AOE$和$△ DOF$全等，结合已知的垂直条件得到直角相等，对顶角相等，再加上$OA=OD$，利用AAS即可证得全等，进而得到$OE=OF$，最终推出结论。
【解析】
证明：
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，
$\therefore OA = OC = OB = OD$，
$\because AE⊥ BD$，$DF⊥ AC$，
$\therefore ∠ AEO = ∠ DFO = 90°$，
在 $△ AOE$ 和 $△ DOF$ 中，
$\begin{cases}∠ AEO = ∠ DFO, \\∠ AOE = ∠ DOF, \\AO = DO,\end{cases}$
$\therefore △ AOE≌△ DOF(AAS)$，
$\therefore OE = OF$，
$\because OB=OC$，
$\therefore BO - OE = OC - OF$，
即 $BE = CF$。
【答案】
$BE = CF$得证
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题主要考查矩形的性质和全等三角形的判定与性质的综合应用，解题关键是利用矩形对角线的性质将待证线段转化为可通过全等证明的线段，需要熟练掌握相关几何图形的性质和全等三角形的判定定理。
【难度系数】
0.7
12. 如图，四边形 $ABCD$ 是矩形，$E$ 为线段 $BC$ 上的一点，连接 $AE$，将 $△ ABE$ 沿 $AE$ 折叠，使得点 $B$ 落在矩形 $ABCD$ 内部的点 $F$ 处，连接 $CF$.
(1) 若 $E$ 为线段 $BC$ 的中点，$AD = 13$，$CF = 5$.
① 求证：$AE // FC$.
② $△ CEF$ 的面积为
(2) 若 $AD = 8$，$CD = 6$，直接写出线段 $CF$ 长度的最小值：
(1) 若 $E$ 为线段 $BC$ 的中点，$AD = 13$，$CF = 5$.
① 求证：$AE // FC$.
② $△ CEF$ 的面积为
15
.(2) 若 $AD = 8$，$CD = 6$，直接写出线段 $CF$ 长度的最小值：
4
.答案
12.（1）① 如图，连接 $BF$，$\because△ ABE$ 与 $△ AEF$ 成轴对称，$\therefore BE = EF$，$AE⊥ BF$，$BO = FO$，$AB = AF$，$\because E$ 为线段 $BC$ 的中点，$\therefore BE = EC$，$\because BE = EF = EC$，$\therefore ∠ EFC = ∠ FCE$，$\because ∠ BEF = 2∠ AEB = ∠ EFC + ∠ FCE = 2∠ EFC$，$\therefore ∠ AEB = ∠ FCE$，$\therefore AE// FC$
② 15 （2）4解析
【分析】
(1)① 要证明$AE// FC$，先利用折叠性质得到$BE=EF$，结合$E$是$BC$中点，得出$EF=EC$，使$△ EFC$为等腰三角形，$∠ EFC=∠ FCE$；再利用三角形外角性质，$∠ BEF=2∠ EFC$，同时由折叠可知$∠ BEF=2∠ AEB$，进而推出$∠ AEB=∠ FCE$，根据同位角相等即可证明两直线平行。
(1)② 先根据矩形性质得$BC=AD=13$，$E$为中点则$BE=EC=EF=6.5$，结合$CF=5$，利用斜边中线逆定理得出$∠ BFC=90°$，求出$BF$的长度，再结合等腰三角形的高计算$△ CEF$的面积。
(2) 由折叠知$AF=AB=CD=6$，点$F$在以$A$为圆心、6为半径的圆上，根据圆外一点到圆上点的距离最小值为圆心距减半径，计算$AC$的长度后即可求出$CF$的最小值。
【解析】
(1)① 证明：连接$BF$，交$AE$于点$O$。
$\because$ 将$△ ABE$沿$AE$折叠得到$△ AFE$，
$\therefore BE=EF$，$AE⊥ BF$，$∠ AEB=∠ AEF$，即$∠ BEF=2∠ AEB$。
$\because E$为$BC$的中点，$\therefore BE=EC$，
$\therefore EF=EC$，$\therefore ∠ EFC=∠ FCE$。
$\because ∠ BEF$是$△ EFC$的外角，
$\therefore ∠ BEF=∠ EFC+∠ FCE=2∠ EFC$，
$\therefore 2∠ AEB=2∠ EFC$，即$∠ AEB=∠ FCE$，
$\therefore AE// FC$（同位角相等，两直线平行）。
② 解：$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$AD=13$，
$\therefore BC=AD=13$，
$\because E$为$BC$中点，$\therefore BE=EC=EF=\frac{13}{2}=6.5$。
$\because EF=EC=BE$，$\therefore$ 点$F$在以$BC$为直径的圆上，
$\therefore ∠ BFC=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
在$\mathrm{Rt}△ BFC$中，$BC=13$，$CF=5$，
由勾股定理得：$BF=\sqrt{BC^2 - CF^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=12$。
$\because EF=EC$，$△ CEF$是等腰三角形，底边$CF=5$，
设$△ CEF$中$CF$边上的高为$h$，
则$h=\sqrt{EF^2 - (\frac{CF}{2})^2}=\sqrt{6.5^2 - 2.5^2}=\sqrt{(6.5-2.5)(6.5+2.5)}=6$，
$\therefore S_{△ CEF}=\frac{1}{2}× CF× h=\frac{1}{2}×5×6=15$。
(2) 解：$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$AD=8$，$CD=6$，
$\therefore AB=CD=6$，$AC=\sqrt{AD^2 + CD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
由折叠性质知$AF=AB=6$，即点$F$在以$A$为圆心、$6$为半径的圆上。
根据圆的性质，圆外一点$C$到圆上点$F$的距离最小值为$AC - AF$，
$\therefore CF$的最小值为$10 - 6=4$。
【答案】
(1) ① 见上述解析；② $\boldsymbol{15}$
(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
1. 矩形的性质
2. 折叠的性质
3. 圆的性质
【点评】
本题综合考查了矩形、折叠、等腰三角形、圆的相关性质，解题关键是熟练运用折叠的性质转化线段和角的关系，结合圆的性质求线段最值，需要较强的几何转化能力。
【难度系数】
0.4
(1)① 要证明$AE// FC$，先利用折叠性质得到$BE=EF$，结合$E$是$BC$中点，得出$EF=EC$，使$△ EFC$为等腰三角形，$∠ EFC=∠ FCE$；再利用三角形外角性质，$∠ BEF=2∠ EFC$，同时由折叠可知$∠ BEF=2∠ AEB$，进而推出$∠ AEB=∠ FCE$，根据同位角相等即可证明两直线平行。
(1)② 先根据矩形性质得$BC=AD=13$，$E$为中点则$BE=EC=EF=6.5$，结合$CF=5$，利用斜边中线逆定理得出$∠ BFC=90°$，求出$BF$的长度，再结合等腰三角形的高计算$△ CEF$的面积。
(2) 由折叠知$AF=AB=CD=6$，点$F$在以$A$为圆心、6为半径的圆上，根据圆外一点到圆上点的距离最小值为圆心距减半径，计算$AC$的长度后即可求出$CF$的最小值。
【解析】
(1)① 证明：连接$BF$，交$AE$于点$O$。
$\because$ 将$△ ABE$沿$AE$折叠得到$△ AFE$，
$\therefore BE=EF$，$AE⊥ BF$，$∠ AEB=∠ AEF$，即$∠ BEF=2∠ AEB$。
$\because E$为$BC$的中点，$\therefore BE=EC$，
$\therefore EF=EC$，$\therefore ∠ EFC=∠ FCE$。
$\because ∠ BEF$是$△ EFC$的外角，
$\therefore ∠ BEF=∠ EFC+∠ FCE=2∠ EFC$，
$\therefore 2∠ AEB=2∠ EFC$，即$∠ AEB=∠ FCE$，
$\therefore AE// FC$（同位角相等，两直线平行）。
② 解：$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$AD=13$，
$\therefore BC=AD=13$，
$\because E$为$BC$中点，$\therefore BE=EC=EF=\frac{13}{2}=6.5$。
$\because EF=EC=BE$，$\therefore$ 点$F$在以$BC$为直径的圆上，
$\therefore ∠ BFC=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
在$\mathrm{Rt}△ BFC$中，$BC=13$，$CF=5$，
由勾股定理得：$BF=\sqrt{BC^2 - CF^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=12$。
$\because EF=EC$，$△ CEF$是等腰三角形，底边$CF=5$，
设$△ CEF$中$CF$边上的高为$h$，
则$h=\sqrt{EF^2 - (\frac{CF}{2})^2}=\sqrt{6.5^2 - 2.5^2}=\sqrt{(6.5-2.5)(6.5+2.5)}=6$，
$\therefore S_{△ CEF}=\frac{1}{2}× CF× h=\frac{1}{2}×5×6=15$。
(2) 解：$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$AD=8$，$CD=6$，
$\therefore AB=CD=6$，$AC=\sqrt{AD^2 + CD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
由折叠性质知$AF=AB=6$，即点$F$在以$A$为圆心、$6$为半径的圆上。
根据圆的性质，圆外一点$C$到圆上点$F$的距离最小值为$AC - AF$，
$\therefore CF$的最小值为$10 - 6=4$。
【答案】
(1) ① 见上述解析；② $\boldsymbol{15}$
(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
1. 矩形的性质
2. 折叠的性质
3. 圆的性质
【点评】
本题综合考查了矩形、折叠、等腰三角形、圆的相关性质，解题关键是熟练运用折叠的性质转化线段和角的关系，结合圆的性质求线段最值，需要较强的几何转化能力。
【难度系数】
0.4
