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3. 某市政部门绿化队改进了对某块绿地的浇灌方式. 改进后,每天用水量是原来的 $\frac{4}{5}$,这样 $ 120\ \mathrm{m}^3 $ 水可多用 3 天. 现在每天的用水量是多少立方米?
答案
3. $ 8 \, \mathrm{m}^3 $
解析
【解析】
设原来每天用水量为$ x \, \mathrm{m}^3 $，则现在每天用水量为$ \frac{4}{5}x \, \mathrm{m}^3 $。
根据题意可列方程：
$\frac{120}{\frac{4}{5}x} - \frac{120}{x} = 3$
化简方程：
$\frac{150}{x} - \frac{120}{x} = 3$
$\frac{30}{x} = 3$
解得$ x = 10 $。
则现在每天用水量为$ \frac{4}{5} × 10 = 8 \, \mathrm{m}^3 $。
经检验，$ x = 10 $是原方程的解，且符合题意。
【答案】
$ 8 \, \mathrm{m}^3 $
【知识点】
分式方程的应用
【点评】
本题考查分式方程的实际应用，关键是根据用水量与使用天数的关系列出方程，解分式方程后需检验根的合理性。
【难度系数】
0.6
设原来每天用水量为$ x \, \mathrm{m}^3 $，则现在每天用水量为$ \frac{4}{5}x \, \mathrm{m}^3 $。
根据题意可列方程：
$\frac{120}{\frac{4}{5}x} - \frac{120}{x} = 3$
化简方程：
$\frac{150}{x} - \frac{120}{x} = 3$
$\frac{30}{x} = 3$
解得$ x = 10 $。
则现在每天用水量为$ \frac{4}{5} × 10 = 8 \, \mathrm{m}^3 $。
经检验，$ x = 10 $是原方程的解，且符合题意。
【答案】
$ 8 \, \mathrm{m}^3 $
【知识点】
分式方程的应用
【点评】
本题考查分式方程的实际应用，关键是根据用水量与使用天数的关系列出方程，解分式方程后需检验根的合理性。
【难度系数】
0.6
1. 甲、乙两班学生去植树,已知甲班每小时比乙班多植树 5 棵,甲班植树 80 棵所用的时间与乙班植树 70 棵所用的时间相等. 设甲班每小时植树 $ x $ 棵,根据题意,可列方程为(
A.$\frac{80}{x - 5}=\frac{70}{x}$
B.$\frac{80}{x}=\frac{70}{x + 5}$
C.$\frac{80}{x + 5}=\frac{70}{x}$
D.$\frac{80}{x}=\frac{70}{x - 5}$
D
)A.$\frac{80}{x - 5}=\frac{70}{x}$
B.$\frac{80}{x}=\frac{70}{x + 5}$
C.$\frac{80}{x + 5}=\frac{70}{x}$
D.$\frac{80}{x}=\frac{70}{x - 5}$
答案
1. D
解析
【解析】
设甲班每小时植树$x$棵，则乙班每小时植树$(x-5)$棵。
甲班植树80棵所用时间为$\frac{80}{x}$小时，乙班植树70棵所用时间为$\frac{70}{x-5}$小时。
根据“甲班植树80棵所用的时间与乙班植树70棵所用的时间相等”，可列方程：$\frac{80}{x}=\frac{70}{x-5}$。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的应用、工作时间公式
【点评】
本题考查根据实际问题列分式方程，解题关键是找准等量关系（时间相等），正确表示出甲、乙两班的植树效率，进而列出方程。
【难度系数】
0.8
设甲班每小时植树$x$棵，则乙班每小时植树$(x-5)$棵。
甲班植树80棵所用时间为$\frac{80}{x}$小时，乙班植树70棵所用时间为$\frac{70}{x-5}$小时。
根据“甲班植树80棵所用的时间与乙班植树70棵所用的时间相等”，可列方程：$\frac{80}{x}=\frac{70}{x-5}$。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的应用、工作时间公式
【点评】
本题考查根据实际问题列分式方程，解题关键是找准等量关系（时间相等），正确表示出甲、乙两班的植树效率，进而列出方程。
【难度系数】
0.8
2. 为加快“城市群”的建设与发展,在 A、B 两城市间新建一条城际铁路,建成后,铁路运行里程将由现在的 $ 120\ \mathrm{km} $ 缩短至 $ 114\ \mathrm{km} $,列车的平均速度将比现在快 $ 110\ \mathrm{km/h} $,运行时间仅是现在的 $\frac{2}{5}$. 求建成后列车在 A,B 两地之间的运行时间.
答案
2. $ 0.6 \, \mathrm{h} $
解析
【解析】
设现在列车的运行时间为$ x \, \mathrm{h} $，则建成后运行时间为$ \frac{2}{5}x \, \mathrm{h} $。
根据题意列方程：
$\frac{114}{\frac{2}{5}x} - \frac{120}{x} = 110$
化简方程左边：
$\frac{114 × 5}{2x} - \frac{120}{x} = \frac{285}{x} - \frac{120}{x} = \frac{165}{x}$
则$ \frac{165}{x} = 110 $，解得$ x = 1.5 $。
经检验，$ x = 1.5 $是原方程的解，且符合题意。
建成后运行时间为$ \frac{2}{5} × 1.5 = 0.6 \, \mathrm{h} $。
【答案】
$ 0.6 \, \mathrm{h} $
【知识点】
分式方程的应用
【点评】
本题考查分式方程在行程问题中的应用，关键是找准等量关系：建成后列车平均速度 - 现在列车平均速度 = 110 km/h，解分式方程后需检验根的合理性。
【难度系数】
0.6
设现在列车的运行时间为$ x \, \mathrm{h} $，则建成后运行时间为$ \frac{2}{5}x \, \mathrm{h} $。
根据题意列方程：
$\frac{114}{\frac{2}{5}x} - \frac{120}{x} = 110$
化简方程左边：
$\frac{114 × 5}{2x} - \frac{120}{x} = \frac{285}{x} - \frac{120}{x} = \frac{165}{x}$
则$ \frac{165}{x} = 110 $，解得$ x = 1.5 $。
经检验，$ x = 1.5 $是原方程的解，且符合题意。
建成后运行时间为$ \frac{2}{5} × 1.5 = 0.6 \, \mathrm{h} $。
【答案】
$ 0.6 \, \mathrm{h} $
【知识点】
分式方程的应用
【点评】
本题考查分式方程在行程问题中的应用，关键是找准等量关系：建成后列车平均速度 - 现在列车平均速度 = 110 km/h，解分式方程后需检验根的合理性。
【难度系数】
0.6
3. 新能源汽车有着动力强、油耗低的特点,正逐渐成为人们喜爱的交通工具. 某汽车 4S 店决定采购甲型和乙型两款新能源汽车,已知每辆甲型汽车的进价是每辆乙型汽车的进价的 1.2 倍,若用 2400 万元购进甲型汽车的数量比用 1800 万元购进乙型汽车的数量多 20 辆.
(1) 甲型汽车和乙型汽车的进价每辆分别为多少万元?
(2) 该汽车 4S 店决定用不多于 1120 万元的资金购进甲型汽车和乙型汽车共 100 辆,则最多可以购进多少辆甲型汽车?
(1) 甲型汽车和乙型汽车的进价每辆分别为多少万元?
(2) 该汽车 4S 店决定用不多于 1120 万元的资金购进甲型汽车和乙型汽车共 100 辆,则最多可以购进多少辆甲型汽车?
答案
3. (1)设乙型汽车的进价为每辆 $ x $ 万元,则甲型汽车的进价为每辆 $ 1.2x $ 万元,依题意得 $ \dfrac{2400}{1.2x} - \dfrac{1800}{x} = 20 $,解得 $ x = 10 $,经检验,$ x = 10 $ 是原方程的解,且符合题意,$ \therefore 1.2x = 12 $. $ \therefore $ 甲型汽车的进价为每辆 12 万元,乙型汽车的进价为每辆 10 万元 (2)设购进 $ m $ 辆甲型汽车,则购进 $ (100 - m) $ 辆乙型汽车,依题意得 $ 12m + 10(100 - m) ≤ 1120 $,解得 $ m ≤ 60 $. $ \therefore $ 最多可以购进 60 辆甲型汽车
解析
【解析】
(1) 设乙型汽车的进价为每辆$x$万元，则甲型汽车的进价为每辆$1.2x$万元。
根据题意列方程：$\dfrac{2400}{1.2x} - \dfrac{1800}{x} = 20$，
化简方程得：$\dfrac{2000}{x} - \dfrac{1800}{x} = 20$，即$\dfrac{200}{x}=20$，
解得$x=10$，
经检验，$x=10$是原方程的解，且符合题意，
则$1.2x=1.2×10=12$，
所以甲型汽车的进价为每辆12万元，乙型汽车的进价为每辆10万元。
(2) 设购进$m$辆甲型汽车，则购进$(100-m)$辆乙型汽车，
根据题意列不等式：$12m + 10(100 - m) ≤ 1120$，
化简不等式得：$12m + 1000 - 10m ≤ 1120$，即$2m ≤ 120$，
解得$m ≤ 60$，
所以最多可以购进60辆甲型汽车。
【答案】
(1) 甲型汽车的进价为每辆12万元，乙型汽车的进价为每辆10万元；
(2) 最多可以购进60辆甲型汽车。
【知识点】
分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用
【点评】
本题考查分式方程与一元一次不等式在实际采购问题中的应用，解题关键是根据题意准确找出等量关系和不等关系，建立数学模型求解，注意分式方程需检验解的合理性，有助于提升学生的数学应用能力与建模意识。
【难度系数】
0.6
(1) 设乙型汽车的进价为每辆$x$万元，则甲型汽车的进价为每辆$1.2x$万元。
根据题意列方程：$\dfrac{2400}{1.2x} - \dfrac{1800}{x} = 20$，
化简方程得：$\dfrac{2000}{x} - \dfrac{1800}{x} = 20$，即$\dfrac{200}{x}=20$，
解得$x=10$，
经检验，$x=10$是原方程的解，且符合题意，
则$1.2x=1.2×10=12$，
所以甲型汽车的进价为每辆12万元，乙型汽车的进价为每辆10万元。
(2) 设购进$m$辆甲型汽车，则购进$(100-m)$辆乙型汽车，
根据题意列不等式：$12m + 10(100 - m) ≤ 1120$，
化简不等式得：$12m + 1000 - 10m ≤ 1120$，即$2m ≤ 120$，
解得$m ≤ 60$，
所以最多可以购进60辆甲型汽车。
【答案】
(1) 甲型汽车的进价为每辆12万元，乙型汽车的进价为每辆10万元；
(2) 最多可以购进60辆甲型汽车。
【知识点】
分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用
【点评】
本题考查分式方程与一元一次不等式在实际采购问题中的应用，解题关键是根据题意准确找出等量关系和不等关系，建立数学模型求解，注意分式方程需检验解的合理性，有助于提升学生的数学应用能力与建模意识。
【难度系数】
0.6
