10. 如图,已知 AC,DB 的交点为 E,$AE= DE$,$∠ A= ∠ D$；过点 E 作$EF⊥ BC$,垂足为 F.
(1)求证：$△ ABE≌△ DCE$；
(2)求证：F 为边 BC 的中点.

(1) 在△ABE和△DCE中，
∵∠A=∠D，AE=DE，∠AEB=∠DEC（对顶角相等），
∴△ABE≌△DCE（ASA）。
(2) 由(1)知△ABE≌△DCE，
∴BE=CE，
∴△BEC是等腰三角形。
∵EF⊥BC，
∴F为边BC的中点（等腰三角形三线合一）。

11. 如图,AE 与 BD 相交于点 C,$AC= EC$,$BC= DC$,$AB= 4\ cm$,点 P 从点 A 出发,沿$A\rightarrow B\rightarrow A$的路径以 3 cm/s 的速度运动,点 Q 从点 D 出发,沿$D\rightarrow E$的路径以 1 cm/s 的速度运动,P,Q 两点同时出发,当点 P 回到点 A 时,P,Q 两点同时停止运动. 设点 P 的运动时间为 t s.
(1)求证：$AB// DE$.
(2)连接 PQ,当线段 PQ 经过点 C 时,求 t 的值.

(1)见解析；(2)t=1或t=2。

(1)在△ACB和△ECD中，
∵AC=EC，∠ACB=∠ECD（对顶角相等），BC=DC，
∴△ACB≌△ECD（SAS），
∴∠A=∠E，
∴AB//DE（内错角相等，两直线平行）。
(2)点P运动总路程为2AB=8cm，运动总时间为8/3 s，故t∈[0,8/3]。
点Q运动路程DQ=t cm，DE=AB=4cm，故QE=4-t cm（t≤8/3＜4）。
情况1：P在A→B上（0≤t≤4/3）
AP=3t cm，由AB//DE得∠A=∠E，∠ACP=∠ECQ，又AC=EC，
∴△ACP≌△ECQ（ASA），∴AP=EQ，即3t=4-t，解得t=1。
情况2：P在B→A上（4/3＜t≤8/3）
AP=8-3t cm（总路程3t cm，BA段路程3t-4 cm，故AP=AB-(3t-4)=8-3t），
同理△ACP≌△ECQ，∴AP=EQ，即8-3t=4-t，解得t=2。
综上，t的值为1或2。