【例2】根据下列问题,设未知数,并列出方程：
(1)一件商品按成本价提高$20\%$后标价,又以九折销售,售价为$270$元,求这种商品的成本价；
(2)如图所示,某人靠墙用篱笆围住一块梯形菜地,这块梯形菜地的下底比上底长$4m$,这块菜地的面积是$72m^{2}$,求梯形菜地的上底长。

解:
(1)设这件商品的成本价为x元,
则商品的标价为(1+20%)x元,
销售价为0.9(1+20%)x元,
根据“售价为270元”列得方程
0.9x(1+20%)=270.
(2)设这块梯形菜地的上底长为x m,
根据“梯形的面积为72m²”列得方程
$\frac{1}{2}×6×[x+(x+4)]=72$.

【分析】
(1) 本题是销售打折类应用题，核心等量关系为：成本价×(1+提价百分比)×折扣率=最终售价。解题时先设成本价为未知数，依次表示出提价后的标价、打折后的售价，再结合已知的售价即可列出方程。
(2) 本题是几何面积类应用题，核心等量关系为梯形面积公式：$梯形面积=(上底+下底)×高÷2$。首先设上底长为未知数，根据“下底比上底长4m”表示出下底长度，结合图中给出的高和已知的菜地面积，代入公式即可列出方程。
【解析】
(1) 设这件商品的成本价为$x$元。
成本价提高20%后的标价为$(1+20\%)x$元，再打九折销售后的售价为$0.9×(1+20\%)x$元，已知售价为270元，可列方程：
$0.9(1+20\%)x=270$
(2) 设梯形菜地的上底长为$x$ m。
由题意得下底长为$(x+4)$m，从图中可知梯形的高为6m，已知菜地面积为$72{m}^{2}$，代入梯形面积公式可列方程：
$\frac{1}{2}× 6× [x+(x+4)]=72$
【答案】
(1) $0.9(1+20\%)x=270$（$x$为商品成本价）
(2) $\frac{1}{2}× 6× [x+(x+4)]=72$（$x$为梯形上底长）
【知识点】
一元一次方程应用；销售打折问题；梯形面积公式
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，解题关键是准确提取题目中的等量关系，销售类问题要理清各价格间的运算逻辑，几何类问题要熟练掌握对应图形的基本公式，属于对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8

列方程找相等关系的方法
(1)根据关键词确定相等关系,如“一共有……”“比……多……”“比……少……”通常表示和差关系,“是……的几倍”通常表示倍数关系；
(2)根据几何图形的周长、面积、体积公式等列方程；
(3)根据题目中的不变量确定相等关系。

(1)根据关键词确定相等关系,如“一共有……”“比……多……”“比……少……”通常表示和差关系,“是……的几倍”通常表示倍数关系；
(2)根据几何图形的周长、面积、体积公式等列方程；
(3)根据题目中的不变量确定相等关系。

【分析】
本题考察列方程时找相等关系的常用方法，解题思路可结合不同题型对应匹配方法：①遇到含标志性关键词的题目，优先抓取“一共有”“比…多/少”“是几倍”这类和差倍相关表述，直接推导相等关系；②遇到几何类应用题，直接套用已学的周长、面积、体积等公式，公式本身就是固定的相等关系；③遇到存在恒定不变量的题型（如总人数、总路程不变等），围绕不变量搭建等式即可。
【解析】
列方程解决问题的核心是先确定题目中的相等关系，常用的确定方法如下：
(1)根据关键词确定相等关系,如“一共有……”“比……多……”“比……少……”通常表示和差关系,“是……的几倍”通常表示倍数关系；
(2)根据几何图形的周长、面积、体积公式等列方程；
(3)根据题目中的不变量确定相等关系。
【答案】
(1)根据关键词确定相等关系,如“一共有……”“比……多……”“比……少……”通常表示和差关系,“是……的几倍”通常表示倍数关系；
(2)根据几何图形的周长、面积、体积公式等列方程；
(3)根据题目中的不变量确定相等关系。
【知识点】
找等量关系的方法、和差倍关系应用、几何公式应用
【点评】
找相等关系是列方程解应用题的核心步骤，熟练掌握这三类常用方法，能够快速梳理题目中的数量逻辑，有效提升列方程的效率与准确率，是学习方程应用的重要基础。
【难度系数】
0.9

3. 2023年杭州亚运会上,我国获得奖牌$383$枚,其中银牌$111$枚,金牌数比铜牌数的$3倍少12$枚。若设金牌数是$x$,则可列出方程为( )

A.$(3x - 12) + x = 383 - 111$
B.$3(x + 12) + x = 383 - 111$
C.$\frac{x + 12}{3} + x = 383 - 111$
D.$\frac{x - 12}{3} + x = 383 - 111$

C

【分析】
解题时先明确题目核心等量关系：总奖牌数=金牌数+银牌数+铜牌数，因此可先推出金牌数与铜牌数的和为总奖牌数减去银牌数。再根据“金牌数比铜牌数的3倍少12枚”的条件，将铜牌数用设好的金牌数x表示出来，最后把金牌数、铜牌数的表达式代入等量关系即可得到对应方程。
【解析】
1. 计算金牌与铜牌的总数量：总奖牌383枚，银牌111枚，因此$\mathrm{金牌数}+\mathrm{铜牌数}=383-111$。
2. 用x表示铜牌数：已知金牌数为x，且金牌数比铜牌数的3倍少12枚，可得关系$x=3×\mathrm{铜牌数}-12$，移项变形得$3×\mathrm{铜牌数}=x+12$，两边除以3得$\mathrm{铜牌数}=\frac{x+12}{3}$。
3. 列方程：将金牌数x、铜牌数$\frac{x+12}{3}$代入“金牌数+铜牌数=383-111”，可得方程$\frac{x + 12}{3} + x = 383 - 111$。
【答案】
C
【知识点】
列一元一次方程；数量关系换算
【点评】
本题属于根据实际场景列方程的基础题型，解题核心是找准总量的等量关系，同时注意反向推导未知量时不要搞错倍数和加减的逻辑顺序，避免出现数量关系转换错误。
【难度系数】
0.7

4. 从下列问题中找出相等关系,设未知数列出方程：
(1)一项工程甲单独做要$20h$,乙单独做要$12h$。现在先由甲单独做$5h$,然后乙加入一起做。求完成整个工程一共需要的时间；
(2)一架飞机在两个城市间飞行,顺风飞行需$4h$,逆风飞行需$5h$,如果风速是$30km/h$,求两个城市的距离。

解:
(1)设完成整个工程一共需要x h,那么甲一共工作x h,
乙工作(x-5)h,根据相等关系“甲完成的工作量+乙完成的工作量=1”列方程,得
$\frac{1}{20}x+\frac{1}{12}(x-5)=1$.
(2)设两个城市的距离为x km,则飞机航行的顺风速度为$\frac{x}{4}$km/h,逆风速度为$\frac{x}{5}$km/h.
根据相等关系“顺风速度-风速=逆风速度+风速”列方程,得$\frac{x}{4}-30=\frac{x}{5}+30$.

【分析】
本题是一元一次方程的实际应用问题，包含工程类、顺风逆风行两类常见题型，解题思路如下：
(1) 工程问题通常将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成总工作的时间。要求总时间，可设总时间为未知数，分别表示出甲、乙的工作时长，再根据“甲完成的工作量+乙完成的工作量=总工作量1”列方程即可，注意乙是甲先做5小时后才加入，因此乙的工作时长比总时间少5小时。
(2) 顺风逆风飞行问题的核心是飞机无风时的航行速度不变，其中顺风速度=无风速度+风速，逆风速度=无风速度-风速，由此可推出等量关系：顺风速度-风速=逆风速度+风速。设两城市距离为未知数，用“速度=路程÷时间”分别表示出顺风、逆风速度，代入等量关系即可列方程。
【解析】
(1) 设完成整个工程一共需要$x$ h，那么甲一共工作$x$ h，乙工作$(x-5)$ h。
工程总工作量记为1，甲的工作效率为$\frac{1}{20}$每小时，乙的工作效率为$\frac{1}{12}$每小时，根据相等关系“甲完成的工作量+乙完成的工作量=总工作量1”列方程：
$\frac{1}{20}x+\frac{1}{12}(x-5)=1$
(2) 设两个城市的距离为$x$ km，根据“速度=路程÷时间”，飞机顺风速度为$\frac{x}{4}$ km/h，逆风速度为$\frac{x}{5}$ km/h。
根据相等关系“顺风速度-风速=逆风速度+风速（即飞机无风时的速度相等）”列方程：
$\frac{x}{4}-30=\frac{x}{5}+30$
【答案】
(1) 设完成整个工程一共需要$x$ h，列方程为$\frac{1}{20}x+\frac{1}{12}(x-5)=1$；
(2) 设两个城市的距离为$x$ km，列方程为$\frac{x}{4}-30=\frac{x}{5}+30$
【知识点】
一元一次方程的应用，工程问题，行程问题
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，重点考查实际场景中等量关系的寻找能力，解题时要结合题型特点找准不变量：工程问题牢记总工作量为单位1，顺风逆风问题抓住无风速度不变这一关键，掌握此类题型的常见等量关系可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7