4. 已知：如图，在$□ ABCD$中，点$E$在$BC$的延长线，且$DE// AC$。请写出$BE$与$BC$的数量关系，并证明你的结论。

4.解:BE=2BC
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC　AD//BE
∵DE//AC　AD//CE
∴CE=AD
∴BC=CE
∴点C是BE的中点
∴BE=2BC

5. 已知四边形$ABCD$是平行四边形，若点$E$，$F$分别在边$BC$，$AD$上，连接$AE$，$CF$。请再从下列三个备选条件中，选择添加一个恰当的条件，使四边形$AECF$是平行四边形，并予以证明。
备选条件：$AE = CF$，$BE = DF$，$∠ AEB=∠ CFD$。我选择添加的条件是：。(注意：请根据所选择的条件，画出符合要求的示意图，并加以证明)

5.BE=DF
　解:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC　AD=BC
∵BE=DF
∴AF=CE
∵AF//CE
∴四边形AECF是平行四边形
　　　　　

6. 四边形$ABCD$是平行四边形，$DE$平分$∠ ADC$交$AB$于点$E$，$BF$平分$∠ ABC$交$CD$于点$F$。
（1）求证：$DE = BF$；
（2）连接$EF$，写出图中所有的全等三角形。（不要求证明）

6.(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD　∠ADC=∠ABC
　即DF//BE
∵DE平分∠ADC
∴∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ADC
∵AB//CD
　
∴∠CDE=∠AED
∴∠AED=$\frac{1}{2}$∠ADC
∵BF平分∠ABC
∴∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABC
∵∠ADC=∠ABC
　
∴∠AED=∠ABF
∴DE//BF
　
∵AB//CD
∴DF=BF
　(2)解:△ADE≌△CBF
　△DFE≌△BEF
　　　　　　　

在$□ ABCD$中，$F$是$AD$的中点，延长$BC$到点$E$，使$CE=\dfrac{1}{2}BC$，连接$DE$，$CF$。
（1）求证：四边形$CEDF$是平行四边形；
（2）若$AB = 4$，$AD = 6$，$∠ B = 60^{\circ}$，求$DE$的长。

(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC,AD//BC　　即DF//CE
∵点F是AD的中点
∴DF=$\frac{1}{2}$AD,
∵CE=$\frac{1}{2}$BC
∴DF=CE
∴四边形CEDF是平行四边形
(2)解:过点D作DH⊥CE,垂足为点H

∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD　AB=CD=4
∵∠B=60°
∴∠DCE=∠B=60°
∵∠DCE+∠CDH=90°
∴∠CDH=30°
∴CH=$\frac{1}{2}$CD=2
在Rt△DHC中，由勾股定理得
DH = $\sqrt{CD^{2} - CH^{2}}$ = $\sqrt{4^{2} - 2^{2}}$ = $2\sqrt{3}$
∵DF=$\frac{1}{2}$AD=2
∴CE=3
∵CH+HE=CE
∴HE=1
由勾股定理得
DE² = DH² + HE² = $\sqrt{12 + 1}$
DE = $\sqrt{13}$