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三、解答题(共 4 小题)
13. 解下列方程。
（1）$\dfrac{5}{x} = \dfrac{7}{x - 2}$。
（2）$\dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{4}{x^{2} - 1}$。
13. 解下列方程。
（1）$\dfrac{5}{x} = \dfrac{7}{x - 2}$。
（2）$\dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{4}{x^{2} - 1}$。
答案
13. 解：(1)去分母，得 $ 5x - 10 = 7x $，解得 $ x = -5 $。
经检验，$ x = -5 $ 是分式方程的根。
(2)去分母，得 $ x - 1 + 2x + 2 = 4 $，解得 $ x = 1 $。
经检验，$ x = 1 $ 是增根，分式方程无解。
经检验，$ x = -5 $ 是分式方程的根。
(2)去分母，得 $ x - 1 + 2x + 2 = 4 $，解得 $ x = 1 $。
经检验，$ x = 1 $ 是增根，分式方程无解。
14. 先化简 $(\dfrac{a^{2} - 1}{a - 3} - a - 1) ÷ \dfrac{a + 1}{a^{2} - 6a + 9}$，然后从 $-1$，$0$，$1$，$3$ 中选一个合适的数作为 $a$ 的值代入求值。
答案
14. 解：原式 $ = [ \frac{a^{2} - 1}{a - 3} - (a + 1) ] ÷ \frac{a + 1}{(a - 3)^{2}} $
$ = \frac{a^{2} - 1 - (a + 1)(a - 3)}{a - 3} · \frac{(a - 3)^{2}}{a + 1} $
$ = \frac{(a + 1)(a - 1 - a + 3)}{a - 3} · \frac{(a - 3)^{2}}{a + 1} $
$ = \frac{2(a + 1)}{a - 3} · \frac{(a - 3)^{2}}{a + 1} $
$ = 2(a - 3) = 2a - 6 $。
因为当 $ a = -1 $ 或 $ a = 3 $ 时，原式无意义，
所以 $ a $ 只能取 1 或 0。
当 $ a = 1 $ 时，原式 $ = 2 - 6 = -4 $。(当 $ a = 0 $ 时，原式 $ = -6 $)
$ = \frac{a^{2} - 1 - (a + 1)(a - 3)}{a - 3} · \frac{(a - 3)^{2}}{a + 1} $
$ = \frac{(a + 1)(a - 1 - a + 3)}{a - 3} · \frac{(a - 3)^{2}}{a + 1} $
$ = \frac{2(a + 1)}{a - 3} · \frac{(a - 3)^{2}}{a + 1} $
$ = 2(a - 3) = 2a - 6 $。
因为当 $ a = -1 $ 或 $ a = 3 $ 时，原式无意义，
所以 $ a $ 只能取 1 或 0。
当 $ a = 1 $ 时，原式 $ = 2 - 6 = -4 $。(当 $ a = 0 $ 时，原式 $ = -6 $)
15. 阅读下列解答过程：
已知：$x ≠ 0$，且满足 $x^{2} - 3x = 1$。
求：$x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}$ 的值。
解：因为 $x^{2} - 3x = 1$，
所以 $x^{2} - 3x - 1 = 0$，
所以 $x - 3 - \dfrac{1}{x} = 0$，即 $x - \dfrac{1}{x} = 3$，
所以 $x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = (x - \dfrac{1}{x})^{2} + 2 = 3^{2} + 2 = 11$。
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知 $a ≠ 0$，且满足 $a^{2} - 2a = 1$，求：
（1）$a^{2} + \dfrac{1}{a^{2}}$ 的值。
（2）$\dfrac{a^{2}}{5a^{4} + a^{2} + 5}$ 的值。
已知：$x ≠ 0$，且满足 $x^{2} - 3x = 1$。
求：$x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}$ 的值。
解：因为 $x^{2} - 3x = 1$，
所以 $x^{2} - 3x - 1 = 0$，
所以 $x - 3 - \dfrac{1}{x} = 0$，即 $x - \dfrac{1}{x} = 3$，
所以 $x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = (x - \dfrac{1}{x})^{2} + 2 = 3^{2} + 2 = 11$。
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知 $a ≠ 0$，且满足 $a^{2} - 2a = 1$，求：
（1）$a^{2} + \dfrac{1}{a^{2}}$ 的值。
（2）$\dfrac{a^{2}}{5a^{4} + a^{2} + 5}$ 的值。
答案
15. 解：(1)因为 $ a^{2} - 2a = 1 $，
所以 $ a - \frac{1}{a} = 2 $，
所以 $ a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = ( a - \frac{1}{a} )^{2} + 2 = 4 + 2 = 6 $。
(2) $ \frac{a^{2}}{5a^{4} + a^{2} + 5} $ 的倒数为 $ \frac{5a^{4} + a^{2} + 5}{a^{2}} $，
因为 $ \frac{5a^{4} + a^{2} + 5}{a^{2}} = 5a^{2} + \frac{5}{a^{2}} + 1 = 5 ( a^{2} + \frac{1}{a^{2}} ) + 1 $
$ = 5 × 6 + 1 = 31 $，
所以 $ \frac{a^{2}}{5a^{4} + a^{2} + 5} = \frac{1}{31} $。
所以 $ a - \frac{1}{a} = 2 $，
所以 $ a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = ( a - \frac{1}{a} )^{2} + 2 = 4 + 2 = 6 $。
(2) $ \frac{a^{2}}{5a^{4} + a^{2} + 5} $ 的倒数为 $ \frac{5a^{4} + a^{2} + 5}{a^{2}} $，
因为 $ \frac{5a^{4} + a^{2} + 5}{a^{2}} = 5a^{2} + \frac{5}{a^{2}} + 1 = 5 ( a^{2} + \frac{1}{a^{2}} ) + 1 $
$ = 5 × 6 + 1 = 31 $，
所以 $ \frac{a^{2}}{5a^{4} + a^{2} + 5} = \frac{1}{31} $。
16. 某地计划修建一条长 $1080$ 米的健身步道，由甲、乙两个施工队合作完成。已知乙施工队每天修建的长度比甲施工队每天修建的长度多 $\dfrac{1}{3}$，若乙施工队单独修建这项工程，那么他比甲施工队单独修建这项工程提前 $3$ 天完成。
（1）求甲、乙两施工队每天各修建多少米？
（2）若甲施工队每天的修建费用为 $13000$ 元，乙施工队每天的修建费用为 $15000$ 元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙施工队恰好工作 $3$ 天完成修建任务，求共需修建费用多少元？
（1）求甲、乙两施工队每天各修建多少米？
（2）若甲施工队每天的修建费用为 $13000$ 元，乙施工队每天的修建费用为 $15000$ 元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙施工队恰好工作 $3$ 天完成修建任务，求共需修建费用多少元？
答案
16. 解：(1)设甲施工队每天修建 $ x $ 米，则乙施工队每天修建 $ ( 1 + \frac{1}{3} )x $ 米，
由题意得 $ \frac{1080}{x} - \frac{1080}{( 1 + \frac{1}{3} )x} = 3 $，
解得 $ x = 90 $，
经检验，$ x = 90 $ 是原方程的解，且符合题意，
所以 $ ( 1 + \frac{1}{3} )x = \frac{4}{3} × 90 = 120 $。
答：甲施工队每天修建 90 米，乙施工队每天修建 120 米。
(2)设先由甲施工队单独修建 $ m $ 天，
由题意得 $ 90(m + 3) + 120 × 3 = 1080 $，
解得 $ m = 5 $，
所以 $ 13000 × (m + 3) + 15000 × 3 = 13000 × (5 + 3) + 15000 × 3 = 149000 $(元)，
答：共需修建费用 149000 元。
由题意得 $ \frac{1080}{x} - \frac{1080}{( 1 + \frac{1}{3} )x} = 3 $，
解得 $ x = 90 $，
经检验，$ x = 90 $ 是原方程的解，且符合题意，
所以 $ ( 1 + \frac{1}{3} )x = \frac{4}{3} × 90 = 120 $。
答：甲施工队每天修建 90 米，乙施工队每天修建 120 米。
(2)设先由甲施工队单独修建 $ m $ 天，
由题意得 $ 90(m + 3) + 120 × 3 = 1080 $，
解得 $ m = 5 $，
所以 $ 13000 × (m + 3) + 15000 × 3 = 13000 × (5 + 3) + 15000 × 3 = 149000 $(元)，
答：共需修建费用 149000 元。
