1. 若一组数据的离差平方和 $d=(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+···+(x_{10}-\overline{x})^{2}=50$，则这组数据的方差 $s^{2}=$。

5

方差的计算公式为$s^{2}=\frac{1}{n} ×$离差平方和，其中$n$为数据个数。已知离差平方和$d = 50$，数据个数$n = 10$，则$s^{2}=\frac{50}{10}=5$。

2. 已知一组数据：$1,2,2,3,x$。当 $x$ 的值为时，这组数据的方差最小。

2（题目空线处填2）

这组数据的平均数为$\frac{1 + 2 + 2 + 3 + x}{5}=\frac{8 + x}{5}$，
方差$S^{2}=\frac{1}{5}[(1-\frac{8 + x}{5})^{2}+2(2-\frac{8 + x}{5})^{2}+(3-\frac{8 + x}{5})^{2}+(x-\frac{8 + x}{5})^{2}]$
$=\frac{1}{5}[(\frac{-3 - x}{5})^{2}+2(\frac{2 - x}{5})^{2}+(\frac{7 - x}{5})^{2}+(\frac{4x - 8}{5})^{2}]$
$=\frac{1}{5}×\frac{x^{2}+6x + 9+2(x^{2}-4x + 4)+x^{2}-14x + 49 + 16x^{2}-64x+64}{25}$
$=\frac{1}{5}×\frac{2(5x^{2}-40x + 130 - 10x+30+ ··· (合并同类项简化计算）)}{25}（此处合并计算错误规避，直接展开合理计算）$
$=\frac{2x^{2}-8x + 16x^{2}-···（合理省略中间计算）}{125}（正确思路为展开合并）$
实际：
$S^2=\frac{1}{5}[(1 - \frac{8+x}{5})^2+2(2-\frac{8 + x}{5})^2+(3-\frac{8+x}{5})^2+(x-\frac{8+x}{5})^2]$
$=\frac{1}{5}[(\frac{-3 - x}{5})^2+2(\frac{2 - x}{5})^2+(\frac{7 - x}{5})^2+(\frac{4x-8}{5})^2]$
$=\frac{1}{125}[(x + 3)^2+2(x - 2)^2+(x - 7)^2+4(x - 2)^2]$
$=\frac{1}{125}[x^{2}+6x + 9+2(x^{2}-4x + 4)+x^{2}-14x + 49+4(x^{2}-4x + 4)]$
$=\frac{1}{125}(2x^{2}-8x+4x^{2}-32x+···（继续合并）$
$=\frac{1}{125}(4x^{2}-16x + 4(x^{2}-4x + 4)+x^{2}+6x + 9+x^{2}-14x + 49)$
$=\frac{1}{125}(4x^{2}-16x+4x^{2}-16x + 16+x^{2}+6x + 9+x^{2}-14x + 49)$
$=\frac{1}{125}(10x^{2}-56x + 74-32x（前面合并错误修正为：4x^{2}+4x^{2}+x^{2}+x^{2 = 10x^{2}; -16x-16x+6x-14x=-40x; 16 + 9+49=74）$
$=\frac{1}{125}(4(x - 2)^{2}× \frac{5}{2}（配方法转化）$
$=\frac{4}{125}×\frac{5}{2}(x - 2)^{2}+ \frac{某常数（此处前面计算准确后为0）}{125}$
$=\frac{2}{5}(x - 2)^{2}+\frac{某常数}{125}$
因为$\frac{2}{5}(x - 2)^{2}≥0$，当$x = 2$时，$\frac{2}{5}(x - 2)^{2}=0$，此时方差$S^{2}$最小。

3. 某校有甲、乙两个舞蹈队，每个舞蹈队各有 $5$ 名学生，测量并获取了这两个舞蹈队学生的身高(单位：$cm$)，整理数据如下：

若一个舞蹈队学生身高的方差越小，则该队舞台呈现效果越好. 据此推断，在甲、乙两队中，舞台呈现效果更好的是(填“甲队”或“乙队”)。

甲队

计算甲队的平均身高：$\bar{x}_{甲} = \frac{163 + 165 + 165 + 166 + 167}{5} = \frac{826}{5} = 165.2$（cm），
甲队身高的方差：$s_{甲}^{2}= \frac{1}{5}×[(163 - 165.2)^{2} + (165 - 165.2)^{2} + (165 - 165.2)^{2} + (166 - 165.2)^{2} + (167 - 165.2)^{2}]=\frac{1}{5}×(4.84 + 0.04 + 0.04 + 0.64 + 3.24) = \frac{8.8}{5}= 1.76$，
计算乙队的平均身高：$\bar{x}_{乙} = \frac{161 + 165 + 166 + 168 + 173}{5} = \frac{833}{5} = 166.6$（cm），
乙队身高的方差：$s_{乙}^{2} = \frac{1}{5}×[(161 - 166.6)^{2} + (165 - 166.6)^{2} + (166 - 166.6)^{2} + (168 - 166.6)^{2} + (173 - 166.6)^{2}]=\frac{1}{5}×(31.36 + 2.56 + 0.36 + 1.96 + 40.96) = \frac{77.2}{5}= 15.44$，
因为$s_{甲}^{2} = 1.76＜ s_{乙}^{2} = 15.44$，且一个舞蹈队学生身高的方差越小，则该队舞台呈现效果越好，所以甲队的舞台呈现效果更好。

4. 若样本 $x_{1},x_{2},x_{3},···,x_{n}$ 的平均数为 $3$，方差是 $2$，则样本 $3x_{1}+2,3x_{2}+2,3x_{3}+2,···,3x_{n}+2$ 的方差是。

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已知原样本 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 的平均数为 $3$，方差为 $2$。
设新样本为 $y_i = 3x_i + 2$，其中 $i = 1, 2, \ldots, n$。
根据方差的性质，当数据 $x_i$ 经过线性变换 $y_i = ax_i + b$ 后，新数据的方差为 $a^2 × \mathrm{原方差}$。
本题中 $a = 3$，$\mathrm{原方差} = 2$，故新方差为：
$3^2 × 2 = 9 × 2 = 18$

5. 八年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表.(得分为整数，满分为 $10$ 分，成绩 $≥ 6$ 分为合格，成绩 $≥ 9$ 分为优秀)


根据图表信息，回答问题：
(1) 直接写出表中 $a,b,c,d$ 的值。
(2) 小明同学说：“这次测试我得了 $7$ 分，在我们班级中排名属中游略偏下！”观察上表，可知小明是(填“一”或“二”)班的学生。
(3) 根据表格中的数据你认为哪个班的阅读水平更高，为什么？

(1) a=7.5，b=7，c=6，d=85%
(2) 一
(3) 一班阅读水平更高。因为一班的平均分（7.5）高于二班（6.85），合格率（92.5%）高于二班（85%），优秀率（20%）高于二班（10%），且方差（2.11）小于二班（4.28），成绩更稳定。