1. 新趋势 推导探究 填一填。
(1) 计算$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$时，我们可以借助画图法，把正方形看作单位“1”，把算式中的加数填入图中。从图①中可以看出，涂色部分是大正方形的（ ），即算式的结果是（ ）。
(2) 计算$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}$时，我们也可以借助画图法算出结果，请在图②中继续画下去，算出结果是（ ）。
(1) 计算$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$时，我们可以借助画图法，把正方形看作单位“1”，把算式中的加数填入图中。从图①中可以看出，涂色部分是大正方形的（ ），即算式的结果是（ ）。
(2) 计算$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}$时，我们也可以借助画图法算出结果，请在图②中继续画下去，算出结果是（ ）。
答案
(1) 图略 $\frac{31}{32}$ $\frac{31}{32}$ (2) 图略 $\frac{5}{8}$
2. 用简便方法计算。
(1)$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}$
(2)$0.9 + 0.99 + 0.999 + 0.9999$
(1)$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}$
(2)$0.9 + 0.99 + 0.999 + 0.9999$
答案
(1) $\frac{1}{3}$ (2) 3.8889
3. 木材市场堆了一堆圆木（如图），横截面是一个近似的梯形，最底层有12根。这堆圆木一共有（ ）根。
答案
75
4. 新趋势 推导探究 观察下面各式：
$2^{2}-1^{2}=2 + 1$ $4^{2}-3^{2}=4 + 3$
$6^{2}-5^{2}=6 + 5$ $8^{2}-7^{2}=8 + 7$
(1) 根据其中的规律，再写一道这样的算式：______________________。
(2) 运用规律计算：
$100^{2}-99^{2}+98^{2}-97^{2}+\cdots+2^{2}-1^{2}$
$2^{2}-1^{2}=2 + 1$ $4^{2}-3^{2}=4 + 3$
$6^{2}-5^{2}=6 + 5$ $8^{2}-7^{2}=8 + 7$
(1) 根据其中的规律，再写一道这样的算式：______________________。
(2) 运用规律计算：
$100^{2}-99^{2}+98^{2}-97^{2}+\cdots+2^{2}-1^{2}$
答案
(1) $9^{2}-8^{2}=9 + 8$ (答案不唯一)
(2) 原式$=100 + 99 + 98 + 97 + \cdots + 2 + 1$
$=(100 + 1)\times100\div2$
$=5050$
(2) 原式$=100 + 99 + 98 + 97 + \cdots + 2 + 1$
$=(100 + 1)\times100\div2$
$=5050$
5. 小琦家厨房的地板用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，购买了白色瓷砖3000块，铺设的地面只有两条对角线上的瓷砖是绿色的，如图，当铺满这块地板时，共用了108块绿色瓷砖，白色瓷砖还剩多少块？
答案
$108\div2 = 54$(行) $54\times54 - 108 = 2808$(块)
$3000 - 2808 = 192$(块) 解析: 两条对角线上共用了108块绿色瓷砖，则每条对角线上用了$108\div2 = 54$(块)，即这个正方形地面共铺了54行瓷砖，共用$54\times54 = 2916$(块)瓷砖，去掉108块绿色瓷砖，剩下的是白色瓷砖。
$3000 - 2808 = 192$(块) 解析: 两条对角线上共用了108块绿色瓷砖，则每条对角线上用了$108\div2 = 54$(块)，即这个正方形地面共铺了54行瓷砖，共用$54\times54 = 2916$(块)瓷砖，去掉108块绿色瓷砖，剩下的是白色瓷砖。
