例 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD = 6$，$BC = 16$，$AD// BC$，$AB = 8$，$∠ ABC = 60°$，点 $E$ 是 $BC$ 的中点.点 $P$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度从点 $A$ 出发，沿 $AD$ 向点 $D$ 运动；点 $Q$ 同时以每秒 $2$ 个单位长度的速度从点 $C$ 出发，沿 $CB$ 向点 $B$ 运动.点 $P$ 停止运动时，点 $Q$ 也随之停止运动.设运动时间为 $t\ \mathrm{s}$，当 $t$ 为何值时，以点 $P$，$Q$，$E$，$D$ 为顶点的四边形是平行四边形？

分析：由 $PD// QE$，可知当 $PD = QE$ 时，以 $P$，$Q$，$E$，$D$ 为顶点的四边形是平行四边形，再分两种情况讨论：一是当点 $Q$ 运动到点 $E$ 和点 $C$ 之间，且 $PD = QE$ 时，则 $6 - t = 8 - 2t$；二是当点 $Q$ 运动到点 $E$ 和点 $B$ 之间，且 $PD = QE$ 时，则 $6 - t = 2t - 8$，解方程求出相应的 $t$ 值即可.
解：$\because AD// BC$，点 $E$ 是 $BC$ 的中点，点 $P$ 在 $AD$ 上，点 $Q$ 在 $BC$ 上，
$\therefore PD// QE$.
$\therefore$ 当 $PD = QE$ 时，以 $P$，$Q$，$E$，$D$ 为顶点的四边形是平行四边形.
当点 $Q$ 运动到点 $E$ 和点 $C$ 之间，且 $PD = QE$ 时，则 $6 - t = 8 - 2t$，解得 $t = 2$；
当点 $Q$ 运动到点 $E$ 和点 $B$ 之间，且 $PD = QE$ 时，则 $6 - t = 2t - 8$，解得 $t = \dfrac{14}{3}$.
故当 $t = 2$ 或 $t = \dfrac{14}{3}$ 时，以点 $P$，$Q$，$E$，$D$ 为顶点的四边形是平行四边形.

解：
$\because AD// BC$，点$E$是$BC$的中点，$BC=16$，
$\therefore BE=EC=\frac{1}{2}BC=8$，且$PD// QE$。
$\therefore$当$PD=QE$时，以点$P$，$Q$，$E$，$D$为顶点的四边形是平行四边形。
由题意得，$AP=t$，$CQ=2t$，则$PD=AD-AP=6-t$。
①当点$Q$在$E$，$C$之间时，$QE=EC-CQ=8-2t$，
则$6-t=8-2t$，
解得$t=2$。
②当点$Q$在$E$，$B$之间时，$QE=CQ-EC=2t-8$，
则$6-t=2t-8$，
解得$t=\frac{14}{3}$。
综上，当$t=2$或$t=\frac{14}{3}$时，以点$P$，$Q$，$E$，$D$为顶点的四边形是平行四边形。