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一、选择题
1. 要使二次根式$\sqrt{a - 1}$有意义，则$a$的取值可以是()
A. $0$
B. $-1$
C. $1$
D. $-2$
1. 要使二次根式$\sqrt{a - 1}$有意义，则$a$的取值可以是()
A. $0$
B. $-1$
C. $1$
D. $-2$
答案
C
解析
要使二次根式$\sqrt{a - 1}$有意义，被开方数需非负，即$a - 1 ≥ 0$，解得$a ≥ 1$。选项中只有$1$满足条件，故选C。
2. 在$□ ABCD$中，如果$∠ A = 135^{\circ}$，那么$∠ C =$()
A.$45^{\circ}$
B.$55^{\circ}$
C.$135^{\circ}$
D.$140^{\circ}$
A.$45^{\circ}$
B.$55^{\circ}$
C.$135^{\circ}$
D.$140^{\circ}$
答案
C
解析
在平行四边形ABCD中，∠A与∠C是对角。根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，可得∠C=∠A=135°。
3. 能够成为直角三角形三条边长的正整数，我们称为“勾股数”。下列各组数中，是“勾股数”的是()
A.$2$，$3$，$4$
B.$4$，$5$，$6$
C.$7$，$8$，$9$
D.$9$，$40$，$41$
A.$2$，$3$，$4$
B.$4$，$5$，$6$
C.$7$，$8$，$9$
D.$9$，$40$，$41$
答案
D
解析
勾股定理指在直角三角形中，斜边平方等于两直角边平方之和，即$a^2 + b^2 = c^2$（$c$为斜边）。
A选项：$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，$4^2 = 16$，$13 ≠ 16$，不满足；
B选项：$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$，$6^2 = 36$，$41 ≠ 36$，不满足；
C选项：$7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$，$9^2 = 81$，$113 ≠ 81$，不满足；
D选项：$9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$，$41^2 = 1681$，满足勾股定理，且均为正整数，是勾股数。
A选项：$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，$4^2 = 16$，$13 ≠ 16$，不满足；
B选项：$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$，$6^2 = 36$，$41 ≠ 36$，不满足；
C选项：$7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$，$9^2 = 81$，$113 ≠ 81$，不满足；
D选项：$9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$，$41^2 = 1681$，满足勾股定理，且均为正整数，是勾股数。
4. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”。木艺活动课上，小明用四根细木条搭成一个四边形，如图所示。现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是()
A.测量是否有三个角是直角
B.测量对角线是否相等
C.测量两组对边是否分别相等
D.测量对角线是否互相垂直
A.测量是否有三个角是直角
B.测量对角线是否相等
C.测量两组对边是否分别相等
D.测量对角线是否互相垂直
答案
A
解析
矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形。选项A符合该定理；选项B中，对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形；选项C中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不一定是矩形；选项D中，对角线互相垂直的四边形不一定是矩形。故正确方案是A。
5. 如图，矩形内有两个相邻的正方形。若两个正方形的面积分别为$S_{1} = 2$和$S_{2} = 3$，则图中阴影部分的面积为()
A.$\sqrt{6} - 2$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{5} - 2$
D.$\sqrt{5}$
A.$\sqrt{6} - 2$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{5} - 2$
D.$\sqrt{5}$
答案
A
解析
∵两个正方形面积分别为$S_1 = 2$，$S_2 = 3$，∴它们的边长分别为$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$。矩形的长为$\sqrt{2} + \sqrt{3}$，宽为$\sqrt{3}$。阴影部分为矩形面积减去两个正方形面积，即$(\sqrt{2} + \sqrt{3})×\sqrt{3} - 2 - 3 = \sqrt{6} + 3 - 5 = \sqrt{6} - 2$。
6. 提升题 如图，正方形$ABCD$的边长为$8$，$M$在$DC$上，且$DM = 2$。若$N$是$AC$上一动点，则$DN + MN$的最小值为()
A.$6$
B.$8$
C.$12$
D.$10$
A.$6$
B.$8$
C.$12$
D.$10$
答案
D
解析
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴点D关于AC的对称点为点B。连接BM交AC于点N，此时DN+MN最小，且DN+MN=BN+MN=BM。
∵正方形边长为8，DM=2，∴MC=DC-DM=8-2=6。
在Rt△BMC中，BC=8，MC=6，由勾股定理得BM=√(BC²+MC²)=√(8²+6²)=10。
故DN+MN的最小值为10。
∵正方形边长为8，DM=2，∴MC=DC-DM=8-2=6。
在Rt△BMC中，BC=8，MC=6，由勾股定理得BM=√(BC²+MC²)=√(8²+6²)=10。
故DN+MN的最小值为10。
二、填空题
7. 化简：$(\sqrt{3})^{2} =$。
7. 化简：$(\sqrt{3})^{2} =$。
答案
3
8. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$D$是$AB$的中点，$AC = 6$，$BC = 8$，则$CD =$。
答案
$5$
解析
在$Rt △ ABC$中，已知$AC = 6$，$BC = 8$，根据勾股定理，可以求出斜边$AB$的长度：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$，
由于$D$是$AB$的中点，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因此：
$CD = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$。
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$，
由于$D$是$AB$的中点，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因此：
$CD = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$。
9. 命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是。
答案
两直线平行，内错角相等
解析
将原命题的题设和结论互换，得到逆命题。原命题题设为“内错角相等”，结论为“两直线平行”，故逆命题为“两直线平行，内错角相等”。
10. 已知$\sqrt{a + 2}$为最简二次根式，且能够与$\sqrt{12}$合并，则$a$的值是。
答案
1
解析
首先将 $\sqrt{12}$ 化简为最简二次根式，$\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}$。
题目要求 $\sqrt{a + 2}$ 与 $\sqrt{12}$ 能够合并，即 $\sqrt{a + 2}$ 必须与 $\sqrt{3}$ 是同类二次根式。
因此，$\sqrt{a + 2}$ 应满足 $a + 2 = 3$，解得 $a = 1$。
同时，$\sqrt{a + 2} = \sqrt{3}$ 为最简二次根式，符合题意。
