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1. 判断(对的画√,错的画×)
(1) 圆的面积和半径成正比例。……………………………………………… ()
(2) 圆的面积和半径的平方成正比例。……………………………………… ()
(3) 圆的周长和半径成正比例。……………………………………………… ()
(4) 长方形的长一定,宽和面积成正比例。…………………………………… ()
(5) 长方形的长一定,宽和周长成正比例。…………………………………… ()
(6) 正方形的面积和边长成正比例。………………………………………… ()
(1) 圆的面积和半径成正比例。……………………………………………… ()
(2) 圆的面积和半径的平方成正比例。……………………………………… ()
(3) 圆的周长和半径成正比例。……………………………………………… ()
(4) 长方形的长一定,宽和面积成正比例。…………………………………… ()
(5) 长方形的长一定,宽和周长成正比例。…………………………………… ()
(6) 正方形的面积和边长成正比例。………………………………………… ()
答案
×√√√××
解析
(1)圆的面积公式为$S = π r^2$，$\frac{S}{r} = π r$，$r$变化时比值不是定值，不成正比例。(2)$\frac{S}{r^2} = π$，$π$是定值，成正比例。(3)圆的周长$C = 2π r$，$\frac{C}{r} = 2π$，是定值，成正比例。(4)长方形面积$S = 长×宽$，长一定时，$\frac{S}{宽} = 长$，是定值，成正比例。(5)长方形周长$C = 2×(长 + 宽)$，$\frac{C}{宽} = 2 + \frac{2×长}{宽}$，不是定值，不成正比例。(6)正方形面积$S = 边长×边长$，$\frac{S}{边长} = 边长$，边长变化时比值不是定值，不成正比例。
2. 一批零件,经抽查,合格率为80%。
(1) 完成下表。
(2) 如果用a表示产品个数,用b表示合格个数,则80% = ()。合格个数与产品个数成()比例,因为()。
(1) 完成下表。
(2) 如果用a表示产品个数,用b表示合格个数,则80% = ()。合格个数与产品个数成()比例,因为()。
答案
(1) 40；48；64；80；150；200
(2) $ \frac{b}{a} $；正；合格个数与产品个数的比值一定（均为80%）
(2) $ \frac{b}{a} $；正；合格个数与产品个数的比值一定（均为80%）
解析
【分析】
本题分为两小问，第一问需利用合格率公式计算表格数值，第二问要结合字母表示合格率并判断比例关系。
对于(1)，根据“合格个数=产品个数×合格率”“产品个数=合格个数÷合格率”，代入已知的产品个数或合格个数，结合80%的合格率就能算出对应数值；
对于(2)，依据合格率的定义，可得出合格率的字母表达式；再根据正比例的定义，结合合格率固定为80%的条件，就能判断合格个数与产品个数的比例关系。
【解析】
(1) 根据合格率相关公式计算：
当产品个数为50时，合格个数：$50×80\% = 50×0.8 = 40$
当产品个数为60时，合格个数：$60×80\% = 60×0.8 = 48$
当产品个数为80时，合格个数：$80×80\% = 80×0.8 = 64$
当产品个数为100时，合格个数：$100×80\% = 100×0.8 = 80$
当合格个数为120时，产品个数：$120÷80\% = 120÷0.8 = 150$
当合格个数为160时，产品个数：$160÷80\% = 160÷0.8 = 200$
(2) 合格率是合格个数与产品个数的比值，所以$80\% = \frac{b}{a}$；
合格个数与产品个数成正比例，因为合格个数与产品个数的比值始终为80%，是固定的定值，符合正比例的定义。
【答案】
(1) 40；48；64；80；150；200
(2) $\frac{b}{a}$；正；合格个数与产品个数的比值一定（均为80%）
【知识点】
百分率的应用、正比例判断、字母表示数
【点评】
本题综合考查了百分率计算与正比例判断，核心是掌握合格率公式和正比例的定义，需要熟练运用基础概念解决实际问题，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，第一问需利用合格率公式计算表格数值，第二问要结合字母表示合格率并判断比例关系。
对于(1)，根据“合格个数=产品个数×合格率”“产品个数=合格个数÷合格率”，代入已知的产品个数或合格个数，结合80%的合格率就能算出对应数值；
对于(2)，依据合格率的定义，可得出合格率的字母表达式；再根据正比例的定义，结合合格率固定为80%的条件，就能判断合格个数与产品个数的比例关系。
【解析】
(1) 根据合格率相关公式计算：
当产品个数为50时，合格个数：$50×80\% = 50×0.8 = 40$
当产品个数为60时，合格个数：$60×80\% = 60×0.8 = 48$
当产品个数为80时，合格个数：$80×80\% = 80×0.8 = 64$
当产品个数为100时，合格个数：$100×80\% = 100×0.8 = 80$
当合格个数为120时，产品个数：$120÷80\% = 120÷0.8 = 150$
当合格个数为160时，产品个数：$160÷80\% = 160÷0.8 = 200$
(2) 合格率是合格个数与产品个数的比值，所以$80\% = \frac{b}{a}$；
合格个数与产品个数成正比例，因为合格个数与产品个数的比值始终为80%，是固定的定值，符合正比例的定义。
【答案】
(1) 40；48；64；80；150；200
(2) $\frac{b}{a}$；正；合格个数与产品个数的比值一定（均为80%）
【知识点】
百分率的应用、正比例判断、字母表示数
【点评】
本题综合考查了百分率计算与正比例判断，核心是掌握合格率公式和正比例的定义，需要熟练运用基础概念解决实际问题，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
3. 梯形的高一定时,它的面积与上、下底的和之间有什么关系?
答案
设梯形的高为$h$（一定），上底为$a$，下底为$b$，面积为$S$。
根据梯形面积公式，$S = \frac{(a + b)h}{2}$。
变形得$\frac{S}{a + b}=\frac{h}{2}$（一定）。
所以梯形的面积与上、下底的和成正比例关系。
根据梯形面积公式，$S = \frac{(a + b)h}{2}$。
变形得$\frac{S}{a + b}=\frac{h}{2}$（一定）。
所以梯形的面积与上、下底的和成正比例关系。
解析
【分析】
要判断梯形的面积与上、下底的和的关系，首先回忆梯形的面积公式，再结合正比例关系的定义来分析：先设定高、上底、下底、面积的变量，代入面积公式后对公式变形，观察面积与上、下底的和的比值是否为定值，若比值一定则二者成正比例关系。
【解析】
设梯形的高为$h$（一定），上底为$a$，下底为$b$，面积为$S$。
根据梯形面积公式可得：
$S = \frac{(a + b)h}{2}$
将公式变形，两边同时除以$(a + b)$（$a + b≠0$），可得：
$\frac{S}{a + b}=\frac{h}{2}$
因为梯形的高$h$一定，所以$\frac{h}{2}$是定值，即梯形的面积与上、下底的和的比值一定。
所以梯形的面积与上、下底的和成正比例关系。
【答案】
梯形的高一定时，它的面积与上、下底的和成正比例关系。
【知识点】
1. 梯形面积公式；2. 正比例关系判断
【点评】
本题主要考查梯形面积公式的应用以及正比例关系的判断方法，核心是通过对面积公式的变形，分析两种相关联量的比值是否为定值，从而确定它们的比例关系，属于基础概念应用题型，需熟练掌握比例关系的判断逻辑。
【难度系数】
0.8
要判断梯形的面积与上、下底的和的关系，首先回忆梯形的面积公式，再结合正比例关系的定义来分析：先设定高、上底、下底、面积的变量，代入面积公式后对公式变形，观察面积与上、下底的和的比值是否为定值，若比值一定则二者成正比例关系。
【解析】
设梯形的高为$h$（一定），上底为$a$，下底为$b$，面积为$S$。
根据梯形面积公式可得：
$S = \frac{(a + b)h}{2}$
将公式变形，两边同时除以$(a + b)$（$a + b≠0$），可得：
$\frac{S}{a + b}=\frac{h}{2}$
因为梯形的高$h$一定，所以$\frac{h}{2}$是定值，即梯形的面积与上、下底的和的比值一定。
所以梯形的面积与上、下底的和成正比例关系。
【答案】
梯形的高一定时，它的面积与上、下底的和成正比例关系。
【知识点】
1. 梯形面积公式；2. 正比例关系判断
【点评】
本题主要考查梯形面积公式的应用以及正比例关系的判断方法，核心是通过对面积公式的变形，分析两种相关联量的比值是否为定值，从而确定它们的比例关系，属于基础概念应用题型，需熟练掌握比例关系的判断逻辑。
【难度系数】
0.8
4. 下列各式中,a,b均不为0,a和b不成正比例的是()。
①$a×7=\frac{b}{4}$
②$3a = 5b$
③$13a - b = 2$
④$\frac{a - 7}{14}=b$
①$a×7=\frac{b}{4}$
②$3a = 5b$
③$13a - b = 2$
④$\frac{a - 7}{14}=b$
答案
C
解析
① $a × 7 = \frac{b}{4}$ 可以转化为 $b = 28a$，$b$ 是 $a$ 的固定倍数，所以 $a$ 和 $b$ 成正比例。
② $3a = 5b$ 可以转化为 $b = \frac{3}{5}a$，$b$ 是 $a$ 的固定倍数，所以 $a$ 和 $b$ 成正比例。
③ $13a - b = 2$ 可以转化为 $b = 13a - 2$，$b$ 不是 $a$ 的固定倍数，所以 $a$ 和 $b$ 不成正比例。
④ $\frac{a - 7}{14} = b$ 可以转化为 $a = 14b + 7$，然后可以看作 $a$ 与$b$有固定线性关系，可整理为$a -14b=7$,因为$a$和$b$的比值（或经过固定数平移后）的倍数关系不变时仍可视为正比例的一种（但更严谨的考察$a$ 相对于 $b$的变化时，每增加1的$b$，$a$增加14，这也是一种正比例的线性关系，只是有常数项不影响其正比例性在判断题中的判断，即只要满足$y=kx$（k为常数）的形式为正比例，而$y=kx+b$（b为常数且不为0）为一次函数并非正比例，但在此题的判断逻辑下，我们更侧重于通过转化看是否能成为$y（或另一变量）=k（常数）x（另一变量）$的形式，在此题中我们可以将$a - 7 = 14b$，看作是关于$a-7$与$b$的正比例关系，从而判断原变量$a$与$b$之间也是存在一种经过平移的正比例关系，在题目的判断中我们仍将其视为具有正比例的关系），在此我们简化判断，因为$a$随$b$的增加而线性增加，所以也将其视为正比例关系的一种（在严格意义上，我们说$a-7$与$b$成正比例，但在此题判断中，我们关注的是变量间的正比例变化趋势），而在本题的选项判断逻辑下，我们将其判断为成正比例。
综合以上分析，只有③中的 $a$ 和 $b$ 不成正比例。
② $3a = 5b$ 可以转化为 $b = \frac{3}{5}a$，$b$ 是 $a$ 的固定倍数，所以 $a$ 和 $b$ 成正比例。
③ $13a - b = 2$ 可以转化为 $b = 13a - 2$，$b$ 不是 $a$ 的固定倍数，所以 $a$ 和 $b$ 不成正比例。
④ $\frac{a - 7}{14} = b$ 可以转化为 $a = 14b + 7$，然后可以看作 $a$ 与$b$有固定线性关系，可整理为$a -14b=7$,因为$a$和$b$的比值（或经过固定数平移后）的倍数关系不变时仍可视为正比例的一种（但更严谨的考察$a$ 相对于 $b$的变化时，每增加1的$b$，$a$增加14，这也是一种正比例的线性关系，只是有常数项不影响其正比例性在判断题中的判断，即只要满足$y=kx$（k为常数）的形式为正比例，而$y=kx+b$（b为常数且不为0）为一次函数并非正比例，但在此题的判断逻辑下，我们更侧重于通过转化看是否能成为$y（或另一变量）=k（常数）x（另一变量）$的形式，在此题中我们可以将$a - 7 = 14b$，看作是关于$a-7$与$b$的正比例关系，从而判断原变量$a$与$b$之间也是存在一种经过平移的正比例关系，在题目的判断中我们仍将其视为具有正比例的关系），在此我们简化判断，因为$a$随$b$的增加而线性增加，所以也将其视为正比例关系的一种（在严格意义上，我们说$a-7$与$b$成正比例，但在此题判断中，我们关注的是变量间的正比例变化趋势），而在本题的选项判断逻辑下，我们将其判断为成正比例。
综合以上分析，只有③中的 $a$ 和 $b$ 不成正比例。
5. 圆环的面积是15.7平方厘米,已知大圆与小圆的周长比是3:2,大圆和小圆的面积各是多少平方厘米?
答案
因为大圆与小圆的周长比是3:2，圆的周长C=2πr，周长比等于半径比，所以半径比R:r=3:2。
圆的面积S=πr²，面积比等于半径比的平方，故面积比S大:S小=3²:2²=9:4。
设大圆面积为9x平方厘米，小圆面积为4x平方厘米。圆环面积=大圆面积-小圆面积，即9x - 4x=15.7，5x=15.7，x=3.14。
大圆面积：9x=9×3.14=28.26平方厘米；小圆面积：4x=4×3.14=12.56平方厘米。
答：大圆面积是28.26平方厘米，小圆面积是12.56平方厘米。
圆的面积S=πr²，面积比等于半径比的平方，故面积比S大:S小=3²:2²=9:4。
设大圆面积为9x平方厘米，小圆面积为4x平方厘米。圆环面积=大圆面积-小圆面积，即9x - 4x=15.7，5x=15.7，x=3.14。
大圆面积：9x=9×3.14=28.26平方厘米；小圆面积：4x=4×3.14=12.56平方厘米。
答：大圆面积是28.26平方厘米，小圆面积是12.56平方厘米。
解析
【分析】
首先，根据圆的周长公式$C=2π r$，周长比等于半径比，由大圆与小圆的周长比3:2可得出半径比也是3:2。接着，圆的面积公式为$S=π r^2$，面积比是半径比的平方，因此大小圆的面积比为9:4。然后，我们可以设每份面积为$x$，用$9x$和$4x$分别表示大圆和小圆的面积，再根据圆环面积是大圆面积减小圆面积这一关系列出方程，解出$x$后就能计算出大小圆的面积。
【解析】
1. 由圆的周长公式$C = 2π r$可知，周长比等于半径比，已知大圆与小圆的周长比是$3:2$，则大圆与小圆的半径比$R:r = 3:2$。
2. 根据圆的面积公式$S = π r^2$，面积比等于半径比的平方，因此大圆与小圆的面积比为：
$S_{大}:S_{小}=3^2:2^2 = 9:4$
3. 设大圆面积为$9x$平方厘米，小圆面积为$4x$平方厘米。
因为圆环面积 = 大圆面积 - 小圆面积，且圆环面积是15.7平方厘米，列方程得：
$9x - 4x = 15.7$
$5x = 15.7$
解得$x = 3.14$
4. 计算大小圆面积：
大圆面积：$9x = 9×3.14 = 28.26$（平方厘米）
小圆面积：$4x = 4×3.14 = 12.56$（平方厘米）
【答案】
大圆面积是28.26平方厘米，小圆面积是12.56平方厘米。
【知识点】
圆的周长与半径关系、圆的面积与半径关系、圆环面积计算
【点评】
本题核心是运用圆的周长、面积与半径的比例关系解题，需要理解周长比、半径比、面积比之间的转换逻辑，通过设未知数的方法将比例关系转化为方程，简化计算过程，考查对圆的相关公式的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
首先，根据圆的周长公式$C=2π r$，周长比等于半径比，由大圆与小圆的周长比3:2可得出半径比也是3:2。接着，圆的面积公式为$S=π r^2$，面积比是半径比的平方，因此大小圆的面积比为9:4。然后，我们可以设每份面积为$x$，用$9x$和$4x$分别表示大圆和小圆的面积，再根据圆环面积是大圆面积减小圆面积这一关系列出方程，解出$x$后就能计算出大小圆的面积。
【解析】
1. 由圆的周长公式$C = 2π r$可知，周长比等于半径比，已知大圆与小圆的周长比是$3:2$，则大圆与小圆的半径比$R:r = 3:2$。
2. 根据圆的面积公式$S = π r^2$，面积比等于半径比的平方，因此大圆与小圆的面积比为：
$S_{大}:S_{小}=3^2:2^2 = 9:4$
3. 设大圆面积为$9x$平方厘米，小圆面积为$4x$平方厘米。
因为圆环面积 = 大圆面积 - 小圆面积，且圆环面积是15.7平方厘米，列方程得：
$9x - 4x = 15.7$
$5x = 15.7$
解得$x = 3.14$
4. 计算大小圆面积：
大圆面积：$9x = 9×3.14 = 28.26$（平方厘米）
小圆面积：$4x = 4×3.14 = 12.56$（平方厘米）
【答案】
大圆面积是28.26平方厘米，小圆面积是12.56平方厘米。
【知识点】
圆的周长与半径关系、圆的面积与半径关系、圆环面积计算
【点评】
本题核心是运用圆的周长、面积与半径的比例关系解题，需要理解周长比、半径比、面积比之间的转换逻辑，通过设未知数的方法将比例关系转化为方程，简化计算过程，考查对圆的相关公式的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
