1. 分式$\frac{1}{m + n}$,$\frac{1}{m^2 - n^2}$,$\frac{1}{m - n}$的最简公分母是()

A.$(m + n)(m^2 - n^2)$
B.$(m^2 - n^2)^2$
C.$(m + n)^2(m - n)$
D.$m^2 - n^2$

D

首先将$m^{2}-n^{2}$利用平方差公式分解为$(m + n)(m - n)$。
然后分析三个分式分母$m + n$，$(m + n)(m - n)$，$m - n$，
最简公分母就是包含所有因式且各因式取最高次幂的积，所以最简公分母是$(m + n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$。

2. 将分式$\frac{1}{x - 2}$,$\frac{1}{(x - 2)(x + 3)}$,$\frac{2}{(x + 3)^2}$通分，下列结论不正确的是()

A.最简公分母是$(x - 2)(x + 3)^2$
B.$\frac{1}{x - 2} = \frac{(x + 3)^2}{(x - 2)(x + 3)^2}$
C.$\frac{1}{(x - 2)(x + 3)} = \frac{x + 3}{(x - 2)(x + 3)^2}$
D.$\frac{2}{(x + 3)^2} = \frac{2x - 2}{(x - 2)(x + 3)^2}$

D

依次检查每个选项。
A：确定最简公分母，观察各分式的分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，得最简公分母是$(x - 2)(x + 3)^2$，正确。
B：根据分式的基本性质，将$\frac{1}{x - 2}$的分子分母同时乘以$(x + 3)^2$，得$\frac{(x + 3)^2}{(x - 2)(x + 3)^2}$，正确。
C：将$\frac{1}{(x - 2)(x + 3)}$的分子分母同时乘以$(x + 3)$，得$\frac{x + 3}{(x - 2)(x + 3)^2}$，正确。
D：将$\frac{2}{(x + 3)^2}$的分子分母同时乘以$(x - 2)$，得$\frac{2(x - 2)}{(x - 2)(x + 3)^2} = \frac{2x - 4}{(x - 2)(x + 3)^2}$，而选项中给出的是$\frac{2x - 2}{(x - 2)(x + 3)^2}$，错误。

3. 如图，小正方形内分别填入了四个代数式，若使横向三个代数式之和与纵向三个代数式之和相等，则“?”位置填入的代数式为。

$\frac{x+1}{x}$

设“?”位置的代数式为A。横向代数式之和为：$\frac{1}{x^2 - x} + \frac{x}{1 - x} + A$；纵向代数式之和为：$\frac{x^2}{x - 1} + \frac{x}{1 - x} - x$。由横向之和等于纵向之和，得$\frac{1}{x^2 - x} + \frac{x}{1 - x} + A = \frac{x^2}{x - 1} + \frac{x}{1 - x} - x$，消去$\frac{x}{1 - x}$，则$A = \frac{x^2}{x - 1} - x - \frac{1}{x^2 - x}$。化简：$\frac{x^2}{x - 1} - x = \frac{x^2 - x(x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$；$\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x(x - 1)} = \frac{x^2 - 1}{x(x - 1)} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x(x - 1)} = \frac{x + 1}{x}$。故$A = \frac{x + 1}{x}$。

4. 化简：
(1)$\frac{1}{2c^2d} + \frac{1}{3cd^2} - \frac{1}{4cd}$；
(2)$\frac{2x}{x^2 - 4} - \frac{1}{x - 2}$。

(1)
原式$=\frac{6d}{12c^{2}d^{2}}+\frac{4c}{12c^{2}d^{2}}-\frac{3cd}{12c^{2}d^{2}}$
$=\frac{6d + 4c-3cd}{12c^{2}d^{2}}$
(2)
因为$x^{2}-4=(x + 2)(x - 2)$，
原式$=\frac{2x}{(x + 2)(x - 2)}-\frac{x + 2}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\frac{2x-(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\frac{2x - x - 2}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\frac{x - 2}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\frac{1}{x + 2}$

5. 提升题 已知$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 5} = \frac{5x - 7}{(x + 1)(x - 5)}$,求$2A - B$的值。

1. 通分左边：$\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-5}=\frac{A(x-5)+B(x+1)}{(x+1)(x-5)}$
2. 分子相等：$A(x-5)+B(x+1)=5x-7$
3. 展开左边：$(A+B)x+(-5A+B)=5x-7$
4. 系数对应：$\begin{cases}A+B=5\\-5A+B=-7\end{cases}$
5. 解方程组：由$A+B=5$得$B=5-A$，代入$-5A+B=-7$，得$-5A+5-A=-7$，$-6A=-12$，$A=2$，则$B=3$
6. 计算$2A-B$：$2×2 - 3=1$
1

6. 提升题 观察下列等式：
第1个等式：$\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x(x + 1)}$；
第2个等式：$\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2} = \frac{2}{x(x + 2)}$；
第3个等式：$\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 3} = \frac{3}{x(x + 3)}$；
……
根据上述规律，解决下列问题。
（1）请直接写出第4个等式：；
（2）请猜想第$n$个等式，并说明理由。

（1）
第4个等式：$\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 4} = \frac{4}{x(x + 4)}$；
（2）
第$n$个等式：$\frac{1}{x} - \frac{1}{x + n} = \frac{n}{x(x + n)}$；
理由：
等式左边$=\frac{1}{x}-\frac{1}{x + n}=\frac{x + n - x}{x(x + n)}=\frac{n}{x(x + n)}$，
等式右边$=\frac{n}{x(x + n)}$，
左边$=$右边，所以等式$\frac{1}{x} - \frac{1}{x + n} = \frac{n}{x(x + n)}$成立。