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1. 如图,$OC$是$∠ AOB$的平分线,$P$是$OC$上一点,$PD⊥ OA$于点$D$。若$PD=6$,则点$P$到边$OB$的距离为
6
。答案
6
2. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$。若$CD=2$,$AB=6$,则$△ ABD$的面积是
6
。答案
6
3. 如图,$BH$是钝角三角形$ABC$的高,$AD$是$∠ BAC$的平分线,且$2∠ C=90°-∠ ABH$。若$CD=4$,$△ ABC$的面积为12,则$AD=$
3
。答案
3
4. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ BAC$的平分线交$BC$于点$D$,$DE⊥ AB$于点$E$。若$BC=9$,$AC=12$,$AB=15$,则$△ BDE$的周长为
12
。答案
12
5. 如图,在四边形$ABCD$中,$∠ B=∠ D=90°$,点$E,F$分别在$AB$,$AD$上,$AE=AF$,$CE=CF$。请说明:$CB=CD$。
答案
如图，连接$AC$。
在$△ AEC$和$△ AFC$中，
因为$AC = AC$，$CE = CF$，$AE = AF$，
所以$△ AEC ≌ △ AFC$（SSS），
所以$∠ CAE = ∠ CAF$，
所以$AC$平分$∠ DAB$。
因为$∠ B = ∠ D = 90°$，
所以$CB ⊥ BA$，$CD ⊥ DA$，
所以$CB = CD$。
在$△ AEC$和$△ AFC$中，
因为$AC = AC$，$CE = CF$，$AE = AF$，
所以$△ AEC ≌ △ AFC$（SSS），
所以$∠ CAE = ∠ CAF$，
所以$AC$平分$∠ DAB$。
因为$∠ B = ∠ D = 90°$，
所以$CB ⊥ BA$，$CD ⊥ DA$，
所以$CB = CD$。
6. 如图,在四边形$ABCD$中,$∠ B=90°$,$AB// CD$,$M$为$BC$上一点,且$AM$平分$∠ BAD$,$DM$平分$∠ ADC$。
(1)请说明:$AM⊥ DM$。
(2)$M$为$BC$的中点吗? 请说明理由。
(1)请说明:$AM⊥ DM$。
(2)$M$为$BC$的中点吗? 请说明理由。
答案
(1)因为$AB // CD$，
所以$∠ BAD + ∠ ADC = 180°$。
因为$AM$平分$∠ BAD$，$DM$平分$∠ ADC$，
所以$2∠ MAD + 2∠ ADM = 180°$，
所以$∠ MAD + ∠ ADM = 90°$，
所以$∠ AMD = 90°$，
即$AM ⊥ DM$。
(2)$M$为$BC$的中点。理由如下：
如图，过点$M$作$MN ⊥ AD$于点$N$。
因为$∠ B = 90°$，$AB // CD$，
所以$BM ⊥ AB$，$CM ⊥ CD$。
因为$AM$平分$∠ BAD$，$DM$平分$∠ ADC$，
所以$BM = MN$，$MN = CM$，
所以$BM = CM$，即$M$为$BC$的中点。
所以$∠ BAD + ∠ ADC = 180°$。
因为$AM$平分$∠ BAD$，$DM$平分$∠ ADC$，
所以$2∠ MAD + 2∠ ADM = 180°$，
所以$∠ MAD + ∠ ADM = 90°$，
所以$∠ AMD = 90°$，
即$AM ⊥ DM$。
(2)$M$为$BC$的中点。理由如下：
如图，过点$M$作$MN ⊥ AD$于点$N$。
因为$∠ B = 90°$，$AB // CD$，
所以$BM ⊥ AB$，$CM ⊥ CD$。
因为$AM$平分$∠ BAD$，$DM$平分$∠ ADC$，
所以$BM = MN$，$MN = CM$，
所以$BM = CM$，即$M$为$BC$的中点。
