20. 提升题 如图，$ O $ 是 $ △ ABC $ 内一点，连接 $ OB $，$ OC $，并将 $ AB $，$ OB $，$ OC $，$ AC $ 的中点 $ D $，$ E $，$ F $，$ G $ 依次连接，得到四边形 $ DEFG $。
(1) 求证：四边形 $ DEFG $ 是平行四边形；
(2) 若 $ ∠ OBC = 45^{\circ} $，$ ∠ OCB = 30^{\circ} $，$ OC = 8 $，求 $ EF $ 的长。

(2) EF的长为2+2√3。

(1) 证明：∵D，G分别是AB，AC的中点，∴DG是△ABC的中位线，∴DG//BC，DG=1/2BC。∵E，F分别是OB，OC的中点，∴EF是△OBC的中位线，∴EF//BC，EF=1/2BC。∴DG//EF，DG=EF，∴四边形DEFG是平行四边形。
(2) 解：过点O作OH⊥BC于H。在Rt△OCH中，∠OCB=30°，OC=8，∴OH=OC·sin30°=8×1/2=4，CH=OC·cos30°=8×√3/2=4√3。在Rt△OBH中，∠OBC=45°，∴BH=OH=4。∴BC=BH+CH=4+4√3。∵EF是△OBC的中位线，∴EF=1/2BC=1/2(4+4√3)=2+2√3。

21. 提升题 【观察发现】
(1) 如图①，在正方形 $ ABCD $ 中，点 $ E $，$ F $ 分别在边 $ BC $，$ CD $ 上，且 $ AE ⊥ BF $，垂足为 $ P $，易得 $ AE = BF $，请证明这个结论。
【深入探究】
(2) 如图②，在正方形 $ ABCD $ 中，点 $ E $，$ F $，$ G $ 分别在边 $ BC $，$ CD $，$ AB $ 上，且 $ AE ⊥ FG $。试判断 $ AE $ 与 $ FG $ 的数量关系，并说明理由。
【实践应用】
(3) 图③是一块四边形菜地 $ ABCD $，勤动手的小明测得 $ ∠ ABC = 90° $，$ ∠ BCD = 60° $，$ ∠ ADC = 75° $，$ AB = 10\ \mathrm{m} $。接着他在边 $ AB $，$ BC $ 上分别取点 $ E $，$ F $，使 $ CE ⊥ DF $，恰巧 $ CE = DF $。此时，爱动脑的小明迅速求出了边 $ BC $ 的长，请你帮小明写出解答过程。（提示：在直角三角形中，$ 30° $ 角所对的直角边等于斜边的一半）

(1) 证明：在正方形$ABCD$中，$AB=BC$，$∠ ABE=∠ BCF=90°$。
$\because AE⊥ BF$，$\therefore ∠ APB=90°$，则$∠ BAE+∠ ABP=90°$。
又$∠ ABC=90°$，$\therefore ∠ ABP+∠ CBF=90°$，$\therefore ∠ BAE=∠ CBF$。
在$△ ABE$和$△ BCF$中，$\begin{cases}∠ BAE=∠ CBF \\ AB=BC \\ ∠ ABE=∠ BCF\end{cases}$，
$\therefore △ ABE≌△ BCF(ASA)$，$\therefore AE=BF$。
(2)
  $AE=FG$。理由如下：
过$G$作$GH⊥ CD$于$H$，则$GH=AD=AB$，$∠ GHF=90°=∠ ABE$。
$\because AE⊥ FG$，设交点为$Q$，则$∠ AQG=90°$，$∠ BAE+∠ AGQ=90°$。
$\because AB// CD$，$\therefore ∠ AGQ=∠ GFH$，$\therefore ∠ BAE+∠ GFH=90°$。
又$∠ GFH+∠ FGH=90°$，$\therefore ∠ BAE=∠ FGH$。
在$△ ABE$和$△ GHF$中，$\begin{cases}∠ BAE=∠ FGH \\ AB=GH \\ ∠ ABE=∠ GHF\end{cases}$，
$\therefore △ ABE≌△ GHF(ASA)$，$\therefore AE=FG$。
(3)
过$D$作$DM⊥ BC$于$M$，设$CM=m$，则$∠ CDM=30°$，$CD=2m$，$DM=\sqrt{3}m$。
过$A$作$AN⊥ DM$于$N$，则四边形$ABMN$为矩形，$MN=AB=10$，$AN=BM$。
$∠ ADC=75°$，$∠ CDM=30°$，$\therefore ∠ ADN=45°$，$△ ADN$为等腰直角三角形，$AN=DN$。
设$BC=x$，则$BM=x-m$，$DN=AN=BM=x-m$，$DM=DN+MN=x-m+10$。
$\because DM=\sqrt{3}m$，$\therefore x-m+10=\sqrt{3}m$，即$x=m(\sqrt{3}+1)-10$。
由$CE=DF$且$CE⊥ DF$，构造$△ BCE≌△ DMC$（过程略），解得$m=10$，
$\therefore x=10(\sqrt{3}+1)-10=10\sqrt{3}$。
答：$BC$的长为$10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。