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14. (★★)某商店销售一种产品，该产品成本价为 $ 6 $ 元/件，售价为 $ 8 $ 元/件，销售人员将该产品一个月( $ 30 $ 天)销售情况记录绘成图象。如图，图中的折线 $ ODE $ 表示日销量 $ y $ 与销售时间 $ x $ 之间的函数关系。线段 $ DE $ 表示的函数关系中，时间每增加 $ 1 $ 天，日销量减少 $ 5 $ 件。
(1)第 $ 25 $ 天的日销量是件，这天销售利润是元；
(2)求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式。
(1)第 $ 25 $ 天的日销量是件，这天销售利润是元；
(2)求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式。
答案
(1) 325；650
(2) 当 $0 ≤ x ≤ 17$ 时，设 $y = kx$，将 $D(17, 365)$ 代入得 $365 = 17k$，解得 $k = \frac{365}{17}$，故 $y = \frac{365}{17}x$；
当 $17 ≤ x ≤ 30$ 时，设 $y = -5x + b$，将 $(22, 340)$ 代入得 $340 = -5 × 22 + b$，解得 $b = 450$，故 $y = -5x + 450$。
综上，$y = \begin{cases} \frac{365}{17}x & (0 ≤ x ≤ 17) \\ -5x + 450 & (17 ≤ x ≤ 30) \end{cases}$
(2) 当 $0 ≤ x ≤ 17$ 时，设 $y = kx$，将 $D(17, 365)$ 代入得 $365 = 17k$，解得 $k = \frac{365}{17}$，故 $y = \frac{365}{17}x$；
当 $17 ≤ x ≤ 30$ 时，设 $y = -5x + b$，将 $(22, 340)$ 代入得 $340 = -5 × 22 + b$，解得 $b = 450$，故 $y = -5x + 450$。
综上，$y = \begin{cases} \frac{365}{17}x & (0 ≤ x ≤ 17) \\ -5x + 450 & (17 ≤ x ≤ 30) \end{cases}$
15. (★★★)如图，直线 $ y = - \frac { 4 } { 3 } x + 8 $ 分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，$ ∠ BAO $ 的平分线所在的直线 $ AM $ 的函数解析式是。
答案
$ y = -\frac{1}{2}x + 3 $
解析
由直线$ y = -\frac{4}{3}x + 8 $，令$ y = 0 $得$ A(6,0) $，令$ x = 0 $得$ B(0,8) $。$ OA = 6 $，$ AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 $。设$ AM $交$ y $轴于$ M(0,m) $，由角平分线定理$ \frac{BM}{MO} = \frac{AB}{AO} $，即$ \frac{8 - m}{m} = \frac{10}{6} $，解得$ m = 3 $，则$ M(0,3) $。设$ AM $解析式为$ y = kx + b $，将$ A(6,0) $、$ M(0,3) $代入得$ b = 3 $，$ 6k + 3 = 0 $，解得$ k = -\frac{1}{2} $，故$ AM $解析式为$ y = -\frac{1}{2}x + 3 $。
16. (★★★)如图，已知一次函数的图象 $ l _ { 1 } $ 交 $ x $ 轴于点 $ A $，交 $ y $ 轴于点 $ B ( 0,4 ) $，正比例函数 $ y = - 2x $ 图象与 $ l _ { 1 } $ 交于点 $ M $，已知点 $ M $ 的横坐标是 $ - 1 $。
(1)求该一次函数的解析式；
(2)若 $ y $ 轴上有一动点 $ Q $，连接 $ QM $，$ QA $，求当 $ △ QMA $ 周长取最小值时点 $ Q $ 的坐标。
(1)求该一次函数的解析式；
(2)若 $ y $ 轴上有一动点 $ Q $，连接 $ QM $，$ QA $，求当 $ △ QMA $ 周长取最小值时点 $ Q $ 的坐标。
答案
(1) 设一次函数解析式为 $ y = kx + b $。
∵ 一次函数 $ l_1 $ 交 $ y $ 轴于 $ B(0,4) $，∴ $ b = 4 $。
∵ 点 $ M $ 在正比例函数 $ y = -2x $ 上，且横坐标为 $ -1 $，
∴ 当 $ x = -1 $ 时，$ y = -2×(-1) = 2 $，即 $ M(-1,2) $。
将 $ M(-1,2) $ 代入 $ y = kx + 4 $，得 $ 2 = -k + 4 $，解得 $ k = 2 $。
∴ 一次函数解析式为 $ y = 2x + 4 $。
(2) 在 $ y = 2x + 4 $ 中，令 $ y = 0 $，得 $ 0 = 2x + 4 $，解得 $ x = -2 $，∴ $ A(-2,0) $。
作点 $ A $ 关于 $ y $ 轴的对称点 $ A'(2,0) $，连接 $ A'M $ 交 $ y $ 轴于点 $ Q $，此时 $ QM + QA $ 最小，即 $ △QMA $ 周长最小。
设直线 $ A'M $ 的解析式为 $ y = mx + n $，将 $ A'(2,0) $，$ M(-1,2) $ 代入：
$ \begin{cases} 2m + n = 0 \\ -m + n = 2 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} m = -\frac{2}{3} \\ n = \frac{4}{3} \end{cases} $。
∴ 直线 $ A'M $ 的解析式为 $ y = -\frac{2}{3}x + \frac{4}{3} $。
令 $ x = 0 $，得 $ y = \frac{4}{3} $，∴ $ Q(0,\frac{4}{3}) $。
(1) $ y = 2x + 4 $；(2) $ (0,\frac{4}{3}) $
∵ 一次函数 $ l_1 $ 交 $ y $ 轴于 $ B(0,4) $，∴ $ b = 4 $。
∵ 点 $ M $ 在正比例函数 $ y = -2x $ 上，且横坐标为 $ -1 $，
∴ 当 $ x = -1 $ 时，$ y = -2×(-1) = 2 $，即 $ M(-1,2) $。
将 $ M(-1,2) $ 代入 $ y = kx + 4 $，得 $ 2 = -k + 4 $，解得 $ k = 2 $。
∴ 一次函数解析式为 $ y = 2x + 4 $。
(2) 在 $ y = 2x + 4 $ 中，令 $ y = 0 $，得 $ 0 = 2x + 4 $，解得 $ x = -2 $，∴ $ A(-2,0) $。
作点 $ A $ 关于 $ y $ 轴的对称点 $ A'(2,0) $，连接 $ A'M $ 交 $ y $ 轴于点 $ Q $，此时 $ QM + QA $ 最小，即 $ △QMA $ 周长最小。
设直线 $ A'M $ 的解析式为 $ y = mx + n $，将 $ A'(2,0) $，$ M(-1,2) $ 代入：
$ \begin{cases} 2m + n = 0 \\ -m + n = 2 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} m = -\frac{2}{3} \\ n = \frac{4}{3} \end{cases} $。
∴ 直线 $ A'M $ 的解析式为 $ y = -\frac{2}{3}x + \frac{4}{3} $。
令 $ x = 0 $，得 $ y = \frac{4}{3} $，∴ $ Q(0,\frac{4}{3}) $。
(1) $ y = 2x + 4 $；(2) $ (0,\frac{4}{3}) $
