1. 如图，直线 $ y = kx + b(k ＜ 0) $ 经过点 $ A(3,1) $，当 $ kx + b ≤ \frac{1}{3}x $ 时，$ x $ 的取值范围是。

$x≥3$

1. 将点$A(3,1)$代入$y=\frac{1}{3}x$，得$y=\frac{1}{3}×3=1$，可知点$A$在直线$y=\frac{1}{3}x$上，即直线$y=kx+b$与$y=\frac{1}{3}x$交于点$A(3,1)$。
2. 由$k＜0$可知直线$y=kx+b$呈下降趋势，直线$y=\frac{1}{3}x$呈上升趋势，因此当$x≥3$时，直线$y=kx+b$的图象在$y=\frac{1}{3}x$的图象下方或重合，满足$kx+b ≤ \frac{1}{3}x$。

2. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，一次函数 $ y = kx $ 和 $ y = mx + n $ 的图象如图所示，则关于 $ x $ 的一元一次不等式 $ (k - m)x - n ＞ 0 $ 的解集是。

$x＞1$

先将不等式$(k - m)x - n ＞ 0$变形为$kx ＞ mx + n$；观察图象可知，当$x＞1$时，一次函数$y=kx$的图象在$y=mx+n$的图象上方，即$kx ＞ mx + n$，因此不等式的解集为$x＞1$。

3. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点。若直线 $ y = kx + 4(k ＞ 0) $ 与坐标轴围成的三角形内部(不包含边界)有且只有 $ 6 $ 个整点，则 $ k $ 的取值范围是()。

A.$ \frac{4}{5} ≤ k ＜ 1 $
B.$ \frac{4}{5} ＜ k ＜ 1 $
C.$ \frac{3}{4} ≤ k ＜ 1 $
D.$ \frac{3}{4} ＜ k ＜ 1 $

A

1. 直线$y=kx+4(k＞0)$与y轴交于$(0,4)$，与x轴交于$(-\frac{4}{k},0)$。
2. 分析内部整点情况：
当$k=1$时，直线为$y=x+4$，内部整点共3个，不符合题意；
当$k=\frac{4}{5}$时，直线为$y=\frac{4}{5}x+4$，与x轴交于$(-5,0)$，内部整点共6个，符合题意；
当$k＜\frac{4}{5}$时，直线与x轴交点更靠左，内部整点数量超过6个，不符合；
当$\frac{4}{5}＜k＜1$时，直线与x轴交点在$(-5,-4)$之间，内部整点仍为6个，符合题意。
3. 综上，$k$的取值范围是$\frac{4}{5}≤k＜1$。

4. 一次函数 $ y = kx + b $($ k $，$ b $ 为常数，且 $ k ≠ 0 $)中的 $ x $ 与 $ y $ 的部分对应值如下表所示。
当 $ n ＞ 2 $ 时，给出下列四个结论：
① $ kb ＜ 0 $；② $ b = -k + 2 $；③ $ n ＞ -3k $；④关于 $ x $ 的一元一次不等式 $ (k - 2)x + b ＞ 0 $ 的解集为 $ x ＜ 1 $。

其中正确的结论是。(填写序号)

①②④

1. 将$(1,2)$代入$y=kx+b$，得$k+b=2$，即$b=-k+2$，故②正确。
2. 将$x=-1$代入函数得$n=-k+b$，结合$b=-k+2$，得$n=2-2k$。由$n＞2$，得$2-2k＞2$，解得$k＜0$。
3. 因为$k＜0$，$b=2-k＞0$，所以$kb＜0$，故①正确。
4. 对于③：$n＞ -3k$即$2-2k＞ -3k$，解得$k＞ -2$，但$k＜0$无法推出$k＞ -2$，故③错误。
5. 对于④：将$b=-k+2$代入不等式$(k-2)x +b＞0$，整理为$(k-2)x＞k-2$。因为$k＜0$，所以$k-2＜0$，不等式两边除以负数，不等号方向改变，得$x＜1$，故④正确。
综上，正确结论为①②④。

5. 已知一次函数 $ y = kx + k + 4 $($ k $ 为常数)，其图象为直线 $ l $。下列四个结论：
① 无论 $ k $ 取何值，直线 $ l $ 都过点 $ A(-1,4) $；
② 若一次函数 $ y = 2x $ 的图象与直线 $ l $ 没有公共点，则 $ k = 2 $；
③ 若直线 $ l $ 不经过第三象限，则 $ -4 ≤ k ＜ 0 $；
④ $ B(x_1,y_1) $ 和 $ C(x_2,y_2) $ 两点在直线 $ l $ 上，若 $ (x_1 - x_2)(y_1 - y_2) ＜ 0 $，则 $ k ＞ -1 $。
其中正确的结论是。(填写序号)

①②

1. 判断结论①：将$x=-1$代入$y=kx+k+4$，得$y=-k+k+4=4$，故无论$k$取何值，直线$l$都过点$A(-1,4)$，①正确。
2. 判断结论②：若$y=2x$与直线$l$无公共点，则两直线平行，即斜率相等且截距不等。直线$l$斜率为$k$，故$k=2$，此时直线$l$为$y=2x+6$，与$y=2x$截距不同，无公共点，②正确。
3. 判断结论③：直线$l$不经过第三象限，分两种情况：
当$k=0$时，$y=4$，是平行于$x$轴的直线，不经过第三象限；
当$k＜0$时，截距$k+4≥0$，解得$-4≤ k＜0$。
综上，$k$的范围是$-4≤ k≤0$，结论③中漏掉$k=0$，故③错误。
4. 判断结论④：$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$说明$y$随$x$的增大而减小，即$k＜0$，并非$k＞-1$，故④错误。