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11. 如图，在$□ ABCD$中，$E$，$F$分别为$AD$，$BC$的中点，$AG⊥ BD$，$CH⊥ BD$，垂足分别为$G$，$H$，连接$EG$，$EH$，$FG$，$FH$.
(1) 求证：四边形$GEHF$是平行四边形；
(2) 若$AB=2$，$BC=3$，当$BD=$
(1) 求证：四边形$GEHF$是平行四边形；
(2) 若$AB=2$，$BC=3$，当$BD=$
$ \frac{5}{2}$
时，$□ GEHF$是矩形.答案
11. (1)
∵ $AG ⊥ BD$，垂足为 $G$，
∴ $ ∠ AGD = 90^{\circ}$．
∵ 在 $ \mathrm{Rt} △ AGD$ 中，$E$ 为 $AD$ 的中点，
∴ $EG = ED = \frac{1}{2}AD$．同理 $HF = BF = \frac{1}{2}BC$．
∵ 在 $ □ ABCD$ 中，$AD = BC$，
∴ $EG = FH$．
∵ 在 $ △ EGD$ 中，$EG = ED$．
∴ $ ∠ EDG = ∠ EGD$．同理在 $ △ BFH$ 中，$ ∠ HBF = ∠ FHB$．
∵ 在 $ □ ABCD$ 中，$AD // BC$，
∴ $ ∠ EDG = ∠ HBF$．
∴ $ ∠ EGD = ∠ FHB$．
∴ $EG // FH$．又
∵ $EG = FH$，
∴ 四边形 $GEHF$ 是平行四边形
(2) $ \frac{5}{2}$
解析
【分析】
(1) 要证明四边形$GEHF$是平行四边形，可通过“一组对边平行且相等”的判定定理来推导。先利用直角三角形斜边中线的性质，结合平行四边形$ABCD$的对边相等，得到$EG=FH$；再通过角的等量代换证明$EG// FH$，从而完成证明。
(2) 要使平行四边形$GEHF$成为矩形，需满足一个内角为直角（或对角线相等）。结合已知边长，利用直角三角形勾股定理，通过设未知数建立方程，推导$BD$的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AG⊥BD$，垂足为$G$，
∴ $∠AGD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△AGD$中，$E$为$AD$的中点，
根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得$EG=ED=\frac{1}{2}AD$。
同理，在$\mathrm{Rt}△CHB$中，$F$为$BC$的中点，得$HF=BF=\frac{1}{2}BC$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD=BC$，
∴ $EG=FH$。
∵ $EG=ED$，
∴ $∠EDG=∠EGD$；
同理，$HF=BF$，得$∠HBF=∠FHB$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠EDG=∠HBF$，
∴ $∠EGD=∠FHB$，
∴ $EG// FH$。
又
∵ $EG=FH$，
∴ 四边形$GEHF$是平行四边形。
(2) 求解：
当$□ GEHF$是矩形时，需满足$EF=GH$（平行四边形为矩形的对角线相等条件）。
∵ $E$，$F$分别为$AD$，$BC$的中点，四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AE// BF$且$AE=BF$，四边形$ABFE$是平行四边形，故$EF=AB=2$。
设$BG=DH=x$，由$AG⊥BD$，$CH⊥BD$，结合平行四边形性质可得$△ ABG≌△ CDH$（AAS），则$GH=BD-2x$。
在$\mathrm{Rt}△ABG$中，$AG^2=AB^2-BG^2=2^2-x^2$；
在$\mathrm{Rt}△ADG$中，$DG=BD-BG$，$AG^2=AD^2-DG^2=3^2-(BD-x)^2$。
联立得：$4-x^2=9-(BD-x)^2$，展开化简得：$BD^2-2x· BD=5$。
又
∵ $GH=EF=2$，即$BD-2x=2$，得$2x=BD-2$，代入上式：
$BD^2-(BD-2)· BD=5$，
$BD^2-BD^2+2BD=5$，
解得$BD=\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{\frac{5}{2}}$
【知识点】
1. 平行四边形的判定与性质
2. 直角三角形斜边中线性质
3. 矩形的判定
【点评】
本题综合考查平行四边形、矩形的判定与性质，以及直角三角形的核心性质，解题需灵活运用图形性质完成边与角的等量转化，第二问结合勾股定理建立方程求解，对逻辑推理和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明四边形$GEHF$是平行四边形，可通过“一组对边平行且相等”的判定定理来推导。先利用直角三角形斜边中线的性质，结合平行四边形$ABCD$的对边相等，得到$EG=FH$；再通过角的等量代换证明$EG// FH$，从而完成证明。
(2) 要使平行四边形$GEHF$成为矩形，需满足一个内角为直角（或对角线相等）。结合已知边长，利用直角三角形勾股定理，通过设未知数建立方程，推导$BD$的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AG⊥BD$，垂足为$G$，
∴ $∠AGD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△AGD$中，$E$为$AD$的中点，
根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得$EG=ED=\frac{1}{2}AD$。
同理，在$\mathrm{Rt}△CHB$中，$F$为$BC$的中点，得$HF=BF=\frac{1}{2}BC$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD=BC$，
∴ $EG=FH$。
∵ $EG=ED$，
∴ $∠EDG=∠EGD$；
同理，$HF=BF$，得$∠HBF=∠FHB$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠EDG=∠HBF$，
∴ $∠EGD=∠FHB$，
∴ $EG// FH$。
又
∵ $EG=FH$，
∴ 四边形$GEHF$是平行四边形。
(2) 求解：
当$□ GEHF$是矩形时，需满足$EF=GH$（平行四边形为矩形的对角线相等条件）。
∵ $E$，$F$分别为$AD$，$BC$的中点，四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AE// BF$且$AE=BF$，四边形$ABFE$是平行四边形，故$EF=AB=2$。
设$BG=DH=x$，由$AG⊥BD$，$CH⊥BD$，结合平行四边形性质可得$△ ABG≌△ CDH$（AAS），则$GH=BD-2x$。
在$\mathrm{Rt}△ABG$中，$AG^2=AB^2-BG^2=2^2-x^2$；
在$\mathrm{Rt}△ADG$中，$DG=BD-BG$，$AG^2=AD^2-DG^2=3^2-(BD-x)^2$。
联立得：$4-x^2=9-(BD-x)^2$，展开化简得：$BD^2-2x· BD=5$。
又
∵ $GH=EF=2$，即$BD-2x=2$，得$2x=BD-2$，代入上式：
$BD^2-(BD-2)· BD=5$，
$BD^2-BD^2+2BD=5$，
解得$BD=\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{\frac{5}{2}}$
【知识点】
1. 平行四边形的判定与性质
2. 直角三角形斜边中线性质
3. 矩形的判定
【点评】
本题综合考查平行四边形、矩形的判定与性质，以及直角三角形的核心性质，解题需灵活运用图形性质完成边与角的等量转化，第二问结合勾股定理建立方程求解，对逻辑推理和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
12. 如图，四边形$ABCD$为正方形，$E$，$F$分别为$CD$，$AB$的中点，$DG⊥ CF$，垂足为$G$.
(1) 求证：$AE// CF$；
(2) 求证：$∠ AGE=90^{\circ}$；
(3) 若正方形的边长为$2$，则线段$CG$的长度为
(1) 求证：$AE// CF$；
(2) 求证：$∠ AGE=90^{\circ}$；
(3) 若正方形的边长为$2$，则线段$CG$的长度为
$ \frac{2\sqrt{5}}{5}$
.答案
12. (1)
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AB = CD$，$AB // CD$．
∴ $AF // CE$．又
∵ 点 $E$，$F$ 分别是 $AB$，$CD$ 的中点，
∴ $AF = CE$．
∵ $AF // CE$，$AF = CE$，
∴ 四边形 $AFCE$ 是平行四边形．
∴ $AE // CF$
(2) 如图，$AE$，$DG$ 交于点 $H$，
∵ $CF // AE$，$DG ⊥ CF$，
∴ $DG ⊥ AE$，垂足为 $H$．
∵ $E$ 是 $CD$ 的中点，
∴ $EG = ED$．
∴ $ △ DGE$ 是等腰三角形．
∴ $H$ 是 $DG$ 的中点，且 $AE ⊥ GD$．
∴ $AG = AD$．在 $ △ ADE$ 和 $ △ AGE$ 中，$ \begin{cases} AD = AG, \\ AE = AE, \\ ED = EG, \end{cases} $
∴ $ △ ADE ≌ △ AGE (\mathrm{SSS})$．
∴ $ ∠ AGE = ∠ ADE = 90^{\circ}$
(3) $ \frac{2\sqrt{5}}{5}$
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AB = CD$，$AB // CD$．
∴ $AF // CE$．又
∵ 点 $E$，$F$ 分别是 $AB$，$CD$ 的中点，
∴ $AF = CE$．
∵ $AF // CE$，$AF = CE$，
∴ 四边形 $AFCE$ 是平行四边形．
∴ $AE // CF$
(2) 如图，$AE$，$DG$ 交于点 $H$，
∵ $CF // AE$，$DG ⊥ CF$，
∴ $DG ⊥ AE$，垂足为 $H$．
∵ $E$ 是 $CD$ 的中点，
∴ $EG = ED$．
∴ $ △ DGE$ 是等腰三角形．
∴ $H$ 是 $DG$ 的中点，且 $AE ⊥ GD$．
∴ $AG = AD$．在 $ △ ADE$ 和 $ △ AGE$ 中，$ \begin{cases} AD = AG, \\ AE = AE, \\ ED = EG, \end{cases} $
∴ $ △ ADE ≌ △ AGE (\mathrm{SSS})$．
∴ $ ∠ AGE = ∠ ADE = 90^{\circ}$
(3) $ \frac{2\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
(1) 要证明$AE// CF$，可先利用正方形对边平行且相等的性质，结合E、F是中点的条件，证明四边形$AFCE$是平行四边形，根据平行四边形对边平行即可得证；
(2) 要证明$∠ AGE=90°$，先由(1)的结论$AE// CF$结合$DG⊥ CF$，推出$DG⊥ AE$，再利用直角三角形斜边中线性质得到$EG=ED$，结合垂直平分线性质得到$AG=AD$，最后通过SSS证明$△ ADE≌△ AGE$，利用全等三角形对应角相等即可证得；
(3) 求$CG$的长度，可先利用勾股定理求出$CF$的长，再通过证明$△ CDG∽△ FCB$，利用相似三角形对应边成比例计算，或用面积法结合勾股定理求解。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AB = CD$，$AB // CD$．
∵ $E$，$F$分别为$CD$，$AB$的中点，
∴ $AF = \frac{1}{2}AB$，$CE = \frac{1}{2}CD$，
∴ $AF = CE$，且$AF // CE$，
∴ 四边形$AFCE$是平行四边形，
∴ $AE // CF$；
(2) 证明：
设$AE$与$DG$交于点$H$，
由(1)知$AE // CF$，又$DG ⊥ CF$，
∴ $DG ⊥ AE$，即$∠ AHD = 90°$．
∵ $E$是$CD$的中点，在$Rt△ DGC$中，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$EG = ED = EC$．
∵ $DG ⊥ AE$，$H$为$DG$中点，
∴ $AE$垂直平分$DG$，
∴ $AG = AD$．
在$△ ADE$和$△ AGE$中，
$\begin{cases}AD = AG, \\AE = AE, \\ED = EG,\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ AGE (\mathrm{SSS})$，
∴ $∠ AGE = ∠ ADE = 90°$；
(3) 解：
∵ 正方形的边长为2，
∴ $BC = 2$，$BF = \frac{1}{2}AB = 1$，
在$Rt△ CBF$中，由勾股定理得：
$CF = \sqrt{BC^2 + BF^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$．
∵ $∠ CGD = ∠ B = 90°$，$∠ DCG = ∠ FCB$，
∴ $△ CDG ∽ △ FCB$，
∴ $\frac{CG}{CB} = \frac{CD}{CF}$，
即$\frac{CG}{2} = \frac{2}{\sqrt{5}}$，
解得$CG = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$．
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 证明见解析；
(3) $\boldsymbol{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$
【知识点】
正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查正方形、平行四边形、全等三角形及相似三角形的相关知识，解题关键是熟练掌握正方形的边与角的性质，灵活运用平行四边形、全等、相似的判定定理解决问题，第(3)问方法多样，可根据自身知识储备选择合适的解法。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明$AE// CF$，可先利用正方形对边平行且相等的性质，结合E、F是中点的条件，证明四边形$AFCE$是平行四边形，根据平行四边形对边平行即可得证；
(2) 要证明$∠ AGE=90°$，先由(1)的结论$AE// CF$结合$DG⊥ CF$，推出$DG⊥ AE$，再利用直角三角形斜边中线性质得到$EG=ED$，结合垂直平分线性质得到$AG=AD$，最后通过SSS证明$△ ADE≌△ AGE$，利用全等三角形对应角相等即可证得；
(3) 求$CG$的长度，可先利用勾股定理求出$CF$的长，再通过证明$△ CDG∽△ FCB$，利用相似三角形对应边成比例计算，或用面积法结合勾股定理求解。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AB = CD$，$AB // CD$．
∵ $E$，$F$分别为$CD$，$AB$的中点，
∴ $AF = \frac{1}{2}AB$，$CE = \frac{1}{2}CD$，
∴ $AF = CE$，且$AF // CE$，
∴ 四边形$AFCE$是平行四边形，
∴ $AE // CF$；
(2) 证明：
设$AE$与$DG$交于点$H$，
由(1)知$AE // CF$，又$DG ⊥ CF$，
∴ $DG ⊥ AE$，即$∠ AHD = 90°$．
∵ $E$是$CD$的中点，在$Rt△ DGC$中，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$EG = ED = EC$．
∵ $DG ⊥ AE$，$H$为$DG$中点，
∴ $AE$垂直平分$DG$，
∴ $AG = AD$．
在$△ ADE$和$△ AGE$中，
$\begin{cases}AD = AG, \\AE = AE, \\ED = EG,\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ AGE (\mathrm{SSS})$，
∴ $∠ AGE = ∠ ADE = 90°$；
(3) 解：
∵ 正方形的边长为2，
∴ $BC = 2$，$BF = \frac{1}{2}AB = 1$，
在$Rt△ CBF$中，由勾股定理得：
$CF = \sqrt{BC^2 + BF^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$．
∵ $∠ CGD = ∠ B = 90°$，$∠ DCG = ∠ FCB$，
∴ $△ CDG ∽ △ FCB$，
∴ $\frac{CG}{CB} = \frac{CD}{CF}$，
即$\frac{CG}{2} = \frac{2}{\sqrt{5}}$，
解得$CG = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$．
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 证明见解析；
(3) $\boldsymbol{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$
【知识点】
正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查正方形、平行四边形、全等三角形及相似三角形的相关知识，解题关键是熟练掌握正方形的边与角的性质，灵活运用平行四边形、全等、相似的判定定理解决问题，第(3)问方法多样，可根据自身知识储备选择合适的解法。
【难度系数】
0.6
13. 如图，在正方形$ABCD$中，$P$是边$BC$上的一个动点（不与点$B$，$C$重合），连接$AP$，作$AP$的垂直平分线$EF$，分别交$AB$，$CD$于点$E$，$F$.
(1) 如图①，若$AB=4$，求当$P$是边$BC$的中点时$DF$的长；
(2) 试判断线段$AE$，$BP$，$DF$之间的数量关系，并说明理由.
(1) 如图①，若$AB=4$，求当$P$是边$BC$的中点时$DF$的长；
(2) 试判断线段$AE$，$BP$，$DF$之间的数量关系，并说明理由.
答案
13. (1) 如图，过点 $D$ 作 $DH // EF$，交 $AB$ 于点 $H$，连接 $EP$．
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，且 $AB = 4$，
∴ $AB = DA = BC = 4$，$ ∠ DAH = ∠ B = 90^{\circ}$，$AB // CD$．设 $AE = a$，
∵ $EF$ 是 $AP$ 的垂直平分线，
∴ $PE = AE = a$，
∴ $BE = AB - AE = 4 - a$．
∵ $P$ 是 $BC$ 中点，
∴ $BP = \frac{1}{2}BC = 2$．在 $ \mathrm{Rt} △ BEP$ 中，由勾股定理，得 $PE^{2} = BE^{2} + BP^{2}$，
∴ $a^{2} = (4 - a)^{2} + 2^{2}$，解得 $a = 2.5$，
∴ $AE = a = 2.5$．
∵ $AB // CD$，$DH // EF$，
∴ 四边形 $DHEF$ 是平行四边形，
∴ $DF = HE$．
∵ $EF$ 是 $AP$ 的垂直平分线，
∴ $ ∠ ADH + ∠ PAD = 90^{\circ}$．
∵ $ ∠ BAP + ∠ PAD = 90^{\circ}$，
∴ $ ∠ BAP = ∠ ADH$．在 $ △ BAP$ 和 $ △ ADH$ 中，$ \begin{cases} ∠ BAP = ∠ ADH, \\ AB = DA, \\ ∠ DAH = ∠ B = 90^{\circ}, \end{cases} $
∴ $ △ BAP ≌ △ ADH (\mathrm{ASA})$．
∴ $BP = AH = 2$，
∴ $HE = AE - AH = 2.5 - 2 = 0.5$，
∴ $DF = HE = 0.5$
(2) 线段 $AE$，$BP$，$DF$ 之间的数量关系是 $AE = BP + DF$．理由如下：
∵ $ △ BAP ≌ △ ADH$，
∴ $BP = AH$．
∵ 四边形 $DHEF$ 是平行四边形，
∴ $HE = DF$．
∵ $AE = AH + HE$，
∴ $AE = BP + DF$
解析
【分析】
(1) 要求DF的长，首先利用AP的垂直平分线性质得到PE=AE，设AE为未知数，在Rt△BEP中用勾股定理求出AE的长度；接着通过作辅助线DH//EF，构造平行四边形DHEF，将DF转化为HE；再证明△BAP≌△ADH，得到AH=BP，最后通过AE-AH算出HE，即DF的长。
(2) 要探究AE、BP、DF的数量关系，结合(1)中全等三角形的结论BP=AH，以及平行四边形的性质HE=DF，再根据线段和的关系AE=AH+HE，即可推导出三者的数量关系。
【解析】
(1) 如图，过点 $D$ 作 $DH // EF$，交 $AB$ 于点 $H$，连接 $EP$．
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，且 $AB = 4$，
∴ $AB = DA = BC = 4$，$ ∠ DAH = ∠ B = 90°$，$AB // CD$．
设 $AE = a$，
∵ $EF$ 是 $AP$ 的垂直平分线，
∴ $PE = AE = a$，
∴ $BE = AB - AE = 4 - a$．
∵ $P$ 是 $BC$ 中点，
∴ $BP = \frac{1}{2}BC = 2$．
在 $ \mathrm{Rt} △ BEP$ 中，由勾股定理得：$PE^{2} = BE^{2} + BP^{2}$，
即 $a^{2} = (4 - a)^{2} + 2^{2}$，
展开化简得：$8a=20$，解得 $a = 2.5$，
∴ $AE = 2.5$．
∵ $AB // CD$，$DH // EF$，
∴ 四边形 $DHEF$ 是平行四边形，
∴ $DF = HE$．
∵ $EF$ 是 $AP$ 的垂直平分线，
∴ $∠AQE=90°$，则 $∠ ADH + ∠ PAD = 90°$．
又
∵ $∠ BAP + ∠ PAD = 90°$，
∴ $∠ BAP = ∠ ADH$．
在 $ △ BAP$ 和 $ △ ADH$ 中，
$\begin{cases}∠ BAP = ∠ ADH, \\AB = DA, \\∠ DAH = ∠ B = 90°,\end{cases}$
∴ $ △ BAP ≌ △ ADH (\mathrm{ASA})$．
∴ $BP = AH = 2$，
∴ $HE = AE - AH = 2.5 - 2 = 0.5$，
∴ $DF = HE = 0.5$．
(2) 线段 $AE$，$BP$，$DF$ 之间的数量关系是 $\boldsymbol{AE = BP + DF}$，理由如下：
由(1)知 $△ BAP ≌ △ ADH$，
∴ $BP = AH$．
又
∵ 四边形 $DHEF$ 是平行四边形，
∴ $HE = DF$．
∵ $AE = AH + HE$，
∴ $AE = BP + DF$．
【答案】
(1) $\boldsymbol{DF=0.5}$；
(2) $\boldsymbol{AE = BP + DF}$．
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题考查正方形的综合应用，解题关键是通过构造辅助线转化线段，利用垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理解决问题，着重培养了几何转化思想和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
(1) 要求DF的长，首先利用AP的垂直平分线性质得到PE=AE，设AE为未知数，在Rt△BEP中用勾股定理求出AE的长度；接着通过作辅助线DH//EF，构造平行四边形DHEF，将DF转化为HE；再证明△BAP≌△ADH，得到AH=BP，最后通过AE-AH算出HE，即DF的长。
(2) 要探究AE、BP、DF的数量关系，结合(1)中全等三角形的结论BP=AH，以及平行四边形的性质HE=DF，再根据线段和的关系AE=AH+HE，即可推导出三者的数量关系。
【解析】
(1) 如图，过点 $D$ 作 $DH // EF$，交 $AB$ 于点 $H$，连接 $EP$．
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，且 $AB = 4$，
∴ $AB = DA = BC = 4$，$ ∠ DAH = ∠ B = 90°$，$AB // CD$．
设 $AE = a$，
∵ $EF$ 是 $AP$ 的垂直平分线，
∴ $PE = AE = a$，
∴ $BE = AB - AE = 4 - a$．
∵ $P$ 是 $BC$ 中点，
∴ $BP = \frac{1}{2}BC = 2$．
在 $ \mathrm{Rt} △ BEP$ 中，由勾股定理得：$PE^{2} = BE^{2} + BP^{2}$，
即 $a^{2} = (4 - a)^{2} + 2^{2}$，
展开化简得：$8a=20$，解得 $a = 2.5$，
∴ $AE = 2.5$．
∵ $AB // CD$，$DH // EF$，
∴ 四边形 $DHEF$ 是平行四边形，
∴ $DF = HE$．
∵ $EF$ 是 $AP$ 的垂直平分线，
∴ $∠AQE=90°$，则 $∠ ADH + ∠ PAD = 90°$．
又
∵ $∠ BAP + ∠ PAD = 90°$，
∴ $∠ BAP = ∠ ADH$．
在 $ △ BAP$ 和 $ △ ADH$ 中，
$\begin{cases}∠ BAP = ∠ ADH, \\AB = DA, \\∠ DAH = ∠ B = 90°,\end{cases}$
∴ $ △ BAP ≌ △ ADH (\mathrm{ASA})$．
∴ $BP = AH = 2$，
∴ $HE = AE - AH = 2.5 - 2 = 0.5$，
∴ $DF = HE = 0.5$．
(2) 线段 $AE$，$BP$，$DF$ 之间的数量关系是 $\boldsymbol{AE = BP + DF}$，理由如下：
由(1)知 $△ BAP ≌ △ ADH$，
∴ $BP = AH$．
又
∵ 四边形 $DHEF$ 是平行四边形，
∴ $HE = DF$．
∵ $AE = AH + HE$，
∴ $AE = BP + DF$．
【答案】
(1) $\boldsymbol{DF=0.5}$；
(2) $\boldsymbol{AE = BP + DF}$．
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题考查正方形的综合应用，解题关键是通过构造辅助线转化线段，利用垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理解决问题，着重培养了几何转化思想和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
