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1. $ 5^{8}-1 $可以被20和30之间某两个数整除，这两个数是 (
A.22，24
B.24，26
C.26，28
D.25，27
B
)A.22，24
B.24，26
C.26，28
D.25，27
答案
1. B
解析
【解析】
利用平方差公式逐步因式分解：
$\begin{aligned}5^8 - 1&=(5^4)^2 - 1^2\\&=(5^4 - 1)(5^4 + 1)\\&=(5^2 - 1)(5^2 + 1)(5^4 + 1)\\&=(25 - 1)(25 + 1)(5^4 + 1)\\&=24×26×626\end{aligned}$
由此可知$5^8 - 1$能被24和26整除，这两个数在20和30之间，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题考查因式分解的应用，重点考查平方差公式的多次运用，通过对多项式进行因式分解，将大数转化为多个因数的乘积，从而找到20到30之间的整除因数，需要学生熟练掌握平方差公式的结构特征并灵活运用。
【难度系数】
0.6
利用平方差公式逐步因式分解：
$\begin{aligned}5^8 - 1&=(5^4)^2 - 1^2\\&=(5^4 - 1)(5^4 + 1)\\&=(5^2 - 1)(5^2 + 1)(5^4 + 1)\\&=(25 - 1)(25 + 1)(5^4 + 1)\\&=24×26×626\end{aligned}$
由此可知$5^8 - 1$能被24和26整除，这两个数在20和30之间，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题考查因式分解的应用，重点考查平方差公式的多次运用，通过对多项式进行因式分解，将大数转化为多个因数的乘积，从而找到20到30之间的整除因数，需要学生熟练掌握平方差公式的结构特征并灵活运用。
【难度系数】
0.6
2. 下列分解因式是否正确？若不正确，请给出正确结果。
(1) $ a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b) $；
(2) $ 9-25a^{2}=(3+25a)(3+25a) $；
(3) $ -4a^{2}+9b^{2}=(-2a+3b)(-2a-3b) $。
(1) $ a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b) $；
(2) $ 9-25a^{2}=(3+25a)(3+25a) $；
(3) $ -4a^{2}+9b^{2}=(-2a+3b)(-2a-3b) $。
答案
2. (1) 正确 (2) 错误 $ (3 + 5a)(3 - 5a) $ (3) 错误 $ (3b + 2a)(3b - 2a) $
解析
【解析】
(1) 该式符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的形式，分解因式正确。
(2) $9-25a^2$可变形为$3^2-(5a)^2$，根据平方差公式应分解为$(3+5a)(3-5a)$，原式分解错误。
(3) $-4a^2+9b^2$可变形为$9b^2-4a^2=(3b)^2-(2a)^2$，根据平方差公式应分解为$(3b+2a)(3b-2a)$，原式分解错误。
【答案】
(1) 正确；(2) 错误，正确结果为$(3 + 5a)(3 - 5a)$；(3) 错误，正确结果为$(3b + 2a)(3b - 2a)$
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题考查平方差公式在因式分解中的应用，需准确把握平方差公式的结构特征，注意式子中各项的符号与系数，避免分解错误。
【难度系数】
0.8
(1) 该式符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的形式，分解因式正确。
(2) $9-25a^2$可变形为$3^2-(5a)^2$，根据平方差公式应分解为$(3+5a)(3-5a)$，原式分解错误。
(3) $-4a^2+9b^2$可变形为$9b^2-4a^2=(3b)^2-(2a)^2$，根据平方差公式应分解为$(3b+2a)(3b-2a)$，原式分解错误。
【答案】
(1) 正确；(2) 错误，正确结果为$(3 + 5a)(3 - 5a)$；(3) 错误，正确结果为$(3b + 2a)(3b - 2a)$
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题考查平方差公式在因式分解中的应用，需准确把握平方差公式的结构特征，注意式子中各项的符号与系数，避免分解错误。
【难度系数】
0.8
3. 把下列各式分解因式：
(1) $ 36-x^{2} $； (2) $ a^{2}-\frac{1}{16}b^{2} $； (3) $ -\frac{1}{9}+y^{2} $；
(4) $ (y+1)^{2}-16 $； (5) $ (x+y)^{2}-(a+b)^{2} $； (6) $ 25(a+b)^{2}-4(a-b)^{2} $。
(1) $ 36-x^{2} $； (2) $ a^{2}-\frac{1}{16}b^{2} $； (3) $ -\frac{1}{9}+y^{2} $；
(4) $ (y+1)^{2}-16 $； (5) $ (x+y)^{2}-(a+b)^{2} $； (6) $ 25(a+b)^{2}-4(a-b)^{2} $。
答案
3. (1) $ (6 + x)(6 - x) $ (2) $ (a + \frac{1}{4}b)(a - \frac{1}{4}b) $ (3) $ (y + \frac{1}{3})(y - \frac{1}{3}) $ (4) $ (y + 5)(y - 3) $ (5) $ (x + y + a + b)(x + y - a - b) $ (6) $ (7a + 3b)(3a + 7b) $
解析
【解析】
本题可利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$对各式进行因式分解，具体步骤如下：
(1) $36-x^{2}=6^2 - x^2=(6 + x)(6 - x)$；
(2) $a^{2}-\frac{1}{16}b^{2}=a^2 - (\frac{1}{4}b)^2=(a + \frac{1}{4}b)(a - \frac{1}{4}b)$；
(3) $-\frac{1}{9}+y^{2}=y^2 - (\frac{1}{3})^2=(y + \frac{1}{3})(y - \frac{1}{3})$；
(4) $(y+1)^{2}-16=(y+1)^2 - 4^2=[(y+1)+4][(y+1)-4]=(y + 5)(y - 3)$；
(5) $(x+y)^{2}-(a+b)^{2}=[(x+y)+(a+b)][(x+y)-(a+b)]=(x + y + a + b)(x + y - a - b)$；
(6) $25(a+b)^{2}-4(a-b)^{2}=[5(a+b)]^2 - [2(a-b)]^2=[5(a+b)+2(a-b)][5(a+b)-2(a-b)]=(5a+5b+2a-2b)(5a+5b-2a+2b)=(7a + 3b)(3a + 7b)$。
【答案】
(1) $(6 + x)(6 - x)$；
(2) $(a + \frac{1}{4}b)(a - \frac{1}{4}b)$；
(3) $(y + \frac{1}{3})(y - \frac{1}{3})$；
(4) $(y + 5)(y - 3)$；
(5) $(x + y + a + b)(x + y - a - b)$；
(6) $(7a + 3b)(3a + 7b)$
【知识点】
平方差公式分解因式
【点评】
本题主要考查利用平方差公式进行因式分解，关键是要准确识别出式子中的平方项，将其转化为$a^2 - b^2$的形式，再套用公式分解，注意分解后要化简括号内的式子，确保结果最简。
【难度系数】
0.7
本题可利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$对各式进行因式分解，具体步骤如下：
(1) $36-x^{2}=6^2 - x^2=(6 + x)(6 - x)$；
(2) $a^{2}-\frac{1}{16}b^{2}=a^2 - (\frac{1}{4}b)^2=(a + \frac{1}{4}b)(a - \frac{1}{4}b)$；
(3) $-\frac{1}{9}+y^{2}=y^2 - (\frac{1}{3})^2=(y + \frac{1}{3})(y - \frac{1}{3})$；
(4) $(y+1)^{2}-16=(y+1)^2 - 4^2=[(y+1)+4][(y+1)-4]=(y + 5)(y - 3)$；
(5) $(x+y)^{2}-(a+b)^{2}=[(x+y)+(a+b)][(x+y)-(a+b)]=(x + y + a + b)(x + y - a - b)$；
(6) $25(a+b)^{2}-4(a-b)^{2}=[5(a+b)]^2 - [2(a-b)]^2=[5(a+b)+2(a-b)][5(a+b)-2(a-b)]=(5a+5b+2a-2b)(5a+5b-2a+2b)=(7a + 3b)(3a + 7b)$。
【答案】
(1) $(6 + x)(6 - x)$；
(2) $(a + \frac{1}{4}b)(a - \frac{1}{4}b)$；
(3) $(y + \frac{1}{3})(y - \frac{1}{3})$；
(4) $(y + 5)(y - 3)$；
(5) $(x + y + a + b)(x + y - a - b)$；
(6) $(7a + 3b)(3a + 7b)$
【知识点】
平方差公式分解因式
【点评】
本题主要考查利用平方差公式进行因式分解，关键是要准确识别出式子中的平方项，将其转化为$a^2 - b^2$的形式，再套用公式分解，注意分解后要化简括号内的式子，确保结果最简。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在一个边长为$ a $ cm的正方形木板上，锯掉四个边长为$ b $ cm的小正方形。当$ a=18 $，$ b=6 $时，求剩余部分的面积。
答案
4. 180
解析
【解析】
剩余部分的面积等于大正方形的面积减去4个小正方形的面积，据此列出表达式：
$S = a^2 - 4b^2$
将$a=18$，$b=6$代入上式：
$S = 18^2 - 4×6^2 = 324 - 144 = 180$（$\mathrm{cm}^2$）
【答案】
180
【知识点】
正方形面积公式，代数式求值
【点评】
本题考查正方形面积公式的应用与代数式求值，需掌握面积计算方法及有理数混合运算规则，代入数值时注意运算顺序。
【难度系数】
0.9
剩余部分的面积等于大正方形的面积减去4个小正方形的面积，据此列出表达式：
$S = a^2 - 4b^2$
将$a=18$，$b=6$代入上式：
$S = 18^2 - 4×6^2 = 324 - 144 = 180$（$\mathrm{cm}^2$）
【答案】
180
【知识点】
正方形面积公式，代数式求值
【点评】
本题考查正方形面积公式的应用与代数式求值，需掌握面积计算方法及有理数混合运算规则，代入数值时注意运算顺序。
【难度系数】
0.9
1. 已知$ x^{2}-y^{2}=1 $，$ x+y=\frac{1}{2} $，求$ x-y $的值。
答案
1. 2
解析
【解析】
根据平方差公式$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，将$x^2 - y^2=1$，$x+y=\frac{1}{2}$代入公式可得：
$1=\frac{1}{2}(x-y)$
两边同时乘以2，解得：
$x-y=2$
【答案】
2
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题考查平方差公式的直接应用，属于基础题型，熟练掌握平方差公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
根据平方差公式$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，将$x^2 - y^2=1$，$x+y=\frac{1}{2}$代入公式可得：
$1=\frac{1}{2}(x-y)$
两边同时乘以2，解得：
$x-y=2$
【答案】
2
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题考查平方差公式的直接应用，属于基础题型，熟练掌握平方差公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 已知$ k $为正整数，试判断$ (2k+1)^{2}-1 $能否被8整除，并说明理由。
答案
2. 能，理由如下：因为 $ (2k + 1)^{2}-1=(2k + 1 + 1)(2k + 1 - 1)=2k(2k + 2)=4k(k + 1) $，又因为 $ k $ 为正整数，所以 $ k $ 和 $ k + 1 $ 为一个奇数、一个偶数，所以 $ 4k(k + 1) $ 为 8 的倍数，故 $ (2k + 1)^{2}-1 $ 能被 8 整除
解析
【解析】
先利用平方差公式对原式因式分解：
$(2k + 1)^{2}-1=(2k + 1 + 1)(2k + 1 - 1)=2k(2k + 2)=4k(k + 1)$，
因为$k$为正整数，$k$和$k + 1$是连续正整数，必有一个为偶数，即$k(k+1)$能被2整除，
因此$4k(k + 1)$能被$4×2=8$整除，故$(2k + 1)^{2}-1$能被8整除。
【答案】
能被8整除
【知识点】
平方差公式应用、整数奇偶性分析
【点评】
本题考查平方差公式的运用与整数奇偶性的判断，通过因式分解将原式变形，结合连续整数的奇偶特征可判断整除性，需熟练掌握因式分解方法与数的基本性质。
【难度系数】
0.6
先利用平方差公式对原式因式分解：
$(2k + 1)^{2}-1=(2k + 1 + 1)(2k + 1 - 1)=2k(2k + 2)=4k(k + 1)$，
因为$k$为正整数，$k$和$k + 1$是连续正整数，必有一个为偶数，即$k(k+1)$能被2整除，
因此$4k(k + 1)$能被$4×2=8$整除，故$(2k + 1)^{2}-1$能被8整除。
【答案】
能被8整除
【知识点】
平方差公式应用、整数奇偶性分析
【点评】
本题考查平方差公式的运用与整数奇偶性的判断，通过因式分解将原式变形，结合连续整数的奇偶特征可判断整除性，需熟练掌握因式分解方法与数的基本性质。
【难度系数】
0.6
