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1. 在$Rt△ ABC$中，若各边的长度都扩大$4$倍，则锐角$B$的各个三角函数值(
A.没有变化
B.都扩大$4$倍
C.都缩小$4$倍
D.不能确定
A
)A.没有变化
B.都扩大$4$倍
C.都缩小$4$倍
D.不能确定
答案
1. A
解析
【解析】
在$Rt△ABC$中，锐角$B$的三角函数值是其对边、邻边、斜边之间的比值。当各边长度都扩大4倍时，扩大后的三角形与原三角形相似，对应边的比值不变，因此锐角$B$的各个三角函数值没有变化。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义
【点评】
本题考查锐角三角函数的本质，明确三角函数值仅与锐角的大小有关，与三角形边的长度无关，避免受边的长度变化干扰。
【难度系数】
0.9
在$Rt△ABC$中，锐角$B$的三角函数值是其对边、邻边、斜边之间的比值。当各边长度都扩大4倍时，扩大后的三角形与原三角形相似，对应边的比值不变，因此锐角$B$的各个三角函数值没有变化。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义
【点评】
本题考查锐角三角函数的本质，明确三角函数值仅与锐角的大小有关，与三角形边的长度无关，避免受边的长度变化干扰。
【难度系数】
0.9
2. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AB = 13$，$BC = 12$，则$\sin B$的值为(
A.$\frac{5}{13}$
B.$\frac{5}{12}$
C.$\frac{12}{13}$
D.$\frac{13}{5}$
A
)A.$\frac{5}{13}$
B.$\frac{5}{12}$
C.$\frac{12}{13}$
D.$\frac{13}{5}$
答案
2. A
解析
【解析】
在$△ABC$中，$∠C=90°$，$AB=13$，$BC=12$，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$。
根据锐角三角函数的定义，$\sin B=\frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题考查直角三角形中勾股定理与锐角三角函数的综合应用，需准确掌握三角函数的定义及勾股定理的计算。
【难度系数】
0.8
在$△ABC$中，$∠C=90°$，$AB=13$，$BC=12$，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$。
根据锐角三角函数的定义，$\sin B=\frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题考查直角三角形中勾股定理与锐角三角函数的综合应用，需准确掌握三角函数的定义及勾股定理的计算。
【难度系数】
0.8
3. 在直角三角形中，一锐角的余弦值为$0.8$，周长是$24$，则斜边长为(
A.$15$
B.$14$
C.$12$
D.$10$
D
)A.$15$
B.$14$
C.$12$
D.$10$
答案
3. D
解析
【解析】
设该直角三角形中，余弦值为0.8的锐角的邻边为$4k$，斜边为$5k$（由$\cosα=0.8=\frac{4}{5}$，根据余弦定义：邻边与斜边的比值为余弦值）。
根据勾股定理，对边长为$\sqrt{(5k)^2-(4k)^2}=3k$。
已知三角形周长为24，则$3k+4k+5k=24$，
解得$k=2$，故斜边长为$5k=5×2=10$。
【答案】
D
【知识点】
锐角余弦的定义、勾股定理、一元一次方程应用
【点评】
本题结合锐角三角函数定义与勾股定理，通过设参数表示三角形三边，利用周长建立方程求解，考查了方程思想在几何计算中的应用，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
设该直角三角形中，余弦值为0.8的锐角的邻边为$4k$，斜边为$5k$（由$\cosα=0.8=\frac{4}{5}$，根据余弦定义：邻边与斜边的比值为余弦值）。
根据勾股定理，对边长为$\sqrt{(5k)^2-(4k)^2}=3k$。
已知三角形周长为24，则$3k+4k+5k=24$，
解得$k=2$，故斜边长为$5k=5×2=10$。
【答案】
D
【知识点】
锐角余弦的定义、勾股定理、一元一次方程应用
【点评】
本题结合锐角三角函数定义与勾股定理，通过设参数表示三角形三边，利用周长建立方程求解，考查了方程思想在几何计算中的应用，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
4. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$BC:AC = 1:2$，则$\sin A=$
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
，$\cos A=$$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
，$\tan B=$2
.答案
4. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ 2
解析
【解析】
设$BC = x$，因为$BC:AC = 1:2$，所以$AC = 2x$。
在$Rt△ABC$中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{x^2 + (2x)^2} = \sqrt{5}x$。
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{x}{\sqrt{5}x} = \frac{\sqrt{5}}{5}$；
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2x}{\sqrt{5}x} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$；
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{2x}{x} = 2$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$；$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$；2
【知识点】
锐角三角函数定义；勾股定理
【点评】
本题考查直角三角形中锐角三角函数的定义及勾股定理的应用，需熟练掌握三角函数的边角对应关系，注意结果分母有理化。
【难度系数】
0.8
设$BC = x$，因为$BC:AC = 1:2$，所以$AC = 2x$。
在$Rt△ABC$中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{x^2 + (2x)^2} = \sqrt{5}x$。
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{x}{\sqrt{5}x} = \frac{\sqrt{5}}{5}$；
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2x}{\sqrt{5}x} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$；
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{2x}{x} = 2$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$；$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$；2
【知识点】
锐角三角函数定义；勾股定理
【点评】
本题考查直角三角形中锐角三角函数的定义及勾股定理的应用，需熟练掌握三角函数的边角对应关系，注意结果分母有理化。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在$Rt△ AB_{3}C_{3}$中，$B_{2}$，$B_{1}$是斜边$AB_{3}$上的任意两点，$B_{1}C_{1}⊥ AC_{3}$，$B_{2}C_{2}⊥ AC_{3}$，则$△ AB_{1}C_{1}\_\_\_\_\_△ AB_{2}C_{2}\_\_\_\_\_△ AB_{3}C_{3}$（填“$∽$”或“$≌$”）；$\frac{B_{1}C_{1}}{AB_{1}}\_\_\_\_\_\frac{B_{2}C_{2}}{AB_{2}}\_\_\_\_\_\frac{B_{3}C_{3}}{AB_{3}}$（填“$=$”或“$≠$”）.
答案
5. ∽ ∽ = =
解析
【解析】
因为$B_{1}C_{1}⊥AC_{3}$，$B_{2}C_{2}⊥AC_{3}$，$B_{3}C_{3}⊥AC_{3}$，所以$∠ AC_{1}B_{1}=∠ AC_{2}B_{2}=∠ AC_{3}B_{3}=90°$，又因为$∠ A$是公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ AB_{1}C_{1} ∽ △ AB_{2}C_{2} ∽ △ AB_{3}C_{3}$。
由相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等，且$\frac{B_{1}C_{1}}{AB_{1}}=\sin A$，$\frac{B_{2}C_{2}}{AB_{2}}=\sin A$，$\frac{B_{3}C_{3}}{AB_{3}}=\sin A$，所以$\frac{B_{1}C_{1}}{AB_{1}}=\frac{B_{2}C_{2}}{AB_{2}}=\frac{B_{3}C_{3}}{AB_{3}}$。
【答案】
∽ ∽ = =
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，也可结合锐角三角函数的定义理解比值相等的关系，需熟练掌握相似三角形的判定定理和性质。
【难度系数】
0.7
因为$B_{1}C_{1}⊥AC_{3}$，$B_{2}C_{2}⊥AC_{3}$，$B_{3}C_{3}⊥AC_{3}$，所以$∠ AC_{1}B_{1}=∠ AC_{2}B_{2}=∠ AC_{3}B_{3}=90°$，又因为$∠ A$是公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ AB_{1}C_{1} ∽ △ AB_{2}C_{2} ∽ △ AB_{3}C_{3}$。
由相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等，且$\frac{B_{1}C_{1}}{AB_{1}}=\sin A$，$\frac{B_{2}C_{2}}{AB_{2}}=\sin A$，$\frac{B_{3}C_{3}}{AB_{3}}=\sin A$，所以$\frac{B_{1}C_{1}}{AB_{1}}=\frac{B_{2}C_{2}}{AB_{2}}=\frac{B_{3}C_{3}}{AB_{3}}$。
【答案】
∽ ∽ = =
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，也可结合锐角三角函数的定义理解比值相等的关系，需熟练掌握相似三角形的判定定理和性质。
【难度系数】
0.7
