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11. 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点.
（1）四边形ADEF是怎样的四边形？证明你的结论.
（2）请添加一个与△ABC相关的条件，使得四边形ADEF是矩形，证明你的结论.
（1）四边形ADEF是怎样的四边形？证明你的结论.
（2）请添加一个与△ABC相关的条件，使得四边形ADEF是矩形，证明你的结论.
答案
11.（1）四边形ADEF为平行四边形，理由如下：
∵D，E，F分别是△ABC各边的中点，
∴DE//AC，EF//AB，
∴四边形ADEF是平行四边形 （2）∠DAF=90°，四边形ADEF为矩形，理由如下：由（1）得四边形ADEF为平行四边形，
∵∠DAF=90°，
∴□ADEF是矩形
∵D，E，F分别是△ABC各边的中点，
∴DE//AC，EF//AB，
∴四边形ADEF是平行四边形 （2）∠DAF=90°，四边形ADEF为矩形，理由如下：由（1）得四边形ADEF为平行四边形，
∵∠DAF=90°，
∴□ADEF是矩形
解析
【分析】
（1）要判断四边形ADEF的形状，已知D、E、F是△ABC各边中点，可利用三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边。由此可得DE平行于AC，EF平行于AB，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，即可判定四边形ADEF的形状。
（2）要使平行四边形ADEF成为矩形，根据矩形的判定定理“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，只需让平行四边形ADEF的一个内角为直角即可，结合△ABC的条件，添加∠BAC=90°（或AB⊥AC等），结合（1）的结论即可证明。
【解析】
（1）四边形ADEF是平行四边形，证明如下：
∵D，E，F分别是△ABC各边的中点，
根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，
∴DE//AC，EF//AB，
即DE//AF，EF//AD，
根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，
∴四边形ADEF是平行四边形。
（2）添加条件：∠BAC=90°（答案不唯一），证明如下：
由（1）可知四边形ADEF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，即∠DAF=90°，
根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，
∴平行四边形ADEF是矩形。
【答案】
（1）四边形ADEF是平行四边形，证明见解析；
（2）添加条件∠BAC=90°（答案不唯一），四边形ADEF是矩形，证明见解析。
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定
【点评】
本题考查三角形中位线定理与特殊四边形的判定，需要熟练掌握中位线的性质，以及平行四边形、矩形的判定定理，通过已知条件逐步推导，灵活运用判定定理完成证明。
【难度系数】
0.6
（1）要判断四边形ADEF的形状，已知D、E、F是△ABC各边中点，可利用三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边。由此可得DE平行于AC，EF平行于AB，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，即可判定四边形ADEF的形状。
（2）要使平行四边形ADEF成为矩形，根据矩形的判定定理“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，只需让平行四边形ADEF的一个内角为直角即可，结合△ABC的条件，添加∠BAC=90°（或AB⊥AC等），结合（1）的结论即可证明。
【解析】
（1）四边形ADEF是平行四边形，证明如下：
∵D，E，F分别是△ABC各边的中点，
根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，
∴DE//AC，EF//AB，
即DE//AF，EF//AD，
根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，
∴四边形ADEF是平行四边形。
（2）添加条件：∠BAC=90°（答案不唯一），证明如下：
由（1）可知四边形ADEF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，即∠DAF=90°，
根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，
∴平行四边形ADEF是矩形。
【答案】
（1）四边形ADEF是平行四边形，证明见解析；
（2）添加条件∠BAC=90°（答案不唯一），四边形ADEF是矩形，证明见解析。
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定
【点评】
本题考查三角形中位线定理与特殊四边形的判定，需要熟练掌握中位线的性质，以及平行四边形、矩形的判定定理，通过已知条件逐步推导，灵活运用判定定理完成证明。
【难度系数】
0.6
12. 如图，在▱ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且F为DC的中点，DG⊥AE，垂足为G. 若DG=1，求AE的长.
答案
12.
∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE．在□ABCD中，
∵DC//AB，
∴∠BAE=∠DFA．
∴∠DAE=∠DFA．
∴AD=FD．
∵F为DC的中点，
∴DF=CF．在□ABCD中，AB=4，
∴AD=DF=CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=2．在Rt△ADG中，AG=$\sqrt{AD^{2}-DG^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$．
∵AD=DF，DG⊥AE，
∴AF=2AG=2$\sqrt{3}$．
∵AD//BE，
∴∠DAF=∠AEB．在△ADF和△ECF中，$\{ \begin{array}{l}{∠DAF=∠E,} \\ {∠AFD=∠EFC,} \\ {DF=CF,} \end{array} $
∴△ADF≌△ECF（AAS）．
∴AF=EF．则AE=2AF=4$\sqrt{3}$
∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE．在□ABCD中，
∵DC//AB，
∴∠BAE=∠DFA．
∴∠DAE=∠DFA．
∴AD=FD．
∵F为DC的中点，
∴DF=CF．在□ABCD中，AB=4，
∴AD=DF=CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=2．在Rt△ADG中，AG=$\sqrt{AD^{2}-DG^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$．
∵AD=DF，DG⊥AE，
∴AF=2AG=2$\sqrt{3}$．
∵AD//BE，
∴∠DAF=∠AEB．在△ADF和△ECF中，$\{ \begin{array}{l}{∠DAF=∠E,} \\ {∠AFD=∠EFC,} \\ {DF=CF,} \end{array} $
∴△ADF≌△ECF（AAS）．
∴AF=EF．则AE=2AF=4$\sqrt{3}$
解析
【分析】
要解决求AE长的问题，可按以下思路推导：
1. 利用角平分线和平行四边形对边平行的性质，推出等角对等边，得到AD=FD；
2. 结合F是DC中点以及平行四边形对边相等的性质，求出AD的长度；
3. 在Rt△ADG中，通过勾股定理算出AG的长，再根据等腰三角形三线合一得到AF的长度；
4. 证明△ADF和△ECF全等，得到AF=EF，进而求出AE的长度。
【解析】
∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE．
在▱ABCD中，DC//AB，
∴∠BAE=∠DFA．
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD．
∵F为DC的中点，AB=4，且在▱ABCD中DC=AB=4，
∴DF=CF=$\frac{1}{2}$DC=2，
∴AD=DF=2．
在Rt△ADG中，由勾股定理得：
AG=$\sqrt{AD^{2}-DG^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$．
∵AD=DF，DG⊥AE，
∴AF=2AG=2$\sqrt{3}$（等腰三角形三线合一）．
在▱ABCD中，AD//BE，
∴∠DAF=∠AEB．
在△ADF和△ECF中，
$\{\begin{array}{l}∠DAF=∠E\\∠AFD=∠EFC\\DF=CF\end{array} $
∴△ADF≌△ECF（AAS）．
∴AF=EF，
∴AE=2AF=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．
【答案】
$\boldsymbol{4\sqrt{3}}$
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了平行四边形、等腰三角形以及全等三角形的相关性质，需要灵活运用各图形的性质推导线段间的数量关系，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要解决求AE长的问题，可按以下思路推导：
1. 利用角平分线和平行四边形对边平行的性质，推出等角对等边，得到AD=FD；
2. 结合F是DC中点以及平行四边形对边相等的性质，求出AD的长度；
3. 在Rt△ADG中，通过勾股定理算出AG的长，再根据等腰三角形三线合一得到AF的长度；
4. 证明△ADF和△ECF全等，得到AF=EF，进而求出AE的长度。
【解析】
∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE．
在▱ABCD中，DC//AB，
∴∠BAE=∠DFA．
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD．
∵F为DC的中点，AB=4，且在▱ABCD中DC=AB=4，
∴DF=CF=$\frac{1}{2}$DC=2，
∴AD=DF=2．
在Rt△ADG中，由勾股定理得：
AG=$\sqrt{AD^{2}-DG^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$．
∵AD=DF，DG⊥AE，
∴AF=2AG=2$\sqrt{3}$（等腰三角形三线合一）．
在▱ABCD中，AD//BE，
∴∠DAF=∠AEB．
在△ADF和△ECF中，
$\{\begin{array}{l}∠DAF=∠E\\∠AFD=∠EFC\\DF=CF\end{array} $
∴△ADF≌△ECF（AAS）．
∴AF=EF，
∴AE=2AF=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．
【答案】
$\boldsymbol{4\sqrt{3}}$
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了平行四边形、等腰三角形以及全等三角形的相关性质，需要灵活运用各图形的性质推导线段间的数量关系，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
13. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=2. 将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合.
（1）求FG的长；
（2）求图中阴影部分的面积.
（1）求FG的长；
（2）求图中阴影部分的面积.
答案
13.（1）$\frac{3}{2}$ （2）$\frac{11}{2}$
解析
【分析】
（1）首先利用矩形的性质和折叠的性质，可知折叠后AE=EC，设AE=EC=x，在Rt△EBC中通过勾股定理求出AE的长度，进而得到EB的长度；再结合矩形对边平行的性质，推出FD的长度，由折叠的对应边相等可知FG=FD，从而求出FG的长。
（2）阴影部分面积可拆分为△FGC和△FEC的面积之和，其中△FGC与△DFC全等，面积相等；△FEC的面积可通过矩形面积减去△AEF和△DFC的面积得到，最后将两部分面积相加即可得到阴影部分总面积。
【解析】
（1）在矩形$ABCD$中，$AB=4$，$AD=2$，所以$BC=AD=2$，$∠ B=90°$。
因为折叠后点$A$与点$C$重合，所以$AE=EC$，设$AE=EC=x$，则$EB=AB - AE=4 - x$。
在$\mathrm{Rt}△ EBC$中，根据勾股定理：$EB^2 + BC^2 = EC^2$，
代入得：$(4 - x)^2 + 2^2 = x^2$，
展开并化简：$16 - 8x + x^2 + 4 = x^2$，
$20 - 8x = 0$，解得$x=\frac{5}{2}$。
所以$EB=4 - \frac{5}{2}=\frac{3}{2}$。
因为$AB// CD$，所以$∠ AEF=∠ CFE$，由折叠性质知$∠ AEF=∠ GEF$，且$FC=AE=\frac{5}{2}$。
又$CD=AB=4$，所以$FD=CD - FC=4 - \frac{5}{2}=\frac{3}{2}$。
由折叠的对应边相等得$FG=FD=\frac{3}{2}$。
（2）矩形$ABCD$的面积为：$AB× AD=4×2=8$。
$△ AEF$的面积：$\frac{1}{2}× AE× AD=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×2=\frac{5}{2}$，
$△ DFC$的面积：$\frac{1}{2}× FD× AD=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×2=\frac{3}{2}$。
由折叠性质知$△ FGC≌△ DFC$，所以$S_{△ FGC}=S_{△ DFC}=\frac{3}{2}$。
$△ FEC$的面积：$S_{矩形ABCD}-S_{△ AEF}-S_{△ DFC}=8 - \frac{5}{2} - \frac{3}{2}=4$。
因此阴影部分的面积：$S_{△ FGC}+S_{△ FEC}=\frac{3}{2}+4=\frac{3}{2}+\frac{8}{2}=\frac{11}{2}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$；（2）$\boldsymbol{\frac{11}{2}}$
【知识点】
矩形的性质、折叠的性质、勾股定理
【点评】
本题是矩形折叠的综合题，核心是利用折叠的对称性得到相等的线段与角，结合勾股定理求解线段长度，再通过面积的转化思想计算阴影部分面积，需要熟练掌握矩形性质与勾股定理的综合应用，培养几何图形的转化思维。
【难度系数】
0.6
（1）首先利用矩形的性质和折叠的性质，可知折叠后AE=EC，设AE=EC=x，在Rt△EBC中通过勾股定理求出AE的长度，进而得到EB的长度；再结合矩形对边平行的性质，推出FD的长度，由折叠的对应边相等可知FG=FD，从而求出FG的长。
（2）阴影部分面积可拆分为△FGC和△FEC的面积之和，其中△FGC与△DFC全等，面积相等；△FEC的面积可通过矩形面积减去△AEF和△DFC的面积得到，最后将两部分面积相加即可得到阴影部分总面积。
【解析】
（1）在矩形$ABCD$中，$AB=4$，$AD=2$，所以$BC=AD=2$，$∠ B=90°$。
因为折叠后点$A$与点$C$重合，所以$AE=EC$，设$AE=EC=x$，则$EB=AB - AE=4 - x$。
在$\mathrm{Rt}△ EBC$中，根据勾股定理：$EB^2 + BC^2 = EC^2$，
代入得：$(4 - x)^2 + 2^2 = x^2$，
展开并化简：$16 - 8x + x^2 + 4 = x^2$，
$20 - 8x = 0$，解得$x=\frac{5}{2}$。
所以$EB=4 - \frac{5}{2}=\frac{3}{2}$。
因为$AB// CD$，所以$∠ AEF=∠ CFE$，由折叠性质知$∠ AEF=∠ GEF$，且$FC=AE=\frac{5}{2}$。
又$CD=AB=4$，所以$FD=CD - FC=4 - \frac{5}{2}=\frac{3}{2}$。
由折叠的对应边相等得$FG=FD=\frac{3}{2}$。
（2）矩形$ABCD$的面积为：$AB× AD=4×2=8$。
$△ AEF$的面积：$\frac{1}{2}× AE× AD=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×2=\frac{5}{2}$，
$△ DFC$的面积：$\frac{1}{2}× FD× AD=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×2=\frac{3}{2}$。
由折叠性质知$△ FGC≌△ DFC$，所以$S_{△ FGC}=S_{△ DFC}=\frac{3}{2}$。
$△ FEC$的面积：$S_{矩形ABCD}-S_{△ AEF}-S_{△ DFC}=8 - \frac{5}{2} - \frac{3}{2}=4$。
因此阴影部分的面积：$S_{△ FGC}+S_{△ FEC}=\frac{3}{2}+4=\frac{3}{2}+\frac{8}{2}=\frac{11}{2}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$；（2）$\boldsymbol{\frac{11}{2}}$
【知识点】
矩形的性质、折叠的性质、勾股定理
【点评】
本题是矩形折叠的综合题，核心是利用折叠的对称性得到相等的线段与角，结合勾股定理求解线段长度，再通过面积的转化思想计算阴影部分面积，需要熟练掌握矩形性质与勾股定理的综合应用，培养几何图形的转化思维。
【难度系数】
0.6
