7. 如图，△ABC和△AGH都是等边三角形，点G在△ABC的高AD上，且AG∶GD=2∶1，则△AGH与△ABC的相似比是().

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

D

【解析】
设$GD = x$，由$AG:GD=2:1$，得$AG=2x$。
因为$AD$是等边$△ ABC$的高，所以$AD=AG+GD=3x$。
设$△ ABC$的边长为$a$，根据等边三角形的高与边长的关系：$AD=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，则$a=\frac{2AD}{\sqrt{3}}=\frac{2×3x}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}x$。
因为$△ AGH$是等边三角形，其边长为$AG=2x$，且等边三角形均相似，所以$△ AGH$与$△ ABC$的相似比为$\frac{AG}{a}=\frac{2x}{2\sqrt{3}x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{D}$
【知识点】
1. 等边三角形性质
2. 相似三角形相似比
【点评】
本题考查等边三角形的性质及相似三角形相似比的计算，关键是利用等边三角形高与边长的关系求出对应边长，进而推导得到相似比。

8. 如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′.求∠α、∠β的大小和A′D′的长.

解：
∵四边形​ABCD∽​四边形​A'B'C'D'​
∴​∠α=83°，​​∠β=360°-78°-83°-118°=81°，$​​\frac {A'D'}{A'B'}=\frac {AD}{AB}​$
又
∵​AD=21，​​AB=18，​​A'B'=24，​
∴​A'D'=28​

【解析】
∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′
∴∠α=∠C=83°，∠A=∠A′=118°
根据四边形内角和为360°，可得：
∠β=360°-78°-83°-118°=81°
由相似多边形对应边成比例，得$\frac{A'D'}{A'B'}=\frac{AD}{AB}$
又
∵AD=21，AB=18，A′B′=24
∴$A'D'=\frac{AD× A'B'}{AB}=\frac{21×24}{18}=28$
【答案】
∠α=83°，∠β=81°，A′D′的长为28
【知识点】
相似多边形的性质、四边形内角和定理
【点评】
本题利用相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质，结合四边形内角和定理求解，需准确识别对应角与对应边，避免对应关系出错。

9. 在如图所示的△ABC外任取一点P，连接PA、PB、PC，分别取PA、PB、PC的中点A′、B′、C′，连接A′B′、B′C′、C′A′.△A′B′C′与△ABC相似吗？为什么？

解：相似
∵​A'B'​是​△ABP​的中位线
∴$​A'B'=\frac 12AB​$
同理$​B'C'=\frac 12BC$，$​​A'C'=\frac 12AC​$
则有$​\frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}=\frac {AC}{A'C'}=2​$
∴​△ABC​与​△A'B'C'​相似

【解析】
△A′B′C′与△ABC相似，理由如下：
∵A′、B′分别是PA、PB的中点，
∴A'B'是△ABP的中位线，
根据三角形中位线定理，得$A'B'=\frac{1}{2}AB$，
同理可得$B'C'=\frac{1}{2}BC$，$A'C'=\frac{1}{2}AC$，
因此$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=2$，
根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△A'B'C'。
【答案】
相似，理由见上述解析。
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定（三边对应成比例）
【点评】
本题主要考查三角形中位线定理与相似三角形判定定理的综合应用，解题关键是熟练掌握中位线的性质及相似三角形的判定方法，注意线段比例的对应关系。