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9. 分式$\frac{3a}{a^{2}-b^{2}}$的分母经过通分后变成$2(a - b)^{2}(a + b)$，那么分子应变为(
A.$6a(a - b)^{2}(a + b)$
B.$2(a - b)$
C.$6a(a - b)$
D.$6a(a + b)$
C
)A.$6a(a - b)^{2}(a + b)$
B.$2(a - b)$
C.$6a(a - b)$
D.$6a(a + b)$
答案
9. C
解析
【分析】
要解决这道题，需依据分式通分的核心——分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。首先对原分式的分母进行因式分解，原分母$a^2 - b^2$可利用平方差公式分解为$(a - b)(a + b)$。接下来对比原分母和通分后的分母$2(a - b)^2(a + b)$，找出分母的变化倍数：原分母乘以$2(a - b)$得到通分后的分母。根据分式基本性质，分子也需要乘以相同的整式$2(a - b)$，即可得到通分后的分子。
【解析】
1. 对原分式分母因式分解：
$a^2 - b^2=(a - b)(a + b)$
2. 确定分母的变形倍数：
通分后的分母为$2(a - b)^2(a + b)$，原分母为$(a - b)(a + b)$，则分母乘的整式为：
$\frac{2(a - b)^2(a + b)}{(a - b)(a + b)}=2(a - b)$
3. 根据分式基本性质计算分子：
原分子为$3a$，则通分后的分子为$3a×2(a - b)=6a(a - b)$
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质、平方差公式因式分解
【点评】
本题主要考查分式通分的应用，核心是理解并运用分式的基本性质。解题关键在于先对分母进行因式分解，明确分母的变形情况，进而推出分子的变化，属于分式基础题型，有助于巩固分式通分的基本方法。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需依据分式通分的核心——分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。首先对原分式的分母进行因式分解，原分母$a^2 - b^2$可利用平方差公式分解为$(a - b)(a + b)$。接下来对比原分母和通分后的分母$2(a - b)^2(a + b)$，找出分母的变化倍数：原分母乘以$2(a - b)$得到通分后的分母。根据分式基本性质，分子也需要乘以相同的整式$2(a - b)$，即可得到通分后的分子。
【解析】
1. 对原分式分母因式分解：
$a^2 - b^2=(a - b)(a + b)$
2. 确定分母的变形倍数：
通分后的分母为$2(a - b)^2(a + b)$，原分母为$(a - b)(a + b)$，则分母乘的整式为：
$\frac{2(a - b)^2(a + b)}{(a - b)(a + b)}=2(a - b)$
3. 根据分式基本性质计算分子：
原分子为$3a$，则通分后的分子为$3a×2(a - b)=6a(a - b)$
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质、平方差公式因式分解
【点评】
本题主要考查分式通分的应用，核心是理解并运用分式的基本性质。解题关键在于先对分母进行因式分解，明确分母的变形情况，进而推出分子的变化，属于分式基础题型，有助于巩固分式通分的基本方法。
【难度系数】
0.8
10. 通分：
（1）$\frac{1}{x^{2}+x}$，$\frac{-1}{x^{2}+2x + 1}$；
（2）$\frac{a - 1}{(a - 1)^{2}-4}$，$\frac{1 - a}{2 - 4a + 2a^{2}}$.
（3）$a - b$，$\frac{b}{a - b}$，$\frac{1}{a^{2}-b^{2}}$；
（4）$\frac{1}{(a - b)(b - c)}$，$\frac{1}{(b - c)(c - a)}$，$\frac{1}{(c - a)(a - b)}$.
（1）$\frac{1}{x^{2}+x}$，$\frac{-1}{x^{2}+2x + 1}$；
（2）$\frac{a - 1}{(a - 1)^{2}-4}$，$\frac{1 - a}{2 - 4a + 2a^{2}}$.
（3）$a - b$，$\frac{b}{a - b}$，$\frac{1}{a^{2}-b^{2}}$；
（4）$\frac{1}{(a - b)(b - c)}$，$\frac{1}{(b - c)(c - a)}$，$\frac{1}{(c - a)(a - b)}$.
答案
10. （1）$ \frac{x + 1}{x(x + 1)^{2}} $；$ \frac{-x}{x(x + 1)^{2}} $ （2）$ \frac{2(a - 1)^{2}}{2(a - 1)(a + 1)(a - 3)} $；$ \frac{-(a + 1)(a - 3)}{2(a - 1)(a + 1)(a - 3)} $ （3）$ \frac{(a - b)^{2}(a + b)}{(a + b)(a - b)} $，$ \frac{b(a + b)}{(a + b)(a - b)} $，$ \frac{1}{(a + b)(a - b)} $ （4）$ \frac{c - a}{(a - b)(b - c)(c - a)} $，$ \frac{a - b}{(a - b)(b - c)(c - a)} $，$ \frac{b - c}{(a - b)(b - c)(c - a)} $
解析
【分析】
通分的核心是确定最简公分母，解题思路如下：
1. 先对每个分式的分母进行因式分解，明确分母的组成因式；
2. 取各分母所有因式的最高次幂的乘积作为最简公分母；
3. 根据分式的基本性质，给每个分式的分子、分母同乘最简公分母与该分式分母的商，将各分式化为分母相同的分式。
针对每一小题：
（1）先分解两个分母：$x^2+x=x(x+1)$，$x^2+2x+1=(x+1)^2$，最简公分母是$x(x+1)^2$，再分别给两个分式分子分母乘相应因式；
（2）分解分母：$(a-1)^2-4=(a-3)(a+1)$，$2-4a+2a^2=2(a-1)^2$，最简公分母取$2(a-1)(a+1)(a-3)$，给两个分式分子分母乘对应因式；
（3）将整式$a-b$写成分式形式$\frac{a-b}{1}$，分解$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，最简公分母是$(a+b)(a-b)$，再分别转化；
（4）观察三个分母，最简公分母是$(a-b)(b-c)(c-a)$，给每个分式分子分母乘对应缺失的因式即可。
【解析】
（1）
对分母因式分解：
$x^2+x=x(x+1)$，$x^2+2x+1=(x+1)^2$，
最简公分母为$x(x+1)^2$，
$\frac{1}{x^2+x}=\frac{1×(x+1)}{x(x+1)×(x+1)}=\frac{x+1}{x(x+1)^2}$，
$\frac{-1}{x^2+2x+1}=\frac{-1× x}{(x+1)^2× x}=\frac{-x}{x(x+1)^2}$；
（2）
对分母因式分解：
$(a-1)^2-4=(a-1-2)(a-1+2)=(a-3)(a+1)$，
$2-4a+2a^2=2(a^2-2a+1)=2(a-1)^2$，
最简公分母为$2(a-1)(a+1)(a-3)$，
$\frac{a-1}{(a-1)^2-4}=\frac{(a-1)×2(a-1)}{(a-3)(a+1)×2(a-1)}=\frac{2(a-1)^2}{2(a-1)(a+1)(a-3)}$，
$\frac{1-a}{2-4a+2a^2}=\frac{-(a-1)×(a+1)(a-3)}{2(a-1)^2×(a+1)(a-3)}=\frac{-(a+1)(a-3)}{2(a-1)(a+1)(a-3)}$；
（3）
将整式$a-b$化为$\frac{a-b}{1}$，对$a^2-b^2$因式分解得$(a+b)(a-b)$，
最简公分母为$(a+b)(a-b)$，
$a-b=\frac{(a-b)×(a+b)(a-b)}{1×(a+b)(a-b)}=\frac{(a-b)^2(a+b)}{(a+b)(a-b)}$，
$\frac{b}{a-b}=\frac{b×(a+b)}{(a-b)×(a+b)}=\frac{b(a+b)}{(a+b)(a-b)}$，
$\frac{1}{a^2-b^2}=\frac{1}{(a+b)(a-b)}$；
（4）
最简公分母为$(a-b)(b-c)(c-a)$，
$\frac{1}{(a-b)(b-c)}=\frac{1×(c-a)}{(a-b)(b-c)×(c-a)}=\frac{c-a}{(a-b)(b-c)(c-a)}$，
$\frac{1}{(b-c)(c-a)}=\frac{1×(a-b)}{(b-c)(c-a)×(a-b)}=\frac{a-b}{(a-b)(b-c)(c-a)}$，
$\frac{1}{(c-a)(a-b)}=\frac{1×(b-c)}{(c-a)(a-b)×(b-c)}=\frac{b-c}{(a-b)(b-c)(c-a)}$；
【答案】
（1）$\frac{x + 1}{x(x + 1)^{2}}$；$\frac{-x}{x(x + 1)^{2}}$
（2）$\frac{2(a - 1)^{2}}{2(a - 1)(a + 1)(a - 3)}$；$\frac{-(a + 1)(a - 3)}{2(a - 1)(a + 1)(a - 3)}$
（3）$\frac{(a - b)^{2}(a + b)}{(a + b)(a - b)}$，$\frac{b(a + b)}{(a + b)(a - b)}$，$\frac{1}{(a + b)(a - b)}$
（4）$\frac{c - a}{(a - b)(b - c)(c - a)}$，$\frac{a - b}{(a - b)(b - c)(c - a)}$，$\frac{b - c}{(a - b)(b - c)(c - a)}$
【知识点】
分式的通分，因式分解，最简公分母确定
【点评】
本题考查分式通分的基本方法，核心是通过因式分解确定最简公分母，再利用分式的基本性质将各分式化为同分母分式。需要注意整式化为分式的处理，以及符号的变化，避免出错。
【难度系数】
0.4
通分的核心是确定最简公分母，解题思路如下：
1. 先对每个分式的分母进行因式分解，明确分母的组成因式；
2. 取各分母所有因式的最高次幂的乘积作为最简公分母；
3. 根据分式的基本性质，给每个分式的分子、分母同乘最简公分母与该分式分母的商，将各分式化为分母相同的分式。
针对每一小题：
（1）先分解两个分母：$x^2+x=x(x+1)$，$x^2+2x+1=(x+1)^2$，最简公分母是$x(x+1)^2$，再分别给两个分式分子分母乘相应因式；
（2）分解分母：$(a-1)^2-4=(a-3)(a+1)$，$2-4a+2a^2=2(a-1)^2$，最简公分母取$2(a-1)(a+1)(a-3)$，给两个分式分子分母乘对应因式；
（3）将整式$a-b$写成分式形式$\frac{a-b}{1}$，分解$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，最简公分母是$(a+b)(a-b)$，再分别转化；
（4）观察三个分母，最简公分母是$(a-b)(b-c)(c-a)$，给每个分式分子分母乘对应缺失的因式即可。
【解析】
（1）
对分母因式分解：
$x^2+x=x(x+1)$，$x^2+2x+1=(x+1)^2$，
最简公分母为$x(x+1)^2$，
$\frac{1}{x^2+x}=\frac{1×(x+1)}{x(x+1)×(x+1)}=\frac{x+1}{x(x+1)^2}$，
$\frac{-1}{x^2+2x+1}=\frac{-1× x}{(x+1)^2× x}=\frac{-x}{x(x+1)^2}$；
（2）
对分母因式分解：
$(a-1)^2-4=(a-1-2)(a-1+2)=(a-3)(a+1)$，
$2-4a+2a^2=2(a^2-2a+1)=2(a-1)^2$，
最简公分母为$2(a-1)(a+1)(a-3)$，
$\frac{a-1}{(a-1)^2-4}=\frac{(a-1)×2(a-1)}{(a-3)(a+1)×2(a-1)}=\frac{2(a-1)^2}{2(a-1)(a+1)(a-3)}$，
$\frac{1-a}{2-4a+2a^2}=\frac{-(a-1)×(a+1)(a-3)}{2(a-1)^2×(a+1)(a-3)}=\frac{-(a+1)(a-3)}{2(a-1)(a+1)(a-3)}$；
（3）
将整式$a-b$化为$\frac{a-b}{1}$，对$a^2-b^2$因式分解得$(a+b)(a-b)$，
最简公分母为$(a+b)(a-b)$，
$a-b=\frac{(a-b)×(a+b)(a-b)}{1×(a+b)(a-b)}=\frac{(a-b)^2(a+b)}{(a+b)(a-b)}$，
$\frac{b}{a-b}=\frac{b×(a+b)}{(a-b)×(a+b)}=\frac{b(a+b)}{(a+b)(a-b)}$，
$\frac{1}{a^2-b^2}=\frac{1}{(a+b)(a-b)}$；
（4）
最简公分母为$(a-b)(b-c)(c-a)$，
$\frac{1}{(a-b)(b-c)}=\frac{1×(c-a)}{(a-b)(b-c)×(c-a)}=\frac{c-a}{(a-b)(b-c)(c-a)}$，
$\frac{1}{(b-c)(c-a)}=\frac{1×(a-b)}{(b-c)(c-a)×(a-b)}=\frac{a-b}{(a-b)(b-c)(c-a)}$，
$\frac{1}{(c-a)(a-b)}=\frac{1×(b-c)}{(c-a)(a-b)×(b-c)}=\frac{b-c}{(a-b)(b-c)(c-a)}$；
【答案】
（1）$\frac{x + 1}{x(x + 1)^{2}}$；$\frac{-x}{x(x + 1)^{2}}$
（2）$\frac{2(a - 1)^{2}}{2(a - 1)(a + 1)(a - 3)}$；$\frac{-(a + 1)(a - 3)}{2(a - 1)(a + 1)(a - 3)}$
（3）$\frac{(a - b)^{2}(a + b)}{(a + b)(a - b)}$，$\frac{b(a + b)}{(a + b)(a - b)}$，$\frac{1}{(a + b)(a - b)}$
（4）$\frac{c - a}{(a - b)(b - c)(c - a)}$，$\frac{a - b}{(a - b)(b - c)(c - a)}$，$\frac{b - c}{(a - b)(b - c)(c - a)}$
【知识点】
分式的通分，因式分解，最简公分母确定
【点评】
本题考查分式通分的基本方法，核心是通过因式分解确定最简公分母，再利用分式的基本性质将各分式化为同分母分式。需要注意整式化为分式的处理，以及符号的变化，避免出错。
【难度系数】
0.4
11. 下列通分是否合理？若不合理，请改正.
（1）$\frac{x}{3(y - 1)}$，$\frac{2}{6 - 6y}$；
（2）$\frac{1}{(x - 1)(x - 2)}$，$\frac{2}{x^{2}-2x + 1}$.
解：（1）$\frac{x}{3(y - 1)}=\frac{x(6 - 6y)}{3(y - 1)(6 - 6y)}=\frac{6x - 6xy}{18(y - 1)(1 - y)}$，
$\frac{2}{6 - 6y}=\frac{6(y - 1)}{18(1 - y)(y - 1)}=\frac{6y - 6}{18(1 - y)(y - 1)}$.
（2）$\frac{1}{(x - 1)(x - 2)}=\frac{x^{2}-2x + 1}{(x - 1)(x - 2)(x^{2}-2x + 1)}$，
$\frac{2}{x^{2}-2x + 1}=\frac{2(x - 1)(x - 2)}{(x^{2}-2x + 1)(x - 1)(x - 2)}$.
（1）$\frac{x}{3(y - 1)}$，$\frac{2}{6 - 6y}$；
（2）$\frac{1}{(x - 1)(x - 2)}$，$\frac{2}{x^{2}-2x + 1}$.
解：（1）$\frac{x}{3(y - 1)}=\frac{x(6 - 6y)}{3(y - 1)(6 - 6y)}=\frac{6x - 6xy}{18(y - 1)(1 - y)}$，
$\frac{2}{6 - 6y}=\frac{6(y - 1)}{18(1 - y)(y - 1)}=\frac{6y - 6}{18(1 - y)(y - 1)}$.
（2）$\frac{1}{(x - 1)(x - 2)}=\frac{x^{2}-2x + 1}{(x - 1)(x - 2)(x^{2}-2x + 1)}$，
$\frac{2}{x^{2}-2x + 1}=\frac{2(x - 1)(x - 2)}{(x^{2}-2x + 1)(x - 1)(x - 2)}$.
答案
11. （1）原式通分不合理，改正：$ \frac{x}{3(y - 1)} = \frac{2x}{3(y - 1)×2} = \frac{2x}{6(y - 1)} $，$ \frac{2}{6 - 6y} = \frac{2×(-1)}{6(1 - y)×(-1)} = -\frac{2}{6(y - 1)} $ （2）原式通分不合理，改正：$ \frac{1}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{x - 1}{(x - 1)^{2}(x - 2)} $，$ \frac{2}{x^{2} - 2x + 1} = \frac{2(x - 2)}{(x - 1)^{2}(x - 2)} $
解析
【分析】
要判断通分是否合理，需依据分式通分的原则：先对各分母因式分解，确定最简公分母，再根据分式的基本性质，将分子分母同乘适当的整式，使分母化为最简公分母。
（1）对于$\frac{x}{3(y - 1)}$和$\frac{2}{6 - 6y}$，原通分未先对分母$6-6y$因式分解找最简公分母，反而将分母化为非最简形式，计算冗余且错误。正确思路是先把$6-6y$因式分解为$-6(y-1)$，确定最简公分母为$6(y-1)$，再进行通分。
（2）对于$\frac{1}{(x - 1)(x - 2)}$和$\frac{2}{x^{2}-2x + 1}$，原通分中第一个分式的分子乘了$(x-1)^2$，错误。正确思路是先将$x^2-2x+1$因式分解为$(x-1)^2$，确定最简公分母为$(x-1)^2(x-2)$，再给第一个分式分子分母同乘$(x-1)$，第二个分式分子分母同乘$(x-2)$即可。
【解析】
（1）原通分不合理。
改正：
对分母因式分解，$6-6y=-6(y-1)$，最简公分母为$6(y-1)$。
$\frac{x}{3(y - 1)}=\frac{x×2}{3(y - 1)×2}=\frac{2x}{6(y - 1)}$，
$\frac{2}{6 - 6y}=\frac{2}{-6(y - 1)}=\frac{2×(-1)}{-6(y - 1)×(-1)}=-\frac{2}{6(y - 1)}$。
（2）原通分不合理。
改正：
对分母因式分解，$x^2-2x+1=(x-1)^2$，最简公分母为$(x-1)^2(x-2)$。
$\frac{1}{(x - 1)(x - 2)}=\frac{1×(x-1)}{(x - 1)(x - 2)×(x-1)}=\frac{x-1}{(x - 1)^2(x - 2)}$，
$\frac{2}{x^{2}-2x + 1}=\frac{2×(x-2)}{(x-1)^2×(x-2)}=\frac{2(x-2)}{(x - 1)^2(x - 2)}$。
【答案】
（1）通分不合理，改正：$\frac{x}{3(y - 1)}=\frac{2x}{6(y - 1)}$，$\frac{2}{6 - 6y}=-\frac{2}{6(y - 1)}$；
（2）通分不合理，改正：$\frac{1}{(x - 1)(x - 2)}=\frac{x-1}{(x - 1)^2(x - 2)}$，$\frac{2}{x^{2}-2x + 1}=\frac{2(x-2)}{(x - 1)^2(x - 2)}$。
【知识点】
分式的通分，因式分解，最简公分母确定
【点评】
本题重点考查分式通分的正确步骤，核心是先对分母因式分解以确定最简公分母，再依据分式的基本性质进行通分，需注意分母变形时的符号处理，避免盲目通分导致的错误。
【难度系数】
0.6
要判断通分是否合理，需依据分式通分的原则：先对各分母因式分解，确定最简公分母，再根据分式的基本性质，将分子分母同乘适当的整式，使分母化为最简公分母。
（1）对于$\frac{x}{3(y - 1)}$和$\frac{2}{6 - 6y}$，原通分未先对分母$6-6y$因式分解找最简公分母，反而将分母化为非最简形式，计算冗余且错误。正确思路是先把$6-6y$因式分解为$-6(y-1)$，确定最简公分母为$6(y-1)$，再进行通分。
（2）对于$\frac{1}{(x - 1)(x - 2)}$和$\frac{2}{x^{2}-2x + 1}$，原通分中第一个分式的分子乘了$(x-1)^2$，错误。正确思路是先将$x^2-2x+1$因式分解为$(x-1)^2$，确定最简公分母为$(x-1)^2(x-2)$，再给第一个分式分子分母同乘$(x-1)$，第二个分式分子分母同乘$(x-2)$即可。
【解析】
（1）原通分不合理。
改正：
对分母因式分解，$6-6y=-6(y-1)$，最简公分母为$6(y-1)$。
$\frac{x}{3(y - 1)}=\frac{x×2}{3(y - 1)×2}=\frac{2x}{6(y - 1)}$，
$\frac{2}{6 - 6y}=\frac{2}{-6(y - 1)}=\frac{2×(-1)}{-6(y - 1)×(-1)}=-\frac{2}{6(y - 1)}$。
（2）原通分不合理。
改正：
对分母因式分解，$x^2-2x+1=(x-1)^2$，最简公分母为$(x-1)^2(x-2)$。
$\frac{1}{(x - 1)(x - 2)}=\frac{1×(x-1)}{(x - 1)(x - 2)×(x-1)}=\frac{x-1}{(x - 1)^2(x - 2)}$，
$\frac{2}{x^{2}-2x + 1}=\frac{2×(x-2)}{(x-1)^2×(x-2)}=\frac{2(x-2)}{(x - 1)^2(x - 2)}$。
【答案】
（1）通分不合理，改正：$\frac{x}{3(y - 1)}=\frac{2x}{6(y - 1)}$，$\frac{2}{6 - 6y}=-\frac{2}{6(y - 1)}$；
（2）通分不合理，改正：$\frac{1}{(x - 1)(x - 2)}=\frac{x-1}{(x - 1)^2(x - 2)}$，$\frac{2}{x^{2}-2x + 1}=\frac{2(x-2)}{(x - 1)^2(x - 2)}$。
【知识点】
分式的通分，因式分解，最简公分母确定
【点评】
本题重点考查分式通分的正确步骤，核心是先对分母因式分解以确定最简公分母，再依据分式的基本性质进行通分，需注意分母变形时的符号处理，避免盲目通分导致的错误。
【难度系数】
0.6
