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11. (11 分)(2025·阜阳)怀远石榴是安徽省怀远县的特色农产品,以其色泽艳丽、汁多味甜而著名。现有$10$筐怀远石榴,以每筐$10kg$为标准,超过或不足的千克数分别用正、负数来表示,记录如下表：
|与标准质量的差值/kg| - 0.2 | - 0.15 | 0 | 0.3 |
|筐数| 1 | 2 | 4 | 3 |
(1) 这$10$筐怀远石榴中,与标准质量差值为$0.15kg$的有______筐,最重的重______kg；
(2) 若怀远石榴每千克售价为$25$元,则出售这$10$筐怀远石榴总收入为多少元？
|与标准质量的差值/kg| - 0.2 | - 0.15 | 0 | 0.3 |
|筐数| 1 | 2 | 4 | 3 |
(1) 这$10$筐怀远石榴中,与标准质量差值为$0.15kg$的有______筐,最重的重______kg；
(2) 若怀远石榴每千克售价为$25$元,则出售这$10$筐怀远石榴总收入为多少元？
答案
(1)2 10.3
(2)$25×[-0.2+2×(-0.15)+4×0+3×0.3+10×10]=25×100.4=2510$(元).答:共收入2510元.
解析
【分析】
（1）第一小问先读取表格信息：找到“与标准质量的差值为-0.15kg”对应的筐数，即可得到第一空答案；最重的一筐是超过标准质量最多的，取差值的最大值与标准质量10kg相加，即可得到第二空答案。
（2）第二小问解题思路：先计算10筐石榴与标准质量的总差值，再加上10筐的标准总质量得到实际总质量，最后用总质量乘每千克的售价，即可求出总收入。
【解析】
（1）观察表格可知，与标准质量差值为-0.15kg的筐数为2；
差值中最大的数为0.3kg，因此最重的一筐质量为：$10 + 0.3 = 10.3$（kg）。
（2）首先计算10筐石榴的实际总质量：
总差值为：$1×(-0.2) + 2×(-0.15) + 4×0 + 3×0.3 = 0.4$（kg）
实际总质量为：$10×10 + 0.4 = 100.4$（kg）
总收入为：$100.4×25 = 2510$（元）
答：出售这10筐怀远石榴总收入为2510元。
【答案】
(1)2；10.3
(2)2510元
【知识点】
正负数的实际应用；有理数混合运算；统计表信息读取
【点评】
本题结合生活实际场景，考查正负数表示相反意义的量的应用，以及有理数的混合运算能力，解题核心是准确提取表格数据、正确计算总质量，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
（1）第一小问先读取表格信息：找到“与标准质量的差值为-0.15kg”对应的筐数，即可得到第一空答案；最重的一筐是超过标准质量最多的，取差值的最大值与标准质量10kg相加，即可得到第二空答案。
（2）第二小问解题思路：先计算10筐石榴与标准质量的总差值，再加上10筐的标准总质量得到实际总质量，最后用总质量乘每千克的售价，即可求出总收入。
【解析】
（1）观察表格可知，与标准质量差值为-0.15kg的筐数为2；
差值中最大的数为0.3kg，因此最重的一筐质量为：$10 + 0.3 = 10.3$（kg）。
（2）首先计算10筐石榴的实际总质量：
总差值为：$1×(-0.2) + 2×(-0.15) + 4×0 + 3×0.3 = 0.4$（kg）
实际总质量为：$10×10 + 0.4 = 100.4$（kg）
总收入为：$100.4×25 = 2510$（元）
答：出售这10筐怀远石榴总收入为2510元。
【答案】
(1)2；10.3
(2)2510元
【知识点】
正负数的实际应用；有理数混合运算；统计表信息读取
【点评】
本题结合生活实际场景，考查正负数表示相反意义的量的应用，以及有理数的混合运算能力，解题核心是准确提取表格数据、正确计算总质量，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
12. (12 分)计算$\left(-5\dfrac {1}{2}\right)-\left(-3\dfrac {1}{4}\right)+\left(+2\dfrac {3}{4}\right)-\left(+\dfrac {1}{2}\right)$。
王林的做法如下：
解：$\left(-5\dfrac {1}{2}\right)-\left(-3\dfrac {1}{4}\right)+\left(+2\dfrac {3}{4}\right)-\left(+\dfrac {1}{2}\right)$
$=\left(-5\dfrac {1}{2}\right)+3\dfrac {1}{4}+2\dfrac {3}{4}-\dfrac {1}{2}$(第一步)
$=\left(-5\dfrac {1}{2}\right)-\dfrac {1}{2}+\left(3\dfrac {1}{4}+2\dfrac {3}{4}\right)$(第二步)
$=-5 + 6$(第三步)
$= 1$。(第四步)
王林发现自己的答案和同学们的不一样。
(1) 请指出他从第______步开始出现错误；
(2) 写出正确的解题过程。
王林的做法如下：
解：$\left(-5\dfrac {1}{2}\right)-\left(-3\dfrac {1}{4}\right)+\left(+2\dfrac {3}{4}\right)-\left(+\dfrac {1}{2}\right)$
$=\left(-5\dfrac {1}{2}\right)+3\dfrac {1}{4}+2\dfrac {3}{4}-\dfrac {1}{2}$(第一步)
$=\left(-5\dfrac {1}{2}\right)-\dfrac {1}{2}+\left(3\dfrac {1}{4}+2\dfrac {3}{4}\right)$(第二步)
$=-5 + 6$(第三步)
$= 1$。(第四步)
王林发现自己的答案和同学们的不一样。
(1) 请指出他从第______步开始出现错误；
(2) 写出正确的解题过程。
答案
(1)三
(2)$\left(-5\frac{1}{2}\right)-\left(-3\frac{1}{4}\right)+\left(+2\frac{3}{4}\right)-\left(+\frac{1}{2}\right)=\left(-5\frac{1}{2}\right)+3\frac{1}{4}+2\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=-5\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\left(3\frac{1}{4}+2\frac{3}{4}\right)=-6+6=0$
解析
【分析】
(1) 找错误步骤需逐行核对计算逻辑：第一步将减法转化为加法，符合有理数减法法则，运算正确；第二步运用加法交换律和结合律分组同分母分数，方便凑整，运算逻辑正确；第三步计算$-5\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$时结果出错，因此是第三步开始错误。
(2) 正确解题思路：首先依据有理数减法法则将所有减法统一为加法，再用加法交换律、结合律把同分母分数分别分组凑整，最后计算两组结果的和即可得到正确答案。
【解析】
(1) 逐步骤验证王林的计算：
第一步：根据“减去一个数等于加上这个数的相反数”，把原式改写为加法形式，运算正确；
第二步：交换加数位置，将同分母分数分组，符合加法运算律规则，运算正确；
第三步：计算$-5\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$时，正确结果应为$-6$，王林误算为$-5$，运算错误。
因此他从第三步开始出现错误。
(2) 正确解题过程：
$\begin{aligned}&(-5\frac{1}{2})-(-3\frac{1}{4})+(+2\frac{3}{4})-(+\frac{1}{2})\\=&(-5\frac{1}{2})+3\frac{1}{4}+2\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\\=&(-5\frac{1}{2}-\frac{1}{2})+(3\frac{1}{4}+2\frac{3}{4})\\=&-6 + 6\\=&0\end{aligned}$
【答案】
(1) 三
(2) 计算过程如上，最终结果为$\boldsymbol{0}$
【知识点】
有理数减法法则，加法运算律，有理数加减混合运算
【点评】
本题是有理数加减运算的基础题型，核心考查运算律的简便应用，易错点为带分数的负数运算符号处理、同分母分数合并时的计算失误，做题时先统一运算符号再分组凑整，可有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
(1) 找错误步骤需逐行核对计算逻辑：第一步将减法转化为加法，符合有理数减法法则，运算正确；第二步运用加法交换律和结合律分组同分母分数，方便凑整，运算逻辑正确；第三步计算$-5\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$时结果出错，因此是第三步开始错误。
(2) 正确解题思路：首先依据有理数减法法则将所有减法统一为加法，再用加法交换律、结合律把同分母分数分别分组凑整，最后计算两组结果的和即可得到正确答案。
【解析】
(1) 逐步骤验证王林的计算：
第一步：根据“减去一个数等于加上这个数的相反数”，把原式改写为加法形式，运算正确；
第二步：交换加数位置，将同分母分数分组，符合加法运算律规则，运算正确；
第三步：计算$-5\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$时，正确结果应为$-6$，王林误算为$-5$，运算错误。
因此他从第三步开始出现错误。
(2) 正确解题过程：
$\begin{aligned}&(-5\frac{1}{2})-(-3\frac{1}{4})+(+2\frac{3}{4})-(+\frac{1}{2})\\=&(-5\frac{1}{2})+3\frac{1}{4}+2\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\\=&(-5\frac{1}{2}-\frac{1}{2})+(3\frac{1}{4}+2\frac{3}{4})\\=&-6 + 6\\=&0\end{aligned}$
【答案】
(1) 三
(2) 计算过程如上，最终结果为$\boldsymbol{0}$
【知识点】
有理数减法法则，加法运算律，有理数加减混合运算
【点评】
本题是有理数加减运算的基础题型，核心考查运算律的简便应用，易错点为带分数的负数运算符号处理、同分母分数合并时的计算失误，做题时先统一运算符号再分组凑整，可有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
13. (12 分)设$[a]表示不超过a$的最大整数,例如：$[2.3] = 2$,$[5] = 5$,$\left[-4\dfrac {1}{3}\right] = - 5$。
(1) 求$\left[2\dfrac {1}{5}\right]+[-3.6]-[-7]$的值；
(2) 令$\{ a\} = a - [a]$,求$\left\{2\dfrac {3}{4}\right\}-[-2.4]+\left\{-6\dfrac {1}{4}\right\}$的值。
(1) 求$\left[2\dfrac {1}{5}\right]+[-3.6]-[-7]$的值；
(2) 令$\{ a\} = a - [a]$,求$\left\{2\dfrac {3}{4}\right\}-[-2.4]+\left\{-6\dfrac {1}{4}\right\}$的值。
答案
(1)$\left[2\frac{1}{5}\right]+[-3.6]-[-7]=2+(-4)-(-7)=2-4+7=5$
(2)$\left\{2\frac{3}{4}\right\}-[-2.4]+\left\{-6\frac{1}{4}\right\}=2\frac{3}{4}-2-(-3)+\left(-6\frac{1}{4}\right)-(-7)=2\frac{3}{4}-2+3-6\frac{1}{4}+7=4\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题首先要明确两个新定义的含义：①$[a]$表示不超过$a$的最大整数（即向下取整）：正数取整直接去掉小数部分保留整数，负数取整要取比原数小的最大整数；②$\{a\}=a-[a]$，表示$a$的小数部分，取值范围为$0≤\{a\}＜1$。解题思路为：先根据定义分别计算每个取整项、小数项的值，再按照有理数加减运算规则计算最终结果，其中负数的向下取整是易错点，计算时要注意区分。
【解析】
(1) 根据$[a]$的定义计算各项：
$[2\dfrac{1}{5}]=[2.2]=2$，$[-3.6]=-4$，$[-7]=-7$
代入原式计算：
$\begin{aligned}[2\dfrac{1}{5}]+[-3.6]-[-7]&=2+(-4)-(-7)\\&=2-4+7\\&=5\end{aligned}$
(2) 根据$\{a\}=a-[a]$的定义展开各项：
$\{2\dfrac{3}{4}\}=2\dfrac{3}{4}-[2\dfrac{3}{4}]=2\dfrac{3}{4}-2$，$[-2.4]=-3$，$\{-6\dfrac{1}{4}\}=(-6\dfrac{1}{4})-[-6\dfrac{1}{4}]=(-6\dfrac{1}{4})-(-7)$
代入原式计算：
$\begin{aligned}\{2\dfrac{3}{4}\}-[-2.4]+\{-6\dfrac{1}{4}\}&=(2\dfrac{3}{4}-2)-(-3)+[(-6\dfrac{1}{4})-(-7)]\\&=2\dfrac{3}{4}-2+3-6\dfrac{1}{4}+7\\&=4+\dfrac{1}{2}\\&=4\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{4\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
新定义运算，有理数加减运算，向下取整概念
【点评】
本题属于新定义类基础题型，核心考查对新规则的理解应用能力，解题的关键是准确掌握负数向下取整的规则，再结合有理数加减的运算法则分步计算即可，计算时注意符号问题可有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确两个新定义的含义：①$[a]$表示不超过$a$的最大整数（即向下取整）：正数取整直接去掉小数部分保留整数，负数取整要取比原数小的最大整数；②$\{a\}=a-[a]$，表示$a$的小数部分，取值范围为$0≤\{a\}＜1$。解题思路为：先根据定义分别计算每个取整项、小数项的值，再按照有理数加减运算规则计算最终结果，其中负数的向下取整是易错点，计算时要注意区分。
【解析】
(1) 根据$[a]$的定义计算各项：
$[2\dfrac{1}{5}]=[2.2]=2$，$[-3.6]=-4$，$[-7]=-7$
代入原式计算：
$\begin{aligned}[2\dfrac{1}{5}]+[-3.6]-[-7]&=2+(-4)-(-7)\\&=2-4+7\\&=5\end{aligned}$
(2) 根据$\{a\}=a-[a]$的定义展开各项：
$\{2\dfrac{3}{4}\}=2\dfrac{3}{4}-[2\dfrac{3}{4}]=2\dfrac{3}{4}-2$，$[-2.4]=-3$，$\{-6\dfrac{1}{4}\}=(-6\dfrac{1}{4})-[-6\dfrac{1}{4}]=(-6\dfrac{1}{4})-(-7)$
代入原式计算：
$\begin{aligned}\{2\dfrac{3}{4}\}-[-2.4]+\{-6\dfrac{1}{4}\}&=(2\dfrac{3}{4}-2)-(-3)+[(-6\dfrac{1}{4})-(-7)]\\&=2\dfrac{3}{4}-2+3-6\dfrac{1}{4}+7\\&=4+\dfrac{1}{2}\\&=4\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{4\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
新定义运算，有理数加减运算，向下取整概念
【点评】
本题属于新定义类基础题型，核心考查对新规则的理解应用能力，解题的关键是准确掌握负数向下取整的规则，再结合有理数加减的运算法则分步计算即可，计算时注意符号问题可有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
