10. 提升题【方法运用】
(1) 如图①所示，$□ ABCD$的对角线$AC$和$BD$相交于点$O$，$EF$过点$O$且与$AB$，$CD$分别相交于点$E$，$F$，$AC=12$，$△ AEO$的周长为$18$，求$CF+OF$的值。
【拓展提升】
(2) 如图②，$□ ABCD$的对角线$AC$和$BD$相交于点$O$，$EF$过点$O$且与$CB$，$AD$的延长线分别相交于点$E$，$F$，连接$AE$，$CF$。若$AD=3DF$，$△ DOF$的面积为$2$，求四边形$AECF$的面积。
【拓展应用】
(3) 如图③，若四边形$ABCD$是平行四边形，过点$O$作直线$EF$分别交边$AB$，$CD$于点$E$，$F$，过点$O$作直线$GH$分别交边$AD$，$BC$于点$G$，$H$，且$S_{四边形DGOF}=\frac {1}{4}S_{□ ABCD}$。若$AD=6$，$AB=8$，$AG=2$，求$DF$的长度。

(1)12；(2)32；(3)8/3。

(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC=AC/2=6，AB//CD。∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC。又AO=OC，∴△AOE≌△COF(AAS)。∴AE=CF，EO=FO。∵△AEO周长=AE+EO+AO=18，AO=6，∴AE+EO=12。∴CF+OF=AE+EO=12。
(2) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，OD=OB，AD=BC。∴∠F=∠E，∠FDO=∠EBO。∴△DOF≌△BOE(AAS)。∴DF=BE，S△DOF=S△BOE=2。设DF=x，则AD=3x，AF=4x，BE=x，CE=BC+BE=4x。∴AF=CE，AF//CE，四边形AECF是平行四边形。∵AD=3DF，S△DOF=2，△AOD与△DOF同高，面积比=AD:DF=3:1，∴S△AOD=6。∵平行四边形ABCD对角线平分面积，∴S□ABCD=4×6=24。△ABE≌△CDF(SAS)，S△ABE=S△CDF。设ABCD高为h，AD·h=24，3x·h=24，x·h=8。S△ABE=1/2·BE·h=1/2·x·h=4。∴S□AECF=S□ABCD+2×4=24+8=32。
(3) 设S□ABCD=S，DF=x，FC=8-x，GD=AD-AG=4。O为AC中点，S△AOD=S/4。AG:GD=1:2，S△AGO:S△DGO=1:2，设S△AGO=a，则S△DGO=2a，3a=S/4，a=S/12，S△DGO=S/6。DF:FC=x:(8-x)，S△DFO:S△CFO=x:(8-x)，设S△DFO=b，则b + b(8-x)/x = S/4，b=Sx/32。∵S四边形DGOF=S/4，∴S/6 + Sx/32 = S/4。解得x=8/3。即DF=8/3。