11.1.2 不等式的性质
课前预习
1. 不等式的两个基本事实
(1) 交换不等式两边，不等号的方向：如果 $ a ＞ b $，那么；
(2) 不等关系可以：如果 $ a ＞ b $，$ b ＞ c $，那么。
2. 不等式的性质
(1) 性质 1 不等式两边加（或减），不等号的方向，即如果 $ a ＞ b $，那么 $ a \pm c $$ b \pm c $；
(2) 性质 2 不等式两边乘（或除以），不等号的方向，即如果 $ a ＞ b $，$ c ＞ 0 $，那么 $ ac \_\_\_\_\_\_ bc $（或 $ \frac{a}{c} \_\_\_\_\_\_ \frac{b}{c} $）；
(3) 性质 3 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向，即如果 $ a ＞ b $，$ c ＜ 0 $，那么 $ ac \_\_\_\_\_\_ bc $(或 $ \frac{a}{c} \_\_\_\_\_\_ \frac{b}{c} $)。
课堂探究
探究点 1 不等式的基本事实

1. （1）改变；$b ＜ a$；
（2）传递；$a ＞ c$；
2. （1）同一个数；不变；$＞$；
（2）同一个正数；不变；$＞$；$＞$；
（3）改变；$＜$；$＜$。

【例 1】下列判断中，错误的是()。

A.如果 $ -2 ＞ x $，那么 $ x ＜ -2 $
B.已知 $ 2x ＜ 3y $，$ 3y ＜ 4z $，那么 $ 2x ＜ 4z $
C.如果 $ a ＞ b $，$ a ＞ c $，那么 $ b ＞ c $
D.已知 $ \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} ＞ 0 $，那么 $ \frac{\sqrt{5}}{2} ＞ \frac{1}{2} $

C

A选项，根据不等式的对称性，如果$−2＞x$，那么$x＜−2$，该选项正确。
B选项，已知$2x＜3y$，$3y＜4z$，根据不等式的传递性，可得$2x＜4z$，该选项正确。
C选项，已知$a＞b$，$a＞c$，但是不能直接得出$b＞c$，例如当$a = 3$，$b = 1$，$c = 2$时，满足$a＞b$，$a＞c$，但$b＜c$，该选项错误。
D选项，已知$\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}＞0$，不等式两边同时加上$\frac{1}{2}$，可得$\frac{\sqrt{5}}{2}＞\frac{1}{2}$，该选项正确。

【变式 1】已知数轴上的点 $ A $，$ B $，$ C $ 表示的实数分别是 $ a $，$ b $，$ c $。若点 $ B $ 在点 $ A $ 的左边，点 $ C $ 在点 $ A $ 的右边，则 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系是。

$ b ＜ a ＜ c $

因为点 B 在点 A 的左边，所以 $ b ＜ a $；点 C 在点 A 的右边，所以 $ a ＜ c $。综上可得 $ b ＜ a ＜ c $。

【变式 2】已知 $ a ＞ b $，$ c ＜ b $，试说明 $ a ＞ c $。

因为$c ＜ b$，根据不等式的性质1，两边同时加上$-b$，得$c - b ＜ 0$，即$b - c ＞ 0$。
又因为$a ＞ b$，根据不等式的性质1，两边同时加上$-b$，得$a - b ＞ 0$。
所以$a - c = (a - b) + (b - c)$，由于$a - b ＞ 0$且$b - c ＞ 0$，两个正数相加结果为正数，即$a - c ＞ 0$，所以$a ＞ c$。

【例 2】写出下列不等式的变形依据：
(1) 若 $ x + 3 ＞ 4 $，则 $ x ＞ 1 $，此变形的依据为；
(2) 若 $ 3x ＞ -5 $，则 $ x ＞ -\frac{5}{3} $，此变形的依据为；
(3) 若 $ -2x ＞ 7 $，则 $ x ＜ -\frac{7}{2} $，此变形的依据为；
(4) 若 $ -\frac{x}{3} ＜ 2 $，则 $ x ＞ -6 $，此变形的依据为。

(1) 不等式的性质1；(2) 不等式的性质2；(3) 不等式的性质3；(4) 不等式的性质3

(1) 不等式两边同时减去3，不等号方向不变，依据为不等式的性质1；
(2) 不等式两边同时除以3（3为正数），不等号方向不变，依据为不等式的性质2；
(3) 不等式两边同时除以-2（-2为负数），不等号方向改变，依据为不等式的性质3；
(4) 不等式两边同时乘以-3（-3为负数），不等号方向改变，依据为不等式的性质3。

【变式 3】已知 $ a ＞ b $，用“$ ＞ $”或“$ ＜ $”填空。
(1) $ a + 3 $$ b + 3 $；
(2) $ a - 4 $$ b - 4 $；
(3) $ \frac{1}{3}a \_\_\_\_\_\_ \frac{1}{3}b $；
(4) $ -2a $$ -2b $；
(5) $ 3a - 1 $$ 3b - 1 $；
(6) $ 1 - a $$ 1 - b $。

(1) $＞$
(2) $＞$
(3) $＞$
(4) $＜$
(5) $＞$
(6) $＜$

(1) 根据不等式的性质1：$a＞b$，两边同时加3，不等号方向不变，所以 $a + 3 ＞ b + 3$。
(2) 根据不等式的性质1：$a＞b$，两边同时减4，不等号方向不变，所以$a - 4 ＞ b - 4$。
(3) 根据不等式的性质2：$a＞b$，两边同时乘以正数$\frac{1}{3}$ ，不等号方向不变，所以 $\frac{1}{3}a ＞ \frac{1}{3}b$。
(4) 根据不等式的性质3：$a＞b$，两边同时乘以负数$-2$ ，不等号方向改变，所以 $-2a ＜ -2b$。
(5) 根据不等式的性质2：$a＞b$，两边同时乘以正数3，得到$3a＞3b$，再根据不等式的性质1：两边同时减1，不等号方向不变，所以 $3a - 1 ＞ 3b - 1$。
(6) 首先根据不等式的性质3，$a＞b$，两边同时乘以负数$-1$ ，不等号方向改变，得到 $-a ＜ -b$；再根据不等式的性质1，两边同时加1，不等号方向不变，所以 $1 - a ＜ 1 - b$。

【变式 4】用“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”填空。
(1) 当 $ a ＜ 0 $ 时，$ 6 + a $$ 6 - a $；
(2) 若 $ -\frac{2}{3}x ＞ -\frac{2}{3}y $，则 $ x \_\_\_\_\_\_ y $。

(1)＜；(2)＜

(1) 因为 $a ＜ 0$，所以 $-a ＞ 0$，则 $6 + a ＜ 6$，$6 - a ＞ 6$，故 $6 + a ＜ 6 - a$。
(2) 不等式两边同时乘以$-\frac{3}{2}$，不等号方向改变，得 $x ＜ y$。

【例 3】利用不等式的性质解下列不等式，并将解集表示在数轴上。
(1) $ \frac{3}{2}x - 5 ＜ 4 $；
(2) $ 3 - 2y ＞ 7 $；
(3) $ -2x ＞ -3x + 1 $；
(4) $ 7x - 6 ≤ 5x - 4 $。

(1) 解：$\frac{3}{2}x - 5 ＜ 4$
两边加5（性质1）：$\frac{3}{2}x ＜ 9$
两边乘$\frac{2}{3}$（性质2）：$x ＜ 6$
数轴表示：在数轴上表示6的点处画空心圆圈，向左画线。
(2) 解：$3 - 2y ＞ 7$
两边减3（性质1）：$-2y ＞ 4$
两边除以$-2$（性质3）：$y ＜ -2$
数轴表示：在数轴上表示$-2$的点处画空心圆圈，向左画线。
(3) 解：$-2x ＞ -3x + 1$
两边加$3x$（性质1）：$x ＞ 1$
数轴表示：在数轴上表示1的点处画空心圆圈，向右画线。
(4) 解：$7x - 6 ≤ 5x - 4$
两边减$5x$（性质1）：$2x - 6 ≤ -4$
两边加6（性质1）：$2x ≤ 2$
两边除以2（性质2）：$x ≤ 1$
数轴表示：在数轴上表示1的点处画实心圆点，向左画线。