例 如图，在长方形 $ABCD$ 中，$AD = 9$，$AB = 3$，将其折叠，使点 $D$ 与点 $B$ 重合，折痕为 $EF$，求 $DE$ 和 $EF$ 的长.

分析：根据折叠知相等的边、相等的角. 要求 $DE$ 即求 $BE$ 的长，放在 $Rt△ ABE$ 中，用勾股定理即可得解. 要求 $EF$ 的长，作 $EG⊥ BC$ 于点 $G$，放在 $Rt△ EGF$ 中，需知 $EG$，$GF$ 的长. 易证 $BF = BE$，$BG = AE$，从而计算出 $GF$. 由于 $EG = AB$，利用勾股定理即可求 $EF$ 的长. 本题是图形折叠中的线段的计算，可转化到直角三角形中用勾股定理来完成，要关注有哪些相等的线段和角，合理设未知数建立方程.
解：$\because$ 折痕为 $EF$，$\therefore DE = BE$，$∠ DEF = ∠ BEF$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为长方形，
$\therefore AD// BC$，$\therefore ∠ DEF = ∠ BFE$.
$\therefore ∠ BEF = ∠ BFE$. $\therefore BF = BE$.
设 $DE = x$，则 $AE = AD - DE = 9 - x$，$BE = DE = x$.
在 $Rt△ ABE$ 中，$∠ A = 90°$，$\therefore BE^{2} = AB^{2} + AE^{2}$，
$\therefore x^{2} = 3^{2} + (9 - x)^{2}$，$\therefore x = 5$，即 $BE = DE = 5$，$\therefore BF = BE = 5$.
如图，过点 $E$ 作 $EG⊥ BC$，垂足为 $G$.
则 $EG = AB = 3$，$BG = AE = 9 - x = 9 - 5 = 4$，
$\therefore GF = BF - BG = 5 - 4 = 1$.
在 $Rt△ EGF$ 中，$∠ EGF = 90°$，
$\therefore EF = \sqrt{EG^{2} + GF^{2}} = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}$.

解：$\because$ 折痕为 $EF$，$\therefore DE = BE$，$∠ DEF = ∠ BEF$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为长方形，
$\therefore AD// BC$，$∠ A = 90°$，$AD = 9$，$AB = 3$，
$\therefore ∠ DEF = ∠ BFE$，
$\therefore ∠ BEF = ∠ BFE$，$\therefore BF = BE$.
设 $DE = x$，则 $AE = AD - DE = 9 - x$，$BE = DE = x$.
在 $Rt△ ABE$ 中，由勾股定理得：
$BE^2 = AB^2 + AE^2$，
$\therefore x^2 = 3^2 + (9 - x)^2$，
解得 $x = 5$，即 $DE = 5$，$BF = BE = 5$.
过点 $E$ 作 $EG⊥ BC$，垂足为 $G$，
则 $EG = AB = 3$，$BG = AE = 9 - 5 = 4$，
$\therefore GF = BF - BG = 5 - 4 = 1$.
在 $Rt△ EGF$ 中，由勾股定理得：
$EF = \sqrt{EG^2 + GF^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$.
答：$DE$ 的长为 $5$，$EF$ 的长为 $\sqrt{10}$.