1. 方程$\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{16}{x^2 - 4} = 1$的解为()

A.$x = 2$
B.$x = - 2$
C.$x = 3$
D.无解

D

方程两边同乘以$(x + 2)(x - 2)$，即最简公分母$x^2 - 4$去分母得：
$(x + 2)^2 - 16 = (x^2 - 4)$，
去括号得：
$x^2+4x+4 - 16 = x^2 - 4$，
移项、合并同类项得：
$4x = 8$，
系数化为$1$得：
$x = 2$。
检验：当$x = 2$时，$(x + 2)(x - 2)=(2 + 2)(2 - 2)=0$，所以$x = 2$是增根，原方程无解。

2. 若分式方程$\frac{3}{x + 1} = 2 - \frac{5k}{x + 1}$有增根，则$k$的值是()

A.$- \frac{1}{3}$
B.$- \frac{3}{5}$
C.$- 3$
D.$- 4$

B

方程两边同乘$x + 1$得：$3 = 2(x + 1) - 5k$。因为分式方程有增根，所以$x + 1 = 0$，即$x = -1$。将$x = -1$代入整式方程得：$3 = 2(-1 + 1) - 5k$，解得$k = -\frac{3}{5}$。

3. 若$x = 2$是分式方程$\frac{k}{x} + \frac{x - 3}{x - 1} = 1$的解，则实数$k$的值为。

4

将$x=2$代入分式方程$\frac{k}{x} + \frac{x - 3}{x - 1} = 1$，得$\frac{k}{2} + \frac{2 - 3}{2 - 1} = 1$，即$\frac{k}{2} - 1 = 1$，解得$k=4$。

4. 对于实数$a$，$b$，定义一种新运算“$\otimes$”为$a\otimes b = \frac{1}{a - b^2}$，其中等式右边是实数运算。例如：$1\otimes 3 = \frac{1}{1 - 3^2} = - \frac{1}{8}$。则方程$x\otimes (- 2) = - 1$的解是。

x=3

由新运算定义得，$x\otimes (-2)=\frac{1}{x - (-2)^2}=\frac{1}{x - 4}$。
方程$x\otimes (-2) = -1$可化为$\frac{1}{x - 4} = -1$。
两边同乘$x - 4$得：$1 = - (x - 4)$，即$1 = -x + 4$。
解得$x = 3$。
经检验，$x = 3$是原方程的解。

5. 解分式方程：


（1）$\frac{3}{x - 2} - \frac{x}{2 - x} = - 2$；
（2）$\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{4}{x^2 - 1} = 1$。

（1）方程两边同乘$x - 2$，得$3 + x = -2(x - 2)$，
去括号：$3 + x = -2x + 4$，
移项：$x + 2x = 4 - 3$，
合并同类项：$3x = 1$，
解得：$x = \frac{1}{3}$，
检验：当$x = \frac{1}{3}$时，$x - 2 = -\frac{5}{3} ≠ 0$，
所以原方程的解为$x = \frac{1}{3}$。
（2）方程两边同乘$(x - 1)(x + 1)$，得$(x + 1)^2 - 4 = (x - 1)(x + 1)$，
去括号：$x^2 + 2x + 1 - 4 = x^2 - 1$，
移项：$x^2 + 2x - x^2 = -1 - 1 + 4$，
合并同类项：$2x = 2$，
解得：$x = 1$，
检验：当$x = 1$时，$(x - 1)(x + 1) = 0$，
所以$x = 1$是增根，原方程无解。

6. 若方程$\frac{2x + a}{x - 2} = - 1$的解是正数，求$a$的取值范围。

去分母，方程两边同乘$x - 2$得：$2x + a = - (x - 2)$。
化简得：$2x + a = -x + 2$，移项合并同类项：$3x = 2 - a$，解得$x = \frac{2 - a}{3}$。
因为方程的解是正数，所以$\frac{2 - a}{3} ＞ 0$，解得$a ＜ 2$。
又因为分母不能为零，即$x - 2 ≠ 0$，所以$\frac{2 - a}{3} ≠ 2$，解得$a ≠ -4$。
综上，$a$的取值范围是$a ＜ 2$且$a ≠ -4$。

7. 提升题 已知关于$x$的方程为$\frac{3}{x + 1} + \frac{6}{x - 1} = \frac{mx}{(x + 1)(x - 1)}$。

（1）若方程无解，求$m$的取值；
（2）若方程的解为整数，求整数$m$的取值。

（1）方程无解时m的取值：
去分母，方程两边同乘$(x+1)(x-1)$得：
$3(x-1)+6(x+1)=mx$
化简得：$9x+3=mx$，即$(9-m)x=-3$
分式方程无解分两种情况：
① 整式方程无解：当$9-m=0$，即$m=9$时，$0x=-3$无解；
② 整式方程的解为增根：原方程增根为$x=1$或$x=-1$。
若$x=1$，代入$(9-m)x=-3$得$9-m=-3$，$m=12$；
若$x=-1$，代入$(9-m)x=-3$得$-(9-m)=-3$，$m=6$。
综上，$m=6$或$m=9$或$m=12$。
（2）方程的解为整数时整数m的取值：
由$(9-m)x=-3$得$x=\frac{3}{m-9}$（$m≠9$），解为整数且$x≠±1$（增根）。
$m-9$为3的因数：$±1,±3$。
$m-9=1$时，$m=10$，$x=3$（非增根，有效）；
$m-9=-1$时，$m=8$，$x=-3$（非增根，有效）；
$m-9=3$时，$m=12$，$x=1$（增根，舍去）；
$m-9=-3$时，$m=6$，$x=-1$（增根，舍去）。
综上，整数$m=8$或$m=10$。
（1）$m=6$或$9$或$12$；
（2）$m=8$或$10$。