1. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB// CD$。添加下列一个条件后，不能判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形的是()

A.$AB = CD$
B.$AD// BC$
C.$AB = BC$
D.$∠ A=∠ C$

C

对于选项A，因为AB//CD且AB=CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD是平行四边形；对于选项B，AB//CD且AD//BC，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定；对于选项C，AB//CD，AB=BC，无法得出四边形ABCD是平行四边形，例如等腰梯形也可能满足此条件；对于选项D，AB//CD，所以∠A+∠D=180°，又因为∠A=∠C，所以∠C+∠D=180°，则AD//BC，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定。综上，不能判定的是选项C。

2. 小强不小心将一块平行四边形玻璃打碎成 $4$ 块，如图。他只带了其中 $2$ 块碎玻璃到商店就配到了一块与原先相同的平行四边形玻璃。他带的两块碎玻璃的编号是()

A.①②
B.①③
C.②③
D.②④

D

3. 如图，$P$ 是直线 $n$ 外一点，在 $n$ 上取两点 $M$，$N$，分别以 $P$，$N$ 为圆心，$MN$，$PM$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $Q$，分别连接 $PM$，$PQ$，$QN$，则四边形 $PMNQ$ 是平行四边形。理由是。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

由题意知，$PQ=MN$，$QN=PM$，根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，所以四边形$PMNQ$是平行四边形。

4. 如图，点 $P$ 在 $□ ABCD$ 的对角线 $BD$ 上，过点 $P$ 作 $EF// BC$，$GH// AB$。已知 $S_{□ ABCD}=22$，$S_{\mathrm{四边形}BGPE}=2$，$S_{\mathrm{四边形}PFDH}=10$，则四边形 $AEPH$ 的面积是。

5

设四边形AEPH的面积为$x$，四边形PGCF的面积为$y$。
∵四边形ABCD是平行四边形，$EF// BC$，$GH// AB$，
∴图中四个小四边形均为平行四边形，且$S_{□ABCD}=x+2+10+y=22$，即$x+y=10$。
设点$P$分对角线$BD$的比例为$t:(1-t)$，则：
四边形$BGPE$与$□BCFE$相似，面积比为$t^2$，$S_{□BCFE}=t· S_{□ABCD}$，故$2=t^2·22$，得$t^2=\frac{2}{22}$；
四边形$PFDH$与$□ADFE$相似，面积比为$(1-t)^2$，$S_{□ADFE}=(1-t)· S_{□ABCD}$，故$10=(1-t)^2·22$，得$(1-t)^2=\frac{10}{22}$。
由$t^2+(1-t)^2=\frac{2}{22}+\frac{10}{22}=\frac{6}{11}$，又$t^2+(1-t)^2=1-2t(1-t)$，得$1-2t(1-t)=\frac{6}{11}$，解得$t(1-t)=\frac{5}{22}$。
$S_{□AEPH}=t(1-t)· S_{□ABCD}=\frac{5}{22}×22=5$。

5. 提升题 如图，$E$，$F$ 分别为 $□ ABCD$ 中 $BC$，$AD$ 边上的点，且 $∠ 1=∠ 2$。
(1) 求证：$AE = FC$；
(2) 试判断四边形 $AECF$ 的形状，并说明理由。
]

(1) 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB = CD$，$∠ B = ∠ D$，$AD // BC$。
在 $△ ABE$ 和 $△ CDF$ 中，
$\begin{cases} ∠ 1 = ∠ 2 \\AB = CD \\∠ B = ∠ D \end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ CDF$（ASA）。
∴ $AE = FC$。
(2) 四边形 $AECF$ 是平行四边形。
理由：
∵ $△ ABE ≌ △ CDF$，
∴ $BE = DF$。
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD = BC$。
∴ $AD - DF = BC - BE$，即 $AF = EC$。
又∵ $AD // BC$，
∴ $AF // EC$。
∴ 四边形 $AECF$ 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。