8. 平面内有 $ M $，$ N $ 两点，以相同的单位长度建立不同的平面直角坐标系。若以点 $ M $ 为坐标原点，则点 $ N $ 的坐标为 $ (a,b) $；若以点 $ N $ 为坐标原点，则点 $ M $ 的坐标为()。

A.$ (b,a) $
B.$ (-a,b) $
C.$ (a,-b) $
D.$ (-a,-b) $

D

以点M为坐标原点时，点N坐标为(a,b)，说明点N在M的右a个单位、上b个单位处。当以点N为坐标原点时，点M在N的左a个单位、下b个单位处，故坐标为(-a,-b)。

9. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $ A(-1,1) $，$ B(-1,-3) $，$ C(5,-3) $，$ D(5,1) $。一只瓢虫从点 $ A $ 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿“$ A \to B \to C \to D \to A $”循环爬行，则第 30 s 瓢虫所在点的坐标为()。


A.$ (-1,1) $
B.$ (-1,-3) $
C.$ (5,-3) $
D.$ (5,1) $

C

由题意知，瓢虫每秒爬行1个单位长度，首先计算 $ A \to B \to C \to D \to A $ 的总路程。
$ AB $ 段的长度：$ |1 - (-3)| = 4 $；
$ BC $ 段的长度：$ |5 - (-1)| = 6 $；
$ CD $ 段的长度：$ |1 - (-3)| = 4 $；
$ DA $ 段的长度：$ |5 - (-1)| = 6 $。
总路程为：$ 4 + 6 + 4 + 6 = 20 $。
瓢虫每20秒完成一个循环，回到起点 $ A $。
第30秒时，瓢虫已经爬行了 $ 30 \mod 20 = 10 $ 个单位长度。
从 $ A $ 出发，沿 $ A \to B \to C $ 方向爬行10个单位长度：
$ AB $ 段为4个单位长度，$ B \to C $ 段为6个单位长度。
瓢虫在第10秒时到达 $ C $ 点 $ (5, -3) $。

10. 已知 $ A(0,1) $，$ B(2,0) $，$ C(4,3) $。
(1) 在如图所示的平面直角坐标系中描出各点，画出三角形 $ ABC $；
(2) 求三角形 $ ABC $ 的面积。

(1) 在平面直角坐标系中，描出点 $A(0,1)$，$B(2,0)$，$C(4,3)$，然后连接这三个点形成三角形 $ABC$。
(2)
首先，确定三角形 $ABC$ 的各个顶点的坐标：
$A(0,1)$，$B(2,0)$，$C(4,3)$，
可以使用行列式公式来计算三角形的面积：
$S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$，
代入 $A(0,1)$，$B(2,0)$，$C(4,3)$ 的坐标值，得到：
$S = \frac{1}{2} \left| 0(0 - 3) + 2(3 - 1) + 4(1 - 0) \right|$
$S = \frac{1}{2} \left| 0 + 4 + 4 \right|$
$S = \frac{1}{2} × 8$
$S = 4$
所以三角形$ABC$的面积为4。

11. (推理能力)如图，在平面直角坐标系中，长方形 $ ABCD $ 的四条边分别与坐标轴平行，已知点 $ A(-1,2) $，点 $ C(1,-1) $。点 $ P $ 从点 $ A $ 出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒 2 个单位长度；点 $ Q $ 从点 $ A $ 出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒 3 个单位长度。记 $ P $，$ Q $ 在长方形边上第 1 次相遇时的点为 $ M_1 $，第二次相遇时的点为 $ M_2 ··· ··· $则点 $ M_{2026} $ 的坐标为。

(1,2)

1. 确定长方形顶点坐标：
长方形边与坐标轴平行，A(-1,2)，C(1,-1)。则B(-1,-1)，D(1,2)。周长为2×[(1-(-1))+(2-(-1))]=10。
2. 相遇时间与路程：
P（顺时针，2单位/秒）与Q（逆时针，3单位/秒），相对速度5单位/秒。每次相遇路程和为10k（k=1,2,...），相遇时间t=10k/5=2k秒。
3. 相遇点规律：
第1次相遇（k=1，t=2秒）：P路程=4，顺时针A→B(3)→BC(1)，得M₁(0,-1)；
第2次相遇（k=2，t=4秒）：P路程=8，顺时针A→B→C→CD(3)，得M₂(1,2)；
第3次相遇（k=3，t=6秒）：P路程=12，顺时针A→B→C→D→DA(2)，得M₃(-1,0)；
第4次相遇（k=4，t=8秒）：P路程=16，顺时针A→B→C→D→A→AB(1)，得M₄(1,0)；
第5次相遇（k=5，t=10秒）：回到起点A(-1,2)，周期为4。
4. 第2026次相遇：
2026÷4=506余2，对应周期中第2个点M₂(1,2)。