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6. 一列长为 160 m 的匀速行驶的火车用 25 s 的时间通过了某隧道(即从车头进入入口到车尾离开出口),若火车的速度为 $ a $ m/s,则该隧道的长度是( )。
A.$ (25a - 160) $ m
B.$ 25a $ m
C.$ (160 + 25a) $ m
D.$ (160 - 25a) $ m
A.$ (25a - 160) $ m
B.$ 25a $ m
C.$ (160 + 25a) $ m
D.$ (160 - 25a) $ m
答案
A
解析
火车通过隧道所行驶的路程等于隧道长度加上火车自身长度。
火车速度为 $a\ m/s$，行驶时间为 $25\ s$，根据路程 = 速度×时间，可得火车行驶的路程为 $25a\ m$。
设隧道长度为 $L\ m$，则 $L + 160 = 25a$，解得 $L = 25a - 160$。
A
火车速度为 $a\ m/s$，行驶时间为 $25\ s$，根据路程 = 速度×时间，可得火车行驶的路程为 $25a\ m$。
设隧道长度为 $L\ m$，则 $L + 160 = 25a$，解得 $L = 25a - 160$。
A
7. 若长方形的周长为 $ m $,一边长为 $ a $,则该长方形的面积为______。
答案
$\left( \dfrac{m}{2}-a \right)a$
8. 将 $ x $ 克含糖 10%的糖水与 $ y $ 克含糖 30%的糖水混合,混合后的糖水含糖( )。
A.20%
B.$ \frac{x + y}{2} × 100\% $
C.$ \frac{x + 3y}{20} × 100\% $
D.$ \frac{x + 3y}{10x + 10y} × 100\% $
A.20%
B.$ \frac{x + y}{2} × 100\% $
C.$ \frac{x + 3y}{20} × 100\% $
D.$ \frac{x + 3y}{10x + 10y} × 100\% $
答案
D
解析
混合前含糖量：$10\%x + 30\%y = 0.1x + 0.3y$，混合后总质量：$x + y$，混合后含糖百分比：$\frac{0.1x + 0.3y}{x + y} × 100\% = \frac{x + 3y}{10x + 10y} × 100\%$。
D
D
9. 如图,一块长为 $ a $、宽为 $ b $ 的长方形草坪,上、下开辟的花园都是由等半径的两个四分之一圆和一个半圆组成,那么中间草坪(阴影部分)的面积是( )。
A.$ ab - \pi b^{2} $
B.$ ab - \frac{\pi}{2}b^{2} $
C.$ ab - \frac{\pi}{4}b^{2} $
D.$ ab - \frac{\pi}{8}b^{2} $
A.$ ab - \pi b^{2} $
B.$ ab - \frac{\pi}{2}b^{2} $
C.$ ab - \frac{\pi}{4}b^{2} $
D.$ ab - \frac{\pi}{8}b^{2} $
答案
D
解析
中间草坪面积为长方形面积减去上、下花园面积。长方形面积为$ab$。
上、下花园组成相同，以上花园为例：两个四分之一圆和一个半圆。两个四分之一圆可拼成一个半圆，故上花园共含两个半圆，即一个整圆。
设圆半径为$r$，由图可知长方形宽$b$为两个圆直径之和，即$b = 4r$，$r=\frac{b}{4}$。单个花园面积为$\pi r^2=\pi (\frac{b}{4})^2=\frac{\pi b^2}{16}$，上、下花园总面积为$2×\frac{\pi b^2}{16}=\frac{\pi b^2}{8}$。
中间草坪面积：$ab - \frac{\pi b^2}{8}$。
D
上、下花园组成相同，以上花园为例：两个四分之一圆和一个半圆。两个四分之一圆可拼成一个半圆，故上花园共含两个半圆，即一个整圆。
设圆半径为$r$，由图可知长方形宽$b$为两个圆直径之和，即$b = 4r$，$r=\frac{b}{4}$。单个花园面积为$\pi r^2=\pi (\frac{b}{4})^2=\frac{\pi b^2}{16}$，上、下花园总面积为$2×\frac{\pi b^2}{16}=\frac{\pi b^2}{8}$。
中间草坪面积：$ab - \frac{\pi b^2}{8}$。
D
10. 求图中阴影部分的面积。
答案
（1）$a^{2}-\left( \dfrac{a}{2} \right)^{2}\pi$。（2）$\dfrac{1}{2}ab-\pi r^{2}$。
11. 用代数式表示下图中阴影部分的面积。
答案
$ab+ac-a^{2}$
12. 把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长为 $ m $ cm,宽为 $ n $ cm)的盒子底部(如图②)。盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示,请尝试表示两块阴影部分周长和。
答案
$4n$
解析
设小长方形的长为$a$ cm，宽为$b$ cm。
由图②可知，上面阴影部分的长为$(m - a)$ cm，宽为$b$ cm，其周长为$2[(m - a) + b]$；下面阴影部分的长为$(m - 2b)$ cm，宽为$(n - b)$ cm，其周长为$2[(m - 2b) + (n - b)]$。
两块阴影部分周长和为：
$\begin{aligned}&2[(m - a) + b] + 2[(m - 2b) + (n - b)]\\=&2(m - a + b) + 2(m - 2b + n - b)\\=&2m - 2a + 2b + 2m - 4b + 2n - 2b\\=&4m - 2a - 4b + 2n\end{aligned}$
又因为从图②中可得$a + 2b = m$，即$a = m - 2b$，代入上式：
$\begin{aligned}&4m - 2(m - 2b) - 4b + 2n\\=&4m - 2m + 4b - 4b + 2n\\=&2m + 2n\end{aligned}$
再由图②可知$n = a + b$，即$a = n - b$，结合$a = m - 2b$，可得$n - b = m - 2b$，即$n = m - b$，$m = n + b$，代入$2m + 2n$得：
$2(n + b) + 2n = 2n + 2b + 2n = 4n$
$4n$
由图②可知，上面阴影部分的长为$(m - a)$ cm，宽为$b$ cm，其周长为$2[(m - a) + b]$；下面阴影部分的长为$(m - 2b)$ cm，宽为$(n - b)$ cm，其周长为$2[(m - 2b) + (n - b)]$。
两块阴影部分周长和为：
$\begin{aligned}&2[(m - a) + b] + 2[(m - 2b) + (n - b)]\\=&2(m - a + b) + 2(m - 2b + n - b)\\=&2m - 2a + 2b + 2m - 4b + 2n - 2b\\=&4m - 2a - 4b + 2n\end{aligned}$
又因为从图②中可得$a + 2b = m$，即$a = m - 2b$，代入上式：
$\begin{aligned}&4m - 2(m - 2b) - 4b + 2n\\=&4m - 2m + 4b - 4b + 2n\\=&2m + 2n\end{aligned}$
再由图②可知$n = a + b$，即$a = n - b$，结合$a = m - 2b$，可得$n - b = m - 2b$，即$n = m - b$，$m = n + b$，代入$2m + 2n$得：
$2(n + b) + 2n = 2n + 2b + 2n = 4n$
$4n$
