例 如图，▱$ABCD$ 的对角线交于点 $O$，过点 $O$ 的直线分别交 $AD$，$BC$ 于点 $F$，$E$，$AB = 3$，$BC = 4$，$OE = \sqrt{2}$.

(1) 求证 $OE = OF$.
(2) 求四边形 $DCEF$ 的周长.
分析：利用平行四边形对角线互相平分得 $OA = OC$，证 $△ AOF ≌ △ COE$，得 $OE = OF$，$CE = AF$，从而 $CE + DF = AF + DF = AD = BC = 4$，$EF = 2OE = 2\sqrt{2}$. 又因为 $CD = AB = 3$，所以四边形 $DCEF$ 的周长为 $7 + 2\sqrt{2}$.
(1) 证明：$\because$▱$ABCD$ 的对角线交于点 $O$，
$\therefore AO = CO$，$BO = DO$.
又 $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD // BC$. $\therefore ∠ FAO = ∠ ECO$.

在 $△ AOF$ 和 $△ COE$ 中，$\begin{cases} ∠ FAO = ∠ ECO, \\ AO = CO, \\ ∠ AOF = ∠ COE, \end{cases}$
$\therefore △ AOF ≌ △ COE(ASA)$. $\therefore OE = OF$.
(2) 解：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD = BC = 4$，$CD = AB = 3$.
由 (1) 得 $AF = CE$，$EF = 2OE = 2\sqrt{2}$，
$\therefore CE + CD + DF + EF = AF + DF + CD + EF$
$= AD + CD + EF = 4 + 3 + 2\sqrt{2} = 7 + 2\sqrt{2}$.
$\therefore$ 四边形 $DCEF$ 的周长为 $7 + 2\sqrt{2}$.

(1)证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，对角线交于点$O$，
∴$AO=CO$，$AD// BC$，
∴$∠ FAO=∠ ECO$，
在$△ AOF$和$△ COE$中，
$\begin{cases}∠ FAO=∠ ECO \\AO=CO \\∠ AOF=∠ COE\end{cases}$
∴$△ AOF≌△ COE(ASA)$，
∴$OE=OF$。
(2)解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD=BC=4$，$CD=AB=3$，
由(1)知$△ AOF≌△ COE$，$OE=OF$，
∴$AF=CE$，$EF=2OE=2\sqrt{2}$，
则四边形$DCEF$的周长为：
$CE+CD+DF+EF=AF+DF+CD+EF=AD+CD+EF=4+3+2\sqrt{2}=7+2\sqrt{2}$。
∴四边形$DCEF$的周长为$7+2\sqrt{2}$。