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10. 已知两个式子$A=\frac{4}{x^{2}-4}$，$B=\frac{x - 4}{x^{2}-4}+\frac{x}{4 - x^{2}}$，其中$x≠\pm2$，则$A$与$B$的关系是(
A.相等
B.互为相反数
C.互为倒数
D.$A$大于$B$
B
)A.相等
B.互为相反数
C.互为倒数
D.$A$大于$B$
答案
10. B
解析
【分析】
要判断A与B的关系，首先需要对B进行化简。观察到B中两个分式的分母分别为$x^2-4$和$4-x^2$，二者互为相反数，可先将分母统一为$x^2-4$，再进行分式的加减运算，最后将化简后的B与A对比，即可得出二者的关系。
【解析】
首先化简B：
$\begin{aligned}B&=\frac{x - 4}{x^{2}-4}+\frac{x}{4 - x^{2}}\\&=\frac{x - 4}{x^{2}-4}-\frac{x}{x^{2}-4}\\&=\frac{(x - 4)-x}{x^{2}-4}\\&=\frac{x - 4 - x}{x^{2}-4}\\&=\frac{-4}{x^{2}-4}\end{aligned}$
已知$A=\frac{4}{x^{2}-4}$，则$A+B=\frac{4}{x^{2}-4}+\frac{-4}{x^{2}-4}=0$，根据相反数的定义，可知A与B互为相反数。
【答案】
B
【知识点】
分式的加减运算、相反数的概念
【点评】
本题考查分式的化简及相反数的判断，解题关键是正确处理分母互为相反数的分式，将其转化为同分母分式再进行运算，注意符号的变化，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
要判断A与B的关系，首先需要对B进行化简。观察到B中两个分式的分母分别为$x^2-4$和$4-x^2$，二者互为相反数，可先将分母统一为$x^2-4$，再进行分式的加减运算，最后将化简后的B与A对比，即可得出二者的关系。
【解析】
首先化简B：
$\begin{aligned}B&=\frac{x - 4}{x^{2}-4}+\frac{x}{4 - x^{2}}\\&=\frac{x - 4}{x^{2}-4}-\frac{x}{x^{2}-4}\\&=\frac{(x - 4)-x}{x^{2}-4}\\&=\frac{x - 4 - x}{x^{2}-4}\\&=\frac{-4}{x^{2}-4}\end{aligned}$
已知$A=\frac{4}{x^{2}-4}$，则$A+B=\frac{4}{x^{2}-4}+\frac{-4}{x^{2}-4}=0$，根据相反数的定义，可知A与B互为相反数。
【答案】
B
【知识点】
分式的加减运算、相反数的概念
【点评】
本题考查分式的化简及相反数的判断，解题关键是正确处理分母互为相反数的分式，将其转化为同分母分式再进行运算，注意符号的变化，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
11. 已知$x = 1 + 2^{m}$，$y=\frac{1}{2^{m}}-\frac{x - 1}{1 - x}$，则$y =$
$\frac{x}{x - 1}$
。(用含$x$的代数式表示)答案
11. $\frac{x}{x - 1}$
解析
【分析】
首先观察y的表达式，其中包含分式$\frac{x - 1}{1 - x}$和$\frac{1}{2^m}$。先处理分式部分：利用分子分母的相反数关系，可将$\frac{x - 1}{1 - x}$化简为-1；接着从已知条件$x = 1 + 2^{m}$中解出$2^m=x-1$，进而得到$\frac{1}{2^m}=\frac{1}{x-1}$；最后将这两个结果代入y的表达式，通过通分计算即可得到用x表示的y。
【解析】
1. 化简分式：
因为$x-1=-(1-x)$，所以$\frac{x - 1}{1 - x}=\frac{-(1-x)}{1-x}=-1$；
2. 由已知条件变形求$\frac{1}{2^m}$：
由$x = 1 + 2^{m}$，移项得$2^m=x-1$，则$\frac{1}{2^m}=\frac{1}{x-1}$；
3. 代入y的表达式计算：
将上述结果代入$y=\frac{1}{2^{m}}-\frac{x - 1}{1 - x}$，得：
$y=\frac{1}{x-1}-(-1)=\frac{1}{x-1}+1$；
4. 通分合并：
将1化为$\frac{x-1}{x-1}$，则$y=\frac{1 + (x-1)}{x-1}=\frac{x}{x-1}$。
【答案】
$\frac{x}{x - 1}$
【知识点】
分式化简、代数式代入求值、指数式变形
【点评】
本题考查分式化简与代数式的转换，解题时需注意符号的处理，先化简复杂分式再进行代入计算，能有效降低运算难度，整体思路清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
首先观察y的表达式，其中包含分式$\frac{x - 1}{1 - x}$和$\frac{1}{2^m}$。先处理分式部分：利用分子分母的相反数关系，可将$\frac{x - 1}{1 - x}$化简为-1；接着从已知条件$x = 1 + 2^{m}$中解出$2^m=x-1$，进而得到$\frac{1}{2^m}=\frac{1}{x-1}$；最后将这两个结果代入y的表达式，通过通分计算即可得到用x表示的y。
【解析】
1. 化简分式：
因为$x-1=-(1-x)$，所以$\frac{x - 1}{1 - x}=\frac{-(1-x)}{1-x}=-1$；
2. 由已知条件变形求$\frac{1}{2^m}$：
由$x = 1 + 2^{m}$，移项得$2^m=x-1$，则$\frac{1}{2^m}=\frac{1}{x-1}$；
3. 代入y的表达式计算：
将上述结果代入$y=\frac{1}{2^{m}}-\frac{x - 1}{1 - x}$，得：
$y=\frac{1}{x-1}-(-1)=\frac{1}{x-1}+1$；
4. 通分合并：
将1化为$\frac{x-1}{x-1}$，则$y=\frac{1 + (x-1)}{x-1}=\frac{x}{x-1}$。
【答案】
$\frac{x}{x - 1}$
【知识点】
分式化简、代数式代入求值、指数式变形
【点评】
本题考查分式化简与代数式的转换，解题时需注意符号的处理，先化简复杂分式再进行代入计算，能有效降低运算难度，整体思路清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
12. 先化简，再求值。
（1）$\frac{a^{2}-2ab + b^{2}}{a^{2}-b^{2}}+\frac{b}{a + b}$，其中$a = -2$，$b = 1$。
（2）$\frac{x^{2}-9}{x - 1}÷\frac{x^{2}+3x}{x - 1}+\frac{4}{x}$，其中$x = 2$。
（1）$\frac{a^{2}-2ab + b^{2}}{a^{2}-b^{2}}+\frac{b}{a + b}$，其中$a = -2$，$b = 1$。
（2）$\frac{x^{2}-9}{x - 1}÷\frac{x^{2}+3x}{x - 1}+\frac{4}{x}$，其中$x = 2$。
答案
12. 解：(1)原式$=\frac{(a - b)^2}{a^2 - b^2}+\frac{b}{a + b}=\frac{(a - b)^2}{(a + b)(a - b)}+\frac{b}{a + b}=\frac{a - b}{a + b}+\frac{b}{a + b}=\frac{a}{a + b}$。
当$a = - 2$，$b = 1$时，原式$=\frac{a}{a + b}=\frac{-2}{-2 + 1}=2$。
(2)原式$=\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 1}·\frac{x - 1}{x(x + 3)}+\frac{4}{x}=\frac{x + 1}{x}$，
当$x = 2$时，原式$=\frac{3}{2}$。
当$a = - 2$，$b = 1$时，原式$=\frac{a}{a + b}=\frac{-2}{-2 + 1}=2$。
(2)原式$=\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 1}·\frac{x - 1}{x(x + 3)}+\frac{4}{x}=\frac{x + 1}{x}$，
当$x = 2$时，原式$=\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
对于（1），首先观察分式的分子分母，第一个分式的分子是完全平方形式，分母是平方差形式，先利用因式分解公式将其分解，然后约分简化，再将两个分式通分（约分后分母相同），合并得到最简分式，最后代入给定的a、b的值计算结果。
对于（2），先根据分式除法法则将除法转化为乘法，对分子分母进行因式分解后约分，再与后面的分式通分相加，最后代入x=2计算结果。先化简再求值能大幅简化计算量，避免直接代入的复杂运算。
【解析】
(1)
原式$=\frac{(a - b)^2}{a^2 - b^2}+\frac{b}{a + b}$
$=\frac{(a - b)^2}{(a + b)(a - b)}+\frac{b}{a + b}$
$=\frac{a - b}{a + b}+\frac{b}{a + b}$
$=\frac{a}{a + b}$
当$a = - 2$，$b = 1$时，
原式$=\frac{-2}{-2 + 1}=2$
(2)
原式$=\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 1}·\frac{x - 1}{x(x + 3)}+\frac{4}{x}$
$=\frac{x - 3}{x}+\frac{4}{x}$
$=\frac{x + 1}{x}$
当$x = 2$时，
原式$=\frac{2 + 1}{2}=\frac{3}{2}$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{\frac{3}{2}}$
【知识点】
分式化简求值、因式分解、分式四则运算
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是运用因式分解（完全平方公式、平方差公式）对分式约分简化，结合分式四则运算规则计算。先化简再代入的思路能有效降低计算难度，解题时需注意因式分解的正确性以及分式运算中的符号问题，是分式运算的基础题型。
【难度系数】
0.7
对于（1），首先观察分式的分子分母，第一个分式的分子是完全平方形式，分母是平方差形式，先利用因式分解公式将其分解，然后约分简化，再将两个分式通分（约分后分母相同），合并得到最简分式，最后代入给定的a、b的值计算结果。
对于（2），先根据分式除法法则将除法转化为乘法，对分子分母进行因式分解后约分，再与后面的分式通分相加，最后代入x=2计算结果。先化简再求值能大幅简化计算量，避免直接代入的复杂运算。
【解析】
(1)
原式$=\frac{(a - b)^2}{a^2 - b^2}+\frac{b}{a + b}$
$=\frac{(a - b)^2}{(a + b)(a - b)}+\frac{b}{a + b}$
$=\frac{a - b}{a + b}+\frac{b}{a + b}$
$=\frac{a}{a + b}$
当$a = - 2$，$b = 1$时，
原式$=\frac{-2}{-2 + 1}=2$
(2)
原式$=\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 1}·\frac{x - 1}{x(x + 3)}+\frac{4}{x}$
$=\frac{x - 3}{x}+\frac{4}{x}$
$=\frac{x + 1}{x}$
当$x = 2$时，
原式$=\frac{2 + 1}{2}=\frac{3}{2}$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{\frac{3}{2}}$
【知识点】
分式化简求值、因式分解、分式四则运算
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是运用因式分解（完全平方公式、平方差公式）对分式约分简化，结合分式四则运算规则计算。先化简再代入的思路能有效降低计算难度，解题时需注意因式分解的正确性以及分式运算中的符号问题，是分式运算的基础题型。
【难度系数】
0.7
13. 从甲地到乙地有两条路，每条路都长$6\mathrm{km}$，其中第一条路是平路，第二条路有$3\mathrm{km}$的上坡路、$3\mathrm{km}$的下坡路。小丽在上坡路上的骑车速度为$v\mathrm{km/h}$，在平路上的骑车速度为$2v\mathrm{km/h}$，在下坡路上的骑车速度为$3v\mathrm{km/h}$。
（1）走第二条路时，小丽从甲地到乙地需要多长时间？
（2）小丽走哪条路花费的时间少？少多长时间？
（1）走第二条路时，小丽从甲地到乙地需要多长时间？
（2）小丽走哪条路花费的时间少？少多长时间？
答案
13. 解：(1)走第二条路时，小丽从甲地到乙地需要的时间为$\frac{3}{v}+\frac{3}{3v}=\frac{3}{v}+\frac{1}{v}=\frac{4}{v}$(h)。
(2)小丽走第一条路时所用的时间为$\frac{6}{2v}=\frac{3}{v}$(h)，$\frac{4}{v}-\frac{3}{v}=\frac{1}{v}$(h)，故小丽走第一条路花费的时间少，少$\frac{1}{v}$h。
(2)小丽走第一条路时所用的时间为$\frac{6}{2v}=\frac{3}{v}$(h)，$\frac{4}{v}-\frac{3}{v}=\frac{1}{v}$(h)，故小丽走第一条路花费的时间少，少$\frac{1}{v}$h。
解析
【分析】
（1）要计算走第二条路的时间，根据“时间=路程÷速度”，第二条路分为3km上坡和3km下坡，分别算出上坡时间和下坡时间，再将两者相加即可得到总时间。
（2）先根据平路的路程和速度算出第一条路的时间，再将两条路的时间作差比较大小，差值即为少用的时间，若差值为正，则被减数对应的路用时多，减数对应的路用时少。
【解析】
(1) 已知第二条路有3km上坡路，上坡速度为$v\mathrm{km/h}$，根据“时间=路程÷速度”，上坡时间为$\frac{3}{v}\mathrm{h}$；
下坡路长3km，下坡速度为$3v\mathrm{km/h}$，下坡时间为$\frac{3}{3v}\mathrm{h}$。
则走第二条路的总时间为：
$\frac{3}{v}+\frac{3}{3v}=\frac{3}{v}+\frac{1}{v}=\frac{4}{v}(\mathrm{h})$
(2) 第一条路是6km平路，平路速度为$2v\mathrm{km/h}$，则走第一条路的时间为：
$\frac{6}{2v}=\frac{3}{v}(\mathrm{h})$
比较两条路的时间：$\frac{4}{v}-\frac{3}{v}=\frac{1}{v}(\mathrm{h})$
因为$\frac{1}{v}＞0$，所以走第一条路花费的时间少，少$\frac{1}{v}\mathrm{h}$。
【答案】
(1) $\frac{4}{v}\mathrm{h}$；
(2) 走第一条路花费的时间少，少$\frac{1}{v}\mathrm{h}$。
【知识点】
路程速度时间关系、分式加减运算
【点评】
本题主要考查路程、速度、时间三者的关系以及分式的加减运算，解题关键是熟练运用“时间=路程÷速度”公式，同时掌握分式通分、化简的基本方法，题目较为基础，注重对公式和运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
（1）要计算走第二条路的时间，根据“时间=路程÷速度”，第二条路分为3km上坡和3km下坡，分别算出上坡时间和下坡时间，再将两者相加即可得到总时间。
（2）先根据平路的路程和速度算出第一条路的时间，再将两条路的时间作差比较大小，差值即为少用的时间，若差值为正，则被减数对应的路用时多，减数对应的路用时少。
【解析】
(1) 已知第二条路有3km上坡路，上坡速度为$v\mathrm{km/h}$，根据“时间=路程÷速度”，上坡时间为$\frac{3}{v}\mathrm{h}$；
下坡路长3km，下坡速度为$3v\mathrm{km/h}$，下坡时间为$\frac{3}{3v}\mathrm{h}$。
则走第二条路的总时间为：
$\frac{3}{v}+\frac{3}{3v}=\frac{3}{v}+\frac{1}{v}=\frac{4}{v}(\mathrm{h})$
(2) 第一条路是6km平路，平路速度为$2v\mathrm{km/h}$，则走第一条路的时间为：
$\frac{6}{2v}=\frac{3}{v}(\mathrm{h})$
比较两条路的时间：$\frac{4}{v}-\frac{3}{v}=\frac{1}{v}(\mathrm{h})$
因为$\frac{1}{v}＞0$，所以走第一条路花费的时间少，少$\frac{1}{v}\mathrm{h}$。
【答案】
(1) $\frac{4}{v}\mathrm{h}$；
(2) 走第一条路花费的时间少，少$\frac{1}{v}\mathrm{h}$。
【知识点】
路程速度时间关系、分式加减运算
【点评】
本题主要考查路程、速度、时间三者的关系以及分式的加减运算，解题关键是熟练运用“时间=路程÷速度”公式，同时掌握分式通分、化简的基本方法，题目较为基础，注重对公式和运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
14. 已知$abc = 1$，求$\frac{a}{ab + a + 1}+\frac{b}{bc + b + 1}+\frac{c}{ac + c + 1}$的值。
答案
14. 解：原式$=\frac{ac}{(ab + a + 1)c}+\frac{b}{bc + b + abc}+\frac{c}{ac + c + 1}$
$=\frac{ac}{abc + ac + c}+\frac{b}{b(c + 1 + ac)}+\frac{c}{ac + c + 1}$
$=\frac{ac}{1 + ac + c}+\frac{1}{c + 1 + ac}+\frac{c}{ac + c + 1}$
$=\frac{ac + c + 1}{ac + c + 1}=1$。
$=\frac{ac}{abc + ac + c}+\frac{b}{b(c + 1 + ac)}+\frac{c}{ac + c + 1}$
$=\frac{ac}{1 + ac + c}+\frac{1}{c + 1 + ac}+\frac{c}{ac + c + 1}$
$=\frac{ac + c + 1}{ac + c + 1}=1$。
解析
【分析】
题目已知$abc = 1$，要求三个分式的和。直接通分计算量较大，我们可以利用$abc = 1$这个条件，通过分式的基本性质将三个分式的分母转化为相同形式，再进行加减运算。具体思路：第一个分式分子分母同乘$c$，利用$abc=1$将分母中的$abc$替换为1；第二个分式把分母里的1换成$abc$，提取公因式后约分，得到与第一个分式相同的分母；第三个分式的分母已和前两个转化后的分母一致，最后将三个分式的分子相加，发现分子与分母相等，即可得出结果。
【解析】
解：原式$=\frac{ac}{(ab + a + 1)c}+\frac{b}{bc + b + abc}+\frac{c}{ac + c + 1}$
$=\frac{ac}{abc + ac + c}+\frac{b}{b(c + 1 + ac)}+\frac{c}{ac + c + 1}$
$=\frac{ac}{1 + ac + c}+\frac{1}{c + 1 + ac}+\frac{c}{ac + c + 1}$
$=\frac{ac + 1 + c}{ac + c + 1}$
$=\frac{ac + c + 1}{ac + c + 1}=1$
【答案】
1
【知识点】
分式的化简求值、分式的基本性质、整体代入思想
【点评】
本题核心是灵活运用$abc=1$的条件，通过分式基本性质变形统一分母，体现了转化与整体代入的数学思想，避免了盲目通分的繁琐计算，需要学生具备观察分式结构、灵活变形的能力。
【难度系数】
0.4
题目已知$abc = 1$，要求三个分式的和。直接通分计算量较大，我们可以利用$abc = 1$这个条件，通过分式的基本性质将三个分式的分母转化为相同形式，再进行加减运算。具体思路：第一个分式分子分母同乘$c$，利用$abc=1$将分母中的$abc$替换为1；第二个分式把分母里的1换成$abc$，提取公因式后约分，得到与第一个分式相同的分母；第三个分式的分母已和前两个转化后的分母一致，最后将三个分式的分子相加，发现分子与分母相等，即可得出结果。
【解析】
解：原式$=\frac{ac}{(ab + a + 1)c}+\frac{b}{bc + b + abc}+\frac{c}{ac + c + 1}$
$=\frac{ac}{abc + ac + c}+\frac{b}{b(c + 1 + ac)}+\frac{c}{ac + c + 1}$
$=\frac{ac}{1 + ac + c}+\frac{1}{c + 1 + ac}+\frac{c}{ac + c + 1}$
$=\frac{ac + 1 + c}{ac + c + 1}$
$=\frac{ac + c + 1}{ac + c + 1}=1$
【答案】
1
【知识点】
分式的化简求值、分式的基本性质、整体代入思想
【点评】
本题核心是灵活运用$abc=1$的条件，通过分式基本性质变形统一分母，体现了转化与整体代入的数学思想，避免了盲目通分的繁琐计算，需要学生具备观察分式结构、灵活变形的能力。
【难度系数】
0.4
