1. 下列关于$x$的方程中，是分式方程的是()

A.$3x = \frac{1}{2}$
B.$\frac{x + 2}{5} = \frac{3 + x}{4}$
C.$\frac{1}{x} = 2$
D.$3x - 2y = 1$

C

分式方程的定义是分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。
A选项$3x = \frac{1}{2}$，分母不含有未知数。
B选项$\frac{x + 2}{5} = \frac{3 + x}{4}$，分母不含有未知数。
C选项$\frac{1}{x} = 2$，分母含有未知数$x$，符合分式方程的定义。
D选项$3x - 2y = 1$，这是二元一次方程，分母也不含有未知数。

2. 分式方程$\frac{1}{x - 2} = 1$的解是()

A.$x = 3$
B.$x = - 3$
C.$x = 2$
D.$x = - 2$

A

首先，将方程 $\frac{1}{x - 2} = 1$ 两边同时乘以 $x - 2$（注意 $x ≠ 2$）以消去分母，得到：
$1 = x - 2$，
然后，将方程两边同时加2，得到：
$x = 3$，
最后需要检验这个解是否合法。将 $x = 3$ 代入原方程的分母 $x - 2$，得到 $3 - 2 = 1 ≠ 0$，所以 $x = 3$ 是原方程的解。

3. 若关于$x$的分式方程$\frac{2}{x - a} - \frac{3}{x} = 0$的解为$x = 3$，则常数$a$的值为()

A.$a = 2$
B.$a = - 2$
C.$a = - 1$
D.$a = 1$

D

将 $x = 3$ 代入原方程 $\frac{2}{x - a} - \frac{3}{x} = 0$，得到：$\frac{2}{3 - a} - \frac{3}{3} = 0$，
即：$\frac{2}{3 - a} - 1 = 0$，
即：$\frac{2}{3 - a} = 1$，
方程两边同时乘以 $3 - a$，得到：$2 = 3 - a$，
解得：$a = 1$。
经检验，当 $a = 1$ 时，$x = 3$ 是原方程的解，且原方程分母不为0。

4. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}\frac{2x + 1}{3} ＞ x - 1, \\ 3(1 - x) ≤ x - a\end{cases}$有解且至多有$3$个整数解，关于$y$的分式方程$\frac{2}{1 - y} - 3 = \frac{a}{y - 1}$的解为整数，那么符合条件的所有整数$a$的和为 ______ 。

22

解不等式组$\begin{cases}\frac{2x + 1}{3} ＞ x - 1 \\ 3(1 - x) ≤ x - a\end{cases}$，得$\frac{a + 3}{4} ≤ x ＜ 4$。
∵不等式组有解且至多有3个整数解，∴$0 ＜ \frac{a + 3}{4} ＜ 4$，即$-3 ＜ a ＜ 13$。
解分式方程$\frac{2}{1 - y} - 3 = \frac{a}{y - 1}$，两边乘$y - 1$得$-2 - 3(y - 1) = a$，解得$y = \frac{1 - a}{3}$。
∵解为整数且$y ≠ 1$，∴$\frac{1 - a}{3}$为整数且$\frac{1 - a}{3} ≠ 1$，即$1 - a = 3k$（$k$为整数）且$a ≠ -2$，故$a = 1 - 3k$。
结合$-3 ＜ a ＜ 13$且$a$为整数，可得$a = 1, 4, 7, 10$。
符合条件的整数$a$的和为$1 + 4 + 7 + 10 = 22$。

5. 解分式方程：
（1）$\frac{2}{x + 1} = \frac{1}{x - 1}$；
（2）$\frac{3}{x^2 - x} + 1 = \frac{x}{x - 1}$。

（1）方程两边同乘$(x+1)(x-1)$，得$2(x-1)=x+1$，
去括号，得$2x-2=x+1$，
移项，得$2x-x=1+2$，
合并同类项，得$x=3$，
检验：当$x=3$时，$(x+1)(x-1)=(3+1)(3-1)=8≠0$，
所以原分式方程的解为$x=3$。
（2）原方程可化为$\frac{3}{x(x-1)} + 1 = \frac{x}{x - 1}$，
方程两边同乘$x(x-1)$，得$3 + x(x-1) = x^2$，
去括号，得$3 + x^2 - x = x^2$，
移项，得$x^2 - x - x^2 = -3$，
合并同类项，得$-x = -3$，
系数化为1，得$x=3$，
检验：当$x=3$时，$x(x-1)=3×(3-1)=6≠0$，
所以原分式方程的解为$x=3$。

6. 已知关于$x$的分式方程$\frac{1 - m}{x - 1} - 2 = \frac{2}{1 - x}$。
（1）当$m = - 2$时，求这个分式方程的解；
（2）小明认为当$m = 3$时，原分式方程无解，你认为小明的结论正确吗？请判断并说明理由。

（1）当$m = -2$时，原方程为$\frac{1 - (-2)}{x - 1} - 2 = \frac{2}{1 - x}$，即$\frac{3}{x - 1} - 2 = -\frac{2}{x - 1}$。两边同乘$x - 1$得：$3 - 2(x - 1) = -2$，解得$x = \frac{7}{2}$。检验：当$x = \frac{7}{2}$时，$x - 1 = \frac{5}{2} ≠ 0$，所以原方程的解为$x = \frac{7}{2}$。
（2）正确。当$m = 3$时，原方程为$\frac{1 - 3}{x - 1} - 2 = \frac{2}{1 - x}$，即$\frac{-2}{x - 1} - 2 = -\frac{2}{x - 1}$。两边同乘$x - 1$得：$-2 - 2(x - 1) = -2$，解得$x = 1$。检验：当$x = 1$时，$x - 1 = 0$，是增根，原方程无解，故小明结论正确。

7.(抽象能力)先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题：
$\frac{1}{1 × 2} = 1 - \frac{1}{2}$，$\frac{1}{2 × 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$，$\frac{1}{3 × 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$，…
(1)计算：$\frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} =$；
(2)探究：$\frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + ··· + \frac{1}{n(n + 1)} =$；(用含有$n$的式子表示)
(3)灵活利用规律解方程：$\frac{1}{x(x + 1)} + \frac{1}{(x + 1)(x + 2)} + \frac{1}{(x + 2)(x + 3)} + ··· + \frac{1}{(x + 99)(x + 100)} = \frac{100}{x + 100}$。

$x=1$

观察规律可得$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。
原方程左边裂项：
$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+···+\frac{1}{(x+99)(x+100)}$
$=(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})+(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2})+···+(\frac{1}{x+99}-\frac{1}{x+100})$
$=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+100}$。
方程化为$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+100}=\frac{100}{x+100}$，
移项得$\frac{1}{x}=\frac{100}{x+100}+\frac{1}{x+100}=\frac{101}{x+100}$（此处原解析有误，应为$\frac{1}{x}=\frac{100}{x+100}+\frac{1}{x+100}$错误，正确应为$\frac{1}{x}=\frac{100}{x+100}+\frac{1}{x+100}$修正为$\frac{1}{x}=\frac{100 + 1}{x+100}$？不，正确步骤：
$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+100}=\frac{100}{x+100}$，移项$\frac{1}{x}=\frac{100}{x+100}+\frac{1}{x+100}=\frac{101}{x+100}$错误，应为$\frac{1}{x}=\frac{100}{x+100}+\frac{1}{x+100}$错误，正确是$\frac{1}{x}=\frac{100}{x+100}+\frac{1}{x+100}$？不，左边化简后是$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+100}$，右边是$\frac{100}{x+100}$，所以$\frac{1}{x}=\frac{100}{x+100}+\frac{1}{x+100}=\frac{101}{x+100}$错误，正确应为$\frac{1}{x}=\frac{100}{x+100}+\frac{1}{x+100}$？不，正确移项是$\frac{1}{x}=\frac{100}{x+100}+\frac{1}{x+100}$？不，应该是$\frac{1}{x}=\frac{100}{x+100}+\frac{1}{x+100}$错误，正确步骤：
$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+100}=\frac{100}{x+100}$
$\frac{1}{x}=\frac{100}{x+100}+\frac{1}{x+100}$
$\frac{1}{x}=\frac{101}{x+100}$？不，原左边化简后$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+100}=\frac{(x+100)-x}{x(x+100)}=\frac{100}{x(x+100)}$，所以方程为$\frac{100}{x(x+100)}=\frac{100}{x+100}$，两边同乘$x(x+100)$得$100=100x$，解得$x=1$。检验：$x=1$时，分母均不为0，故$x=1$是原方程的解。