登录
(1)圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的(
$\frac {1}{3}$
)，圆锥的体积公式用字母表示是($V=\frac {1}{3}Sh$
)。答案
1. (1)$\frac {1}{3}$ $V=\frac {1}{3}Sh$
解析
【分析】
首先回忆圆柱与圆锥体积的关系：当圆锥和圆柱等底等高时，通过实验推导可知圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。接着推导圆锥体积公式，因为圆柱体积公式为$V=Sh$（$S$是底面积，$h$是高），所以等底等高的圆锥体积就是圆柱体积的三分之一，用字母表示为$V=\frac{1}{3}Sh$。
【解析】
1. 第一个空：根据圆柱和圆锥的体积关系，等底等高的圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$。
2. 第二个空：由于圆锥体积是等底等高圆柱体积的$\frac{1}{3}$，结合圆柱体积公式$V=Sh$，可得圆锥体积公式用字母表示为$V=\frac{1}{3}Sh$（$S$为圆锥底面积，$h$为圆锥的高）。
【答案】
$\frac{1}{3}$；$V=\frac{1}{3}Sh$
【知识点】
圆锥与圆柱体积关系、圆锥体积公式
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对圆锥与圆柱等底等高时体积关系及圆锥体积公式的掌握，需牢记“等底等高”这一关键前提，避免混淆体积关系。
【难度系数】
0.9
首先回忆圆柱与圆锥体积的关系：当圆锥和圆柱等底等高时，通过实验推导可知圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。接着推导圆锥体积公式，因为圆柱体积公式为$V=Sh$（$S$是底面积，$h$是高），所以等底等高的圆锥体积就是圆柱体积的三分之一，用字母表示为$V=\frac{1}{3}Sh$。
【解析】
1. 第一个空：根据圆柱和圆锥的体积关系，等底等高的圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$。
2. 第二个空：由于圆锥体积是等底等高圆柱体积的$\frac{1}{3}$，结合圆柱体积公式$V=Sh$，可得圆锥体积公式用字母表示为$V=\frac{1}{3}Sh$（$S$为圆锥底面积，$h$为圆锥的高）。
【答案】
$\frac{1}{3}$；$V=\frac{1}{3}Sh$
【知识点】
圆锥与圆柱体积关系、圆锥体积公式
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对圆锥与圆柱等底等高时体积关系及圆锥体积公式的掌握，需牢记“等底等高”这一关键前提，避免混淆体积关系。
【难度系数】
0.9
(2)一个圆柱的体积是$18\ m^{3}$，与它等底等高的圆锥的体积是(
6
)$m^{3}$。答案
1. (2)6
解析
【分析】
首先回忆圆柱和圆锥的体积关系：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$。题目中已知圆柱体积是$18\ m^3$，且圆锥与它等底等高，那么只需要用圆柱体积乘以$\frac{1}{3}$就能得到圆锥的体积。
【解析】
因为等底等高的圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，所以圆锥体积为：
$18×\frac{1}{3}=6$（$m^3$）
【答案】
6
【知识点】
等底等高圆柱与圆锥体积关系
【点评】
本题考查圆柱与圆锥的体积关系，属于基础题型，只要牢记等底等高时圆锥体积是圆柱的$\frac{1}{3}$，就能轻松求解。
【难度系数】
0.9
首先回忆圆柱和圆锥的体积关系：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$。题目中已知圆柱体积是$18\ m^3$，且圆锥与它等底等高，那么只需要用圆柱体积乘以$\frac{1}{3}$就能得到圆锥的体积。
【解析】
因为等底等高的圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，所以圆锥体积为：
$18×\frac{1}{3}=6$（$m^3$）
【答案】
6
【知识点】
等底等高圆柱与圆锥体积关系
【点评】
本题考查圆柱与圆锥的体积关系，属于基础题型，只要牢记等底等高时圆锥体积是圆柱的$\frac{1}{3}$，就能轻松求解。
【难度系数】
0.9
(3)一个圆锥的体积是$6.5\ m^{3}$，与它等底等高的圆柱的体积是(
19.5
)$m^{3}$。答案
1. (3)19.5
解析
【分析】
首先回忆圆柱和圆锥的体积关系：当圆柱与圆锥等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，即圆柱体积是等底等高圆锥体积的3倍。题目已知圆锥体积为$6.5\ m^3$，要求等底等高的圆柱体积，只需用圆锥体积乘以3即可。
【解析】
因为等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，所以圆柱体积计算如下：
$6.5×3 = 19.5$（$m^3$）
【答案】
19.5
【知识点】
圆柱与圆锥的体积关系
【点评】
本题考查等底等高的圆柱与圆锥体积的倍数关系，属于立体图形体积计算的基础考点，牢记该核心关系就能快速解答此类题目。
【难度系数】
0.9
首先回忆圆柱和圆锥的体积关系：当圆柱与圆锥等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，即圆柱体积是等底等高圆锥体积的3倍。题目已知圆锥体积为$6.5\ m^3$，要求等底等高的圆柱体积，只需用圆锥体积乘以3即可。
【解析】
因为等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，所以圆柱体积计算如下：
$6.5×3 = 19.5$（$m^3$）
【答案】
19.5
【知识点】
圆柱与圆锥的体积关系
【点评】
本题考查等底等高的圆柱与圆锥体积的倍数关系，属于立体图形体积计算的基础考点，牢记该核心关系就能快速解答此类题目。
【难度系数】
0.9
(4)一个圆锥的底面积是$7.8\ cm^{2}$，高是$1.8\ cm$，体积是(
4.68
)$cm^{3}$。答案
1. (4)4.68
解析
【分析】
要解决这道题，首先需回忆圆锥体积的计算公式：圆锥的体积=$\frac{1}{3}×$底面积$×$高。题目已直接给出圆锥的底面积和高，我们只需将对应数值代入公式，进行计算就能得到体积。
【解析】
根据圆锥体积公式$ V=\frac{1}{3}Sh $（其中$ S $表示底面积，$ h $表示高）：
已知$ S=7.8\ cm^2 $，$ h=1.8\ cm $，代入公式可得：
$ V=\frac{1}{3}×7.8×1.8 $
先计算$ 7.8×1.8=14.04 $，再计算$ 14.04÷3=4.68 $
即圆锥的体积为$ 4.68\ cm^3 $。
【答案】
4.68
【知识点】
圆锥的体积计算
【点评】
本题考查圆锥体积公式的直接应用，属于基础题型，只要牢记圆锥体积公式，准确代入数值计算即可得出结果，侧重对公式记忆与基本运算能力的考查。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需回忆圆锥体积的计算公式：圆锥的体积=$\frac{1}{3}×$底面积$×$高。题目已直接给出圆锥的底面积和高，我们只需将对应数值代入公式，进行计算就能得到体积。
【解析】
根据圆锥体积公式$ V=\frac{1}{3}Sh $（其中$ S $表示底面积，$ h $表示高）：
已知$ S=7.8\ cm^2 $，$ h=1.8\ cm $，代入公式可得：
$ V=\frac{1}{3}×7.8×1.8 $
先计算$ 7.8×1.8=14.04 $，再计算$ 14.04÷3=4.68 $
即圆锥的体积为$ 4.68\ cm^3 $。
【答案】
4.68
【知识点】
圆锥的体积计算
【点评】
本题考查圆锥体积公式的直接应用，属于基础题型，只要牢记圆锥体积公式，准确代入数值计算即可得出结果，侧重对公式记忆与基本运算能力的考查。
【难度系数】
0.9
(5)一个圆锥的底面半径是$2\ cm$，高是$3\ cm$，体积是(
12.56
)$cm^{3}$。答案
1. (5)12.56
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆圆锥体积的计算公式：圆锥体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一，公式为$V=\frac{1}{3}π r^2h$（其中$r$是底面半径，$h$是高）。接下来，题目已经给出底面半径$2cm$和高$3cm$，我们只需要将这些数值代入公式，按照先算乘方、再算乘法的顺序进行计算即可得到圆锥的体积。
【解析】
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，代入$r=2cm$，$h=3cm$，$π$取3.14：
$\begin{aligned}V&=\frac{1}{3}×3.14×2^2×3\\&=\frac{1}{3}×3×3.14×4\\&=1×3.14×4\\&=12.56(cm^3)\end{aligned}$
【答案】
12.56
【知识点】
圆锥的体积计算
【点评】
本题考查圆锥体积公式的直接应用，属于基础题型。解题关键是牢记圆锥体积公式，计算时注意运算顺序，同时注意$π$的取值（通常取3.14），仔细计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆圆锥体积的计算公式：圆锥体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一，公式为$V=\frac{1}{3}π r^2h$（其中$r$是底面半径，$h$是高）。接下来，题目已经给出底面半径$2cm$和高$3cm$，我们只需要将这些数值代入公式，按照先算乘方、再算乘法的顺序进行计算即可得到圆锥的体积。
【解析】
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，代入$r=2cm$，$h=3cm$，$π$取3.14：
$\begin{aligned}V&=\frac{1}{3}×3.14×2^2×3\\&=\frac{1}{3}×3×3.14×4\\&=1×3.14×4\\&=12.56(cm^3)\end{aligned}$
【答案】
12.56
【知识点】
圆锥的体积计算
【点评】
本题考查圆锥体积公式的直接应用，属于基础题型。解题关键是牢记圆锥体积公式，计算时注意运算顺序，同时注意$π$的取值（通常取3.14），仔细计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.9
2. 判断。(对的打“√”，错的打“×”)
(1)圆柱的体积比圆锥的体积大。 (
(2)一个圆柱的体积是$45\ cm^{3}$，与它等底等高的圆锥的体积是$15\ cm^{3}$。 (
(3)一个圆锥的体积是一个圆柱体体积的$\frac{1}{3}$，那么它们一定等底等高。 (
(4)等底等体积的一个圆锥和一个圆柱，圆锥的高为$6$米，那么圆柱的高是$18$米。 (
(1)圆柱的体积比圆锥的体积大。 (
×
)(2)一个圆柱的体积是$45\ cm^{3}$，与它等底等高的圆锥的体积是$15\ cm^{3}$。 (
√
)(3)一个圆锥的体积是一个圆柱体体积的$\frac{1}{3}$，那么它们一定等底等高。 (
×
)(4)等底等体积的一个圆锥和一个圆柱，圆锥的高为$6$米，那么圆柱的高是$18$米。 (
×
)答案
2. (1)× (2)√ (3)× (4)×
解析
【分析】
我们需要结合圆柱和圆锥的体积公式及相互关系逐一分析每个小题：
1. 第(1)题：圆柱体积公式为$V_{圆柱}=Sh$，圆锥体积公式为$V_{圆锥}=\frac{1}{3}Sh$，体积大小由底面积和高共同决定，题目未给出二者底面积、高的关联，无法直接比较体积大小，不能判定圆柱体积一定更大。
2. 第(2)题：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，已知圆柱体积为$45\ cm^3$，计算可得圆锥体积为$45×\frac{1}{3}=15\ cm^3$，与题目表述相符。
3. 第(3)题：圆锥体积是圆柱的$\frac{1}{3}$，仅说明圆锥底面积与高的乘积是圆柱底面积与高乘积的$\frac{1}{3}$，比如圆柱底面积$3\ cm^2$、高$4\ cm$，圆锥底面积$4\ cm^2$、高$3\ cm$，此时圆锥体积是圆柱的$\frac{1}{3}$，但二者不等底等高，所以该说法不成立。
4. 第(4)题：等底等体积时，圆柱的高是圆锥高的$\frac{1}{3}$，已知圆锥高为6米，那么圆柱高应为$6×\frac{1}{3}=2$米，并非18米，故该说法错误。
【解析】
(1) 圆柱和圆锥的体积受底面积和高的共同影响，无明确前提条件无法比较体积大小，故打“×”。
(2) 根据等底等高的圆锥与圆柱体积关系，计算得$45×\frac{1}{3}=15\ cm^3$，与题目结果一致，故打“√”。
(3) 圆锥体积是圆柱的$\frac{1}{3}$只需满足底面积与高的乘积关系，不一定等底等高，故打“×”。
(4) 等底等体积时，圆柱高为圆锥高的$\frac{1}{3}$，计算得$6×\frac{1}{3}=2$米≠18米，故打“×”。
【答案】
(1)× (2)√ (3)× (4)×
【知识点】
圆柱圆锥体积关系；等底等高体积特性；等底等体积高的关系
【点评】
本题核心考查圆柱与圆锥的体积关联，需重点理解体积公式中底面积、高、体积三者的相互作用，避免忽略前提条件直接套用体积比例的误区，明确不同条件下二者的体积、高的对应关系。
【难度系数】
0.6
我们需要结合圆柱和圆锥的体积公式及相互关系逐一分析每个小题：
1. 第(1)题：圆柱体积公式为$V_{圆柱}=Sh$，圆锥体积公式为$V_{圆锥}=\frac{1}{3}Sh$，体积大小由底面积和高共同决定，题目未给出二者底面积、高的关联，无法直接比较体积大小，不能判定圆柱体积一定更大。
2. 第(2)题：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，已知圆柱体积为$45\ cm^3$，计算可得圆锥体积为$45×\frac{1}{3}=15\ cm^3$，与题目表述相符。
3. 第(3)题：圆锥体积是圆柱的$\frac{1}{3}$，仅说明圆锥底面积与高的乘积是圆柱底面积与高乘积的$\frac{1}{3}$，比如圆柱底面积$3\ cm^2$、高$4\ cm$，圆锥底面积$4\ cm^2$、高$3\ cm$，此时圆锥体积是圆柱的$\frac{1}{3}$，但二者不等底等高，所以该说法不成立。
4. 第(4)题：等底等体积时，圆柱的高是圆锥高的$\frac{1}{3}$，已知圆锥高为6米，那么圆柱高应为$6×\frac{1}{3}=2$米，并非18米，故该说法错误。
【解析】
(1) 圆柱和圆锥的体积受底面积和高的共同影响，无明确前提条件无法比较体积大小，故打“×”。
(2) 根据等底等高的圆锥与圆柱体积关系，计算得$45×\frac{1}{3}=15\ cm^3$，与题目结果一致，故打“√”。
(3) 圆锥体积是圆柱的$\frac{1}{3}$只需满足底面积与高的乘积关系，不一定等底等高，故打“×”。
(4) 等底等体积时，圆柱高为圆锥高的$\frac{1}{3}$，计算得$6×\frac{1}{3}=2$米≠18米，故打“×”。
【答案】
(1)× (2)√ (3)× (4)×
【知识点】
圆柱圆锥体积关系；等底等高体积特性；等底等体积高的关系
【点评】
本题核心考查圆柱与圆锥的体积关联，需重点理解体积公式中底面积、高、体积三者的相互作用，避免忽略前提条件直接套用体积比例的误区，明确不同条件下二者的体积、高的对应关系。
【难度系数】
0.6
3. 一个圆锥的底面周长是$31.4\ dm$，高是$120\ cm$，它的体积是多少立方分米?
答案
3. 120 cm=12 dm
$(31.4÷3.14÷2)^{2}×3.14×12×\frac {1}{3}=314(dm^{3})$
$(31.4÷3.14÷2)^{2}×3.14×12×\frac {1}{3}=314(dm^{3})$
解析
【分析】
要计算圆锥的体积，首先回忆圆锥体积公式：$V=\frac{1}{3}Sh$（$S$是底面积，$h$是高）。首先需要统一单位，题目中高的单位是厘米，需转换为分米，与底面周长的单位一致；接着根据底面周长求出底面半径，再利用圆的面积公式算出底面积；最后将底面积和高代入圆锥体积公式计算即可。
【解析】
1. 统一单位：
$120\ cm = 12\ dm$
2. 计算底面半径：
由底面周长公式$C=2π r$，可得半径$r = 31.4÷3.14÷2 = 5\ dm$
3. 计算圆锥体积：
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，代入数据：
$(31.4÷3.14÷2)^2×3.14×12×\frac{1}{3}=314(dm^3)$
【答案】
$314\ dm^3$
【知识点】
圆锥体积计算、单位换算、圆的面积计算
【点评】
本题属于基础几何题，解题关键是注意单位统一，牢记圆锥体积公式需乘$\frac{1}{3}$，同时能熟练利用底面周长推导底面半径，计算时需细心避免出错。
【难度系数】
0.8
要计算圆锥的体积，首先回忆圆锥体积公式：$V=\frac{1}{3}Sh$（$S$是底面积，$h$是高）。首先需要统一单位，题目中高的单位是厘米，需转换为分米，与底面周长的单位一致；接着根据底面周长求出底面半径，再利用圆的面积公式算出底面积；最后将底面积和高代入圆锥体积公式计算即可。
【解析】
1. 统一单位：
$120\ cm = 12\ dm$
2. 计算底面半径：
由底面周长公式$C=2π r$，可得半径$r = 31.4÷3.14÷2 = 5\ dm$
3. 计算圆锥体积：
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，代入数据：
$(31.4÷3.14÷2)^2×3.14×12×\frac{1}{3}=314(dm^3)$
【答案】
$314\ dm^3$
【知识点】
圆锥体积计算、单位换算、圆的面积计算
【点评】
本题属于基础几何题，解题关键是注意单位统一，牢记圆锥体积公式需乘$\frac{1}{3}$，同时能熟练利用底面周长推导底面半径，计算时需细心避免出错。
【难度系数】
0.8
4. 测量中经常使用金属制作的铅锤，这种金属每立方厘米的质量约为$8\ g$，右图的这个铅锤约重多少克?
答案
4. $(6÷2)^{2}×3.14×4×\frac {1}{3}×8=301.44(g)$
解析
【分析】
要计算铅锤的重量，需先求出铅锤（圆锥）的体积，再用体积乘以每立方厘米金属的质量。首先根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$（$S$是底面积，$h$是高），先计算底面半径（已知直径6cm，半径为直径的一半），再算出底面积，代入公式求出体积，最后乘以每立方厘米8g得到总重量。
【解析】
1. 计算圆锥底面半径：$6÷2=3(\mathrm{cm})$
2. 计算圆锥底面积：$3.14×3^2=28.26(\mathrm{cm}^2)$
3. 计算圆锥体积：$\frac{1}{3}×28.26×4=37.68(\mathrm{cm}^3)$
4. 计算铅锤重量：$37.68×8=301.44(\mathrm{g})$
综合算式：$(6÷2)^{2}×3.14×4×\frac {1}{3}×8=301.44(\mathrm{g})$
【答案】
这个铅锤约重$\boldsymbol{301.44}$克。
【知识点】
圆锥体积计算，圆的面积计算，质量与体积换算
【点评】
本题属于圆锥体积的实际应用问题，核心是掌握圆锥体积公式，结合圆的面积计算求出体积，再利用“总质量=单位体积质量×体积”的关系求解，考查基础公式的运用和实际问题的转化能力。
【难度系数】
0.7
要计算铅锤的重量，需先求出铅锤（圆锥）的体积，再用体积乘以每立方厘米金属的质量。首先根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$（$S$是底面积，$h$是高），先计算底面半径（已知直径6cm，半径为直径的一半），再算出底面积，代入公式求出体积，最后乘以每立方厘米8g得到总重量。
【解析】
1. 计算圆锥底面半径：$6÷2=3(\mathrm{cm})$
2. 计算圆锥底面积：$3.14×3^2=28.26(\mathrm{cm}^2)$
3. 计算圆锥体积：$\frac{1}{3}×28.26×4=37.68(\mathrm{cm}^3)$
4. 计算铅锤重量：$37.68×8=301.44(\mathrm{g})$
综合算式：$(6÷2)^{2}×3.14×4×\frac {1}{3}×8=301.44(\mathrm{g})$
【答案】
这个铅锤约重$\boldsymbol{301.44}$克。
【知识点】
圆锥体积计算，圆的面积计算，质量与体积换算
【点评】
本题属于圆锥体积的实际应用问题，核心是掌握圆锥体积公式，结合圆的面积计算求出体积，再利用“总质量=单位体积质量×体积”的关系求解，考查基础公式的运用和实际问题的转化能力。
【难度系数】
0.7
5. 一辆火车车厢是一个长方体，它的长是$4\ m$，宽是$1.5\ m$，高是$4\ m$，装满一车沙子，卸后将沙堆成一个高是$5\ m$的圆锥形沙堆，它的底面积是多少平方米?
答案
5. $4×1.5×4×3÷5=14.4(m^{2})$
解析
【分析】
这道题的关键是抓住“沙子的体积不变”这一等积变形的核心。首先需要计算出长方体车厢中沙子的体积（即长方体的体积），因为沙子卸后堆成圆锥形，圆锥的体积等于长方体中沙子的体积。然后根据圆锥的体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$（其中$S$是底面积，$h$是高），通过变形得到求底面积的公式$S = \frac{3V}{h}$，代入已知的圆锥高和沙子体积，就能求出圆锥的底面积。
【解析】
1. 计算长方体车厢中沙子的体积（长方体体积）：
$V_{长} = 长×宽×高 = 4×1.5×4 = 24(m^3)$
2. 由于沙子体积不变，圆锥的体积$V_{锥}=V_{长}=24(m^3)$
3. 根据圆锥体积公式$V_{锥}=\frac{1}{3}Sh$，变形可得底面积公式：
$S = \frac{3V_{锥}}{h}$
4. 代入$V_{锥}=24m^3$，$h=5m$：
$S = 24×3÷5 = 14.4(m^2)$
【答案】
$14.4$平方米
【知识点】
长方体体积计算、圆锥体积公式应用
【点评】
本题考查等积变形的实际应用，解题的核心是理解沙子的体积在形状变化前后保持不变。需要注意圆锥体积公式中的$\frac{1}{3}$，在逆向求底面积时要记得乘以3，这是容易出错的关键点。
【难度系数】
0.7
这道题的关键是抓住“沙子的体积不变”这一等积变形的核心。首先需要计算出长方体车厢中沙子的体积（即长方体的体积），因为沙子卸后堆成圆锥形，圆锥的体积等于长方体中沙子的体积。然后根据圆锥的体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$（其中$S$是底面积，$h$是高），通过变形得到求底面积的公式$S = \frac{3V}{h}$，代入已知的圆锥高和沙子体积，就能求出圆锥的底面积。
【解析】
1. 计算长方体车厢中沙子的体积（长方体体积）：
$V_{长} = 长×宽×高 = 4×1.5×4 = 24(m^3)$
2. 由于沙子体积不变，圆锥的体积$V_{锥}=V_{长}=24(m^3)$
3. 根据圆锥体积公式$V_{锥}=\frac{1}{3}Sh$，变形可得底面积公式：
$S = \frac{3V_{锥}}{h}$
4. 代入$V_{锥}=24m^3$，$h=5m$：
$S = 24×3÷5 = 14.4(m^2)$
【答案】
$14.4$平方米
【知识点】
长方体体积计算、圆锥体积公式应用
【点评】
本题考查等积变形的实际应用，解题的核心是理解沙子的体积在形状变化前后保持不变。需要注意圆锥体积公式中的$\frac{1}{3}$，在逆向求底面积时要记得乘以3，这是容易出错的关键点。
【难度系数】
0.7
