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1. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ A+∠ C=140^{\circ}$，则$∠ B$的度数为()
A.$110^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$130^{\circ}$
D.$140^{\circ}$
A.$110^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$130^{\circ}$
D.$140^{\circ}$
答案
A
解析
在平行四边形ABCD中，∠A=∠C（平行四边形对角相等）。因为∠A+∠C=140°，所以∠A=∠C=70°。又因为AD//BC（平行四边形对边平行），所以∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补），则∠B=180°-∠A=180°-70°=110°。
2. 如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$AB⊥ AC$。若$AC=6$，$BD=10$，则$AB$的长为()
A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$7$
A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$7$
答案
A
解析
四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AO=\frac{1}{2}AC=3$，$BO=\frac{1}{2}BD=5$（平行四边形的对角线互相平分）。
由于$AB\bot AC$，所以$∠ BAO=90°$。
在直角三角形$AOB$中，可以利用勾股定理求出$AB$的长度：
$AB=\sqrt{BO^2-AO^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
由于$AB\bot AC$，所以$∠ BAO=90°$。
在直角三角形$AOB$中，可以利用勾股定理求出$AB$的长度：
$AB=\sqrt{BO^2-AO^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
3. 学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线(三角形除外)。如图，过一个顶点，四边形有$1$条对角线，五边形有$2$条对角线，六边形有$3$条对角线$······$按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有()
A.$11$条
B.$10$条
C.$9$条
D.$8$条
A.$11$条
B.$10$条
C.$9$条
D.$8$条
答案
C
解析
由题意可知，四边形（4边形）过一个顶点的对角线有1条，即$4-3=1$；五边形（5边形）有2条，即$5-3=2$；六边形（6边形）有3条，即$6-3=3$。规律为：n边形过一个顶点的对角线条数为$n-3$。十二边形即$n=12$，则对角线有$12-3=9$条。
4. 如图，在四边形$ABCD$中，$∠ A=90^{\circ}$，$AB=3\sqrt{3}$，$AD=3$，$M$，$N$分别为线段$BC$，$AB$上的动点(含端点，但点$M$不与点$B$重合)，$E$，$F$分别为$DM$，$MN$的中点，则$EF$长度的最大值为。
答案
3（题目未给选项，按照要求直接填数值）
解析
本题可根据三角形中位线定理得出$EF$与$DN$的关系，再通过分析$DN$的最大值来确定$EF$的最大值。
步骤一：根据三角形中位线定理得到$EF$与$DN$的关系
因为$E$，$F$分别为$DM$，$MN$的中点，根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
所以在$△ DMN$中，$EF$是中位线，则有$EF=\dfrac{1}{2}DN$。
步骤二：分析$DN$取最大值时的情况
当点$N$与点$B$重合时，$DN$取得最大值，此时$DN = DB$。
步骤三：计算$DB$的长度
在四边形$ABCD$中，$∠ A = 90^{\circ}$，$AB = 3\sqrt{3}$，$AD = 3$，在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边）可得：
$DB=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}+3^{2}}=\sqrt{27 + 9}=\sqrt{36}=6$
即$DN$的最大值为$6$。
步骤四：计算$EF$的最大值
因为$EF=\dfrac{1}{2}DN$，$DN$的最大值为$6$，所以$EF$的最大值为$\dfrac{1}{2}×6 = 3$。
步骤一：根据三角形中位线定理得到$EF$与$DN$的关系
因为$E$，$F$分别为$DM$，$MN$的中点，根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
所以在$△ DMN$中，$EF$是中位线，则有$EF=\dfrac{1}{2}DN$。
步骤二：分析$DN$取最大值时的情况
当点$N$与点$B$重合时，$DN$取得最大值，此时$DN = DB$。
步骤三：计算$DB$的长度
在四边形$ABCD$中，$∠ A = 90^{\circ}$，$AB = 3\sqrt{3}$，$AD = 3$，在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边）可得：
$DB=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}+3^{2}}=\sqrt{27 + 9}=\sqrt{36}=6$
即$DN$的最大值为$6$。
步骤四：计算$EF$的最大值
因为$EF=\dfrac{1}{2}DN$，$DN$的最大值为$6$，所以$EF$的最大值为$\dfrac{1}{2}×6 = 3$。
5. 提升题 如图，在矩形$ABCD$中，$AB=4$，$AD=6$，延长$BC$到点$E$，使$CE=2$，连接$DE$，动点$P$从点$B$出发，以每秒$2$个单位长度的速度沿$BC\to CD\to DA$向终点$A$运动。设点$P$的运动时间为$t\mathrm{s}$，当$t$的值为时，$△ ABP$与$△ DCE$全等。
答案
1或7
解析
在矩形$ABCD$中，$AB=4$，$AD=BC=6$，$CE=2$，$∠ DCE=90^{\circ}$，$△ DCE$为直角三角形，直角边$DC=4$，$CE=2$。动点$P$运动路径为$BC \to CD \to DA$，速度为$2$单位/秒，分情况讨论：
1. 当$P$在$BC$上（$0 ≤ t ≤ 3$）：$∠ ABP=90^{\circ}$，$△ ABP$为直角三角形。若$△ ABP ≌ △ DCE$，则$AB=DC=4$，$BP=CE=2$。$BP=2t=2$，解得$t=1$。
2. 当$P$在$CD$上（$3 ＜ t ≤ 5$）：$△ ABP$不是直角三角形，与直角$△ DCE$不可能全等。
3. 当$P$在$DA$上（$5 ＜ t ≤ 8$）：$∠ BAP=90^{\circ}$，$△ ABP$为直角三角形。若$△ ABP ≌ △ DCE$，则$AB=DC=4$，$AP=CE=2$。$AP=AD - (2(t - 5))=6 - 2(t - 5)=16 - 2t=2$，解得$t=7$。
综上，$t=1$或$7$。
1. 当$P$在$BC$上（$0 ≤ t ≤ 3$）：$∠ ABP=90^{\circ}$，$△ ABP$为直角三角形。若$△ ABP ≌ △ DCE$，则$AB=DC=4$，$BP=CE=2$。$BP=2t=2$，解得$t=1$。
2. 当$P$在$CD$上（$3 ＜ t ≤ 5$）：$△ ABP$不是直角三角形，与直角$△ DCE$不可能全等。
3. 当$P$在$DA$上（$5 ＜ t ≤ 8$）：$∠ BAP=90^{\circ}$，$△ ABP$为直角三角形。若$△ ABP ≌ △ DCE$，则$AB=DC=4$，$AP=CE=2$。$AP=AD - (2(t - 5))=6 - 2(t - 5)=16 - 2t=2$，解得$t=7$。
综上，$t=1$或$7$。
6. 已知：如图，矩形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$BE// AC$，$CE// DB$。求证：四边形$OBEC$是菱形。
答案
证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AC=BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$（矩形对角线相等且互相平分），
∴$OB=OC$。
∵$BE// AC$，$CE// DB$，
∴四边形$OBEC$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵$OB=OC$，
∴平行四边形$OBEC$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AC=BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$（矩形对角线相等且互相平分），
∴$OB=OC$。
∵$BE// AC$，$CE// DB$，
∴四边形$OBEC$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵$OB=OC$，
∴平行四边形$OBEC$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
