8. 如图，在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$AB = AD$，$AC$平分$∠ BAD$，求证：四边形$ABCD$是菱形。

8. 证明：
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB。
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC。
∵AB=AD，
∴BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵AB=AD，
∴□ABCD是菱形。

9. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形$ABCD$中，若$AC = 6$，$BD = 8$，则点$A$到$BC$的距离为。

9. $\frac{24}{5}$【解析】如图，过点A作AH⊥BC于点H，作AE⊥CD于点E，设AC，BD的交点为O。

∵两条纸条宽度相同，
∴AH=AE。
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵$S_{□ABCD}$=CD·AE=BC·AH，
又
∵AH=AE，
∴CD=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=4，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=3，AC⊥BD。
在Rt△BOC中，由勾股定理得BC=$\sqrt{OB^{2}+OC^{2}}$=$\sqrt{4^{2}+3^{2}}$=5。
∵$S_{菱形ABCD}$=BC·AH=$\frac{1}{2}$AC·BD，
∴AH=$\frac{\frac{1}{2}AC·BD}{BC}$=$\frac{\frac{1}{2}×6×8}{5}$=$\frac{24}{5}$。

10. 已知：如图，在$□ ABCD$中，$E$，$F$是对角线$BD$上的两点，，。
求证：四边形$AECF$是菱形。

从①$BE = DF$，②$BD$平分$∠ ABC$，③$AB = BC$这三个条件中选两个填在题中横线上，将题目补充完整，并完成证明。

10. 解：答案不唯一，如：选①③可得到四边形AECF是菱形。
证明：如图，连结AC，交BD于点O。
∵四边形ABCD为平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD为菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD。

∵BE=DF，
∴OB−BE=OD−DF，
即OE=OF。
∵OA=OC，OE=OF，AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形。

11. 如图，点$E$在$□ ABCD$的对角线$DB$的延长线上，$AE = AD$，$AF⊥ BD$于点$F$，$EG// BC$交$AF$的延长线于点$G$，连结$DG$。
（1）求证：四边形$AEGD$是菱形。
（2）若$AF = BF$，$EF = 2AF$，$AB = 4$，求菱形$AEGD$的面积。

11. 解：(1)证明：
∵AE=AD，AF⊥BD，
∴EF=DF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC。
∵EG//BC，
∴AD//EG，
∴∠GEF=∠ADF。
在△GEF和△ADF中，
$\begin{cases}∠GEF=∠ADF，\\EF=DF，\\∠EFG=∠DFA，\end{cases}$
∴△GEF≌△ADF(ASA)，
∴GF=AF。
∵EF=DF，
∴四边形AEGD是平行四边形。
∵AE=AD，
∴四边形AEGD是菱形。
(2)
∵AF⊥BD，AF=BF，
∴△AFB是等腰直角三角形。
∵AB=4，
由勾股定理得，AF=BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×4=2$\sqrt{2}$。
∵EF=2AF，
∴EF=4$\sqrt{2}$。
∵四边形AEGD是菱形，
∴AG=2AF=4$\sqrt{2}$，ED=2EF=8$\sqrt{2}$，
∴菱形AEGD的面积=$\frac{4\sqrt{2}×8\sqrt{2}}{2}$=32。