1. 下列分式中为最简分式的是()

A.$\frac{a - b}{b - a}$
B.$\frac{x^2 + y^2}{x + y}$
C.$\frac{x^2 - 4}{x + 2}$
D.$\frac{2 + a}{a^2 + 4a + 4}$

1. B

【解析】
逐个分析各选项：
A选项：$\frac{a - b}{b - a}=\frac{a - b}{-(a - b)}=-1$，分子分母有公因式$a - b$，不是最简分式；
B选项：分子$x^2 + y^2$无法因式分解，与分母$x + y$没有公因式，是最简分式；
C选项：$\frac{x^2 - 4}{x + 2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x+2}=x-2$，分子分母有公因式$x+2$，不是最简分式；
D选项：$\frac{2 + a}{a^2 + 4a + 4}=\frac{a+2}{(a+2)^2}=\frac{1}{a+2}$，分子分母有公因式$a+2$，不是最简分式。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
最简分式的判断
【点评】
本题考查最简分式的识别，核心是理解最简分式的定义，即分子分母无公因式。解题时需对分子分母进行因式分解，判断是否存在公因式，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

2. (1) 化简$\frac{6ab}{5c^2} · \frac{10c}{3b}$的结果是.
(2) 化简$\frac{4x}{1 - x^2} ÷ \frac{2x^2}{x^2 + x}$的结果是.

2. (1) $\frac{4a}{c}$ (2) $\frac{2}{1 - x}$

【解析】
(1) 原式$=\frac{6ab×10c}{5c^2×3b}=\frac{60abc}{15bc^2}=\frac{4a}{c}$；
(2) 原式$=\frac{4x}{1 - x^2} · \frac{x^2 + x}{2x^2}=\frac{4x}{(1 - x)(1 + x)} · \frac{x(x + 1)}{2x^2}=\frac{4x·x(x + 1)}{(1 - x)(1 + x)·2x^2}=\frac{2}{1 - x}$。
【答案】
(1) $\frac{4a}{c}$；(2) $\frac{2}{1 - x}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解
【点评】
本题考查分式的乘除运算，需熟练掌握分式乘除运算法则，除法运算先转化为乘法，再通过因式分解进行约分简化计算，注意运算过程中符号的处理。
【难度系数】
0.7

3. 化简：$\frac{4y^2 - x^2}{x^2 + 2xy + y^2} ÷ \frac{x - 2y}{2x^2 + 2xy} =$.

3. $-\frac{4xy + 2x^{2}}{x + y}$

【解析】
1. 将除法运算转化为乘法运算：
$\frac{4y^2 - x^2}{x^2 + 2xy + y^2} ÷ \frac{x - 2y}{2x^2 + 2xy} = \frac{4y^2 - x^2}{x^2 + 2xy + y^2} × \frac{2x^2 + 2xy}{x - 2y}$
2. 对分子分母进行因式分解：
$4y^2 - x^2 = -(x - 2y)(x + 2y)$，$x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$，$2x^2 + 2xy = 2x(x + y)$
3. 代入后约分计算：
$\frac{-(x - 2y)(x + 2y)}{(x + y)^2} × \frac{2x(x + y)}{x - 2y} = -\frac{2x(x + 2y)}{x + y} = -\frac{4xy + 2x^2}{x + y}$
【答案】
$-\frac{4xy + 2x^{2}}{x + y}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解（平方差、完全平方公式）
【点评】
本题考查分式的化简运算，需熟练掌握分式乘除法则，准确对分子分母因式分解，注意符号处理与约分的彻底性。
【难度系数】
0.6

4. 化简：$\frac{a^2 - 4}{a + 2} ÷ (a - 2) × \frac{1}{a - 2} =$.

4. $\frac{1}{a - 2}$

【解析】
1. 利用平方差公式对分子因式分解：$a^2 - 4=(a+2)(a-2)$，原式转化为$\frac{(a+2)(a-2)}{a + 2} ÷ (a - 2) × \frac{1}{a - 2}$；
2. 根据分式除法法则，将除法转化为乘法：$\frac{(a+2)(a-2)}{a + 2} × \frac{1}{a - 2} × \frac{1}{a - 2}$；
3. 约分计算：约去分子分母中的$(a+2)$和一个$(a-2)$，得到$1 × \frac{1}{a - 2} = \frac{1}{a - 2}$（需满足$a≠±2$，保证原式各分母不为0）。
【答案】
$\frac{1}{a - 2}$
【知识点】
分式乘除运算、平方差公式
【点评】
本题考查分式的乘除化简，关键是掌握分式乘除运算法则，先因式分解再约分，同时要注意分式有意义的条件（分母不为0）。
【难度系数】
0.8

5. 已知$a$米布料能做$b$件上衣，$2a$米布料能做$3b$条裤子，则一件上衣的用料是一条裤子用料的倍.

5. 1.5

【解析】
首先计算一件上衣的用料：$a$米布料做$b$件上衣，一件上衣用料为$\frac{a}{b}$米；
再计算一条裤子的用料：$2a$米布料做$3b$条裤子，一条裤子用料为$\frac{2a}{3b}$米；
最后计算倍数：$\frac{a}{b} ÷ \frac{2a}{3b} = \frac{a}{b} × \frac{3b}{2a} = \frac{3}{2} = 1.5$。
【答案】
1.5
【知识点】
分式的运算、列代数式
【点评】
本题考查分式在实际问题中的应用，需先列代数式表示出单件上衣和裤子的布料用量，再通过分式除法运算求出倍数关系，重点考查分式的约分计算能力。
【难度系数】
0.7

6. 计算：
(1) $a^2b · \frac{b^2}{a}$.
(2) $\frac{x^2 - x}{x + 1} · \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}$.
(3) $(a^2 + 3a) ÷ \frac{a^2 - 9}{a - 3}$.
(4) $\frac{x^2 - 4y^2}{x^2 + 2xy + y^2} · \frac{x^2 + xy}{x + 2y}$.

6. (1) $ab^{3}$ (2) $x$ (3) $a$ (4) $\frac{x(x - 2y)}{(x + y)}$

【解析】
(1) 原式=$\frac{a^2b·b^2}{a}=a^{2-1}b^{1+2}=ab^3$；
(2) 先因式分解：$x^2 - x = x(x-1)$，$x^2 - 1=(x-1)(x+1)$，$x^2 - 2x + 1=(x-1)^2$，
原式=$\frac{x(x-1)}{x+1}·\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2}=\frac{x(x-1)(x-1)(x+1)}{(x+1)(x-1)^2}=x$；
(3) 先将除法转化为乘法，再因式分解：$a^2 + 3a = a(a+3)$，$a^2 - 9=(a-3)(a+3)$，
原式=$a(a+3)·\frac{a-3}{(a-3)(a+3)}=\frac{a(a+3)(a-3)}{(a-3)(a+3)}=a$；
(4) 先因式分解：$x^2 - 4y^2=(x-2y)(x+2y)$，$x^2 + 2xy + y^2=(x+y)^2$，$x^2 + xy=x(x+y)$，
原式=$\frac{(x-2y)(x+2y)}{(x+y)^2}·\frac{x(x+y)}{x+2y}=\frac{(x-2y)(x+2y)x(x+y)}{(x+y)^2(x+2y)}=\frac{x(x-2y)}{x+y}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{ab^3}$；(2) $\boldsymbol{x}$；(3) $\boldsymbol{a}$；(4) $\boldsymbol{\frac{x(x - 2y)}{x + y}}$
【知识点】
分式的乘除运算，因式分解
【点评】
本题考查分式的乘除运算，核心是通过因式分解将分子、分母化为整式乘积形式，再通过约分简化运算，需注意因式分解的准确性和约分的规范性。
【难度系数】
0.6

7. 如果$a^2 + 2a - 1 = 0$，那么代数式$(a - \frac{4}{a}) × \frac{a^2}{a - 2}$的值是()

A.1
B.-1
C.0
D.2

7. A

【解析】
先化简代数式：
$\begin{aligned}(a - \frac{4}{a}) × \frac{a^2}{a - 2}&=\frac{a^2 - 4}{a} × \frac{a^2}{a - 2}\\&=\frac{(a+2)(a-2)}{a} × \frac{a^2}{a - 2}\\&=a(a+2)\\&=a^2 + 2a\end{aligned}$
由$a^2 + 2a - 1 = 0$，得$a^2 + 2a = 1$，因此原式的值为1。
【答案】
A
【知识点】
分式化简求值，平方差公式，整体代入思想
【点评】
本题考查分式的化简求值，关键是先通过通分、因式分解化简代数式，再结合已知条件利用整体代入法求解，简化计算。
【难度系数】
0.6