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7.如图，在△ABC中，以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为劣弧$\overset{\frown}{BD}$的中点，AF为△ABC的角平分线，且AF⊥EC.
(1)求证AC与⊙O相切.
(2)若AC = 6，BC = 8，求EC的长.
(1)求证AC与⊙O相切.
(2)若AC = 6，BC = 8，求EC的长.
答案
(1)略. (2)$\frac{16\sqrt{5}}{5}$.
8.如图，点P在以MN为直径的半圆上运动(点P与点M，N不重合)，PQ⊥MN于点Q，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F.
(1)求$\frac{PF}{PQ}+\frac{PE}{PM}$的值.
(2)若$PN^{2}=PM·MN$，求$\frac{MQ}{NQ}$的值.
(1)求$\frac{PF}{PQ}+\frac{PE}{PM}$的值.
(2)若$PN^{2}=PM·MN$，求$\frac{MQ}{NQ}$的值.
答案
(1)1. (2)$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
探究园地
9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC = 12 cm，BD = 16 cm.动点N从点D出发，沿线段DB以2 cm/s的速度向点B运动；同时动点M从点B出发，沿线段BA以1 cm/s的速度向点A运动.当其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t(单位：s)(t＞0)，以点M为圆心，MB长为半径的⊙M与射线BA、线段BD分别交于点E，F，连接EN.
(1)求BF的长(用含有t的代数式表示)，并求出t的取值范围.
(2)当t为何值时，线段EN与⊙M相切？
(3)若⊙M与线段EN只有一个公共点，求t的取值范围.
9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC = 12 cm，BD = 16 cm.动点N从点D出发，沿线段DB以2 cm/s的速度向点B运动；同时动点M从点B出发，沿线段BA以1 cm/s的速度向点A运动.当其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t(单位：s)(t＞0)，以点M为圆心，MB长为半径的⊙M与射线BA、线段BD分别交于点E，F，连接EN.
(1)求BF的长(用含有t的代数式表示)，并求出t的取值范围.
(2)当t为何值时，线段EN与⊙M相切？
(3)若⊙M与线段EN只有一个公共点，求t的取值范围.
答案
(1)连接EF，由△BEF∽△BAO，得$\frac{BF}{BO}=\frac{BE}{BA}$，∴$\frac{BF}{8}=\frac{2t}{10}$.∴$BF=\frac{8}{5}t(0＜t\leqslant8)$.
(2)当线段EN与⊙M相切时，∠BEN=90°，∴△BEN∽△BOA，∴$\frac{BE}{BO}=\frac{BN}{BA}$.∴$\frac{2t}{8}=\frac{16 - 2t}{10}$，$t=\frac{32}{9}$.∴当$t=\frac{32}{9}$时，线段EN与⊙M相切.
(3)分类讨论：
①当线段EN与⊙M相切以及相切之前，线段EN与⊙M只有一个公共点，即$0＜t\leqslant\frac{32}{9}$；
②当点N在线段BF上(不与点B，F重合)时，线段EN与⊙M也只有一个公共点，即$0＜16 - 2t＜\frac{8}{5}t$，解得$\frac{40}{9}＜t＜8$.
∴⊙M与线段EN只有一个公共点时，t的取值范围是$0＜t\leqslant\frac{32}{9}$或$\frac{40}{9}＜t＜8$.
(2)当线段EN与⊙M相切时，∠BEN=90°，∴△BEN∽△BOA，∴$\frac{BE}{BO}=\frac{BN}{BA}$.∴$\frac{2t}{8}=\frac{16 - 2t}{10}$，$t=\frac{32}{9}$.∴当$t=\frac{32}{9}$时，线段EN与⊙M相切.
(3)分类讨论：
①当线段EN与⊙M相切以及相切之前，线段EN与⊙M只有一个公共点，即$0＜t\leqslant\frac{32}{9}$；
②当点N在线段BF上(不与点B，F重合)时，线段EN与⊙M也只有一个公共点，即$0＜16 - 2t＜\frac{8}{5}t$，解得$\frac{40}{9}＜t＜8$.
∴⊙M与线段EN只有一个公共点时，t的取值范围是$0＜t\leqslant\frac{32}{9}$或$\frac{40}{9}＜t＜8$.
